21.3 实际问题与一元二次方程（知识梳理+典型例题）

21.3实际问题与一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓▒▓按住ctrl并单击，可访问相关题型链接按住ctrl并单击，可访问相关题型链接【题型1】数字问题 3【题型2】变化率问题 6【题型3】商品销售问题 8【题型4】存款利息问题 12【题型5】面积问题 15【题型6】单循环、双循环问题 19知识点1：列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各量之间的关系．（2）设：设元，也就是设未知数，可直接设未知数或间接设未知数．（3）找：根据题目中的关键语句，找出等量关系．（4）列：根据等量关系列出一元二次方程．（5）解：解一元二次方程，求出未知数的值．（6）验：检验所求解的合理性．（7）答：写出答案，应遵循“问什么答什么的原则”．注意：不要忘记检验方程的解是否符合实际意义．在实际问题中，由一元二次方程解得的根要符合实际情况，如人数为自然数，几何图形中的长度、面积等为正数，银行存款利率不能为负．知识点2：常见题型1．数字问题一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b；一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c．2．平均变化率问题设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n．3．利润问题利润=售价一进价；利润率==；售价=进价×（1+利润率）；打折后的价格=售价×打折数×．总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量．列一元二次方程解决实际问题时应注意：（1）注意各类实际问题中常见的等量关系．（2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来．（3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位．（4）一般情况下一元二次方程有两个解，所以要注意检验方程的解是否符合题意及使实际问题有意义．【题型1】数字问题例1例1（2023•翼城县一模）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物；东吴都督而立年，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为．由题意得；，解得：，当时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．答：周瑜去世时的年龄为36岁．◄点拨►数字在哪位上，该数位上的数字就乘哪个进率．【变式1】（2023秋•西华县月考）有一个两位数，两个数位上数字的和是6，这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍，则这个两位数是．【变式2】（2023秋•罗山县校级月考）一个两位数，十位数字比个位数字大3．若这两个数字之积等于这个两位数的，则这个两位数是．【变式3】（2023秋•临汾月考）一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．1．【答案】24或15．【分析】根据“这个两位数是这两个数位上数字的积的3倍”设未知数列方程求解【解答】解：设这个两位数的个位为，则十位数为，根据题意可得，，整理得，解得或5，当时，，故这个两位数为；当时，，故这个两位数为．故答案为：24或15．2．【答案】63．【分析】设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，根据这两个数字之积等于这个两位数的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合为非负整数，即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．【解答】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意得：，整理得：，解得：，．又为非负整数，，．故答案为：63．3．【答案】26．【分析】先设原来的两位数的十位数字为，再根据题意列出等式，最后进行计算即可．【解答】解：设原来的两位数的十位数字为，，整理得：解得：，（不符合题意，舍去），故原来的两位数为26．答：原来的两位数为26．【题型2】变化率问题例2例2（2024春•岳麓区校级期末）某种品牌运动服的每件零售价为560元，经过两次降价，降为315元，若每次平均降价率为，则下列方程正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用经过两次降价后该品牌运动服每件的零售价该品牌运动服每件的原零售价每次平均降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故选：．◄点拨►平均增长（或减少）率公式为a（1±x）n=b．a其中是变化前的数量；b是变化后的数量；n是变化的年数或次数．【变式4】（2023秋•潼南区期末）某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程A． B． C． D．【变式5】（2024•广南县模拟）某市2021年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为，则下列方程正确的是A． B． C． D．【变式6】（2024•高平市三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连续两轮降价，每粒从200元降至15元．若该药品每轮降价率相同．设每轮降价率为，则根据题意可列方程为A． B． C． D．4．【答案】【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．【解答】解：该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为，该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，又、3月的总营业额为1000万元，．故选：．5．【答案】【分析】利用该市2023年年底自然保护区覆盖率该市2021年年底自然保护区覆盖率该市这两年自然保护区面积的年均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故选：．6．【答案】【分析】利用经过两次降价后的价格原价该药品每轮降价率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故选：．【题型3】商品销售问题例3例3（2024•广东一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价元．【答案】80．【分析】设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．【解答】解：设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，根据题意得：，整理得：，解得：，，又要尽快减少库存，，每件应降价80元．故答案为：80．◄点拨►利润=售价一进价；利润率==；售价=进价×（1+利润率）；打折后的价格=售价×打折数×．总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量．【变式7】（2024春•海阳市期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价元，下列方程正确的是A． B． C． D．【变式8】（2024•祁县模拟）上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店购进一批袋装上党腊驴肉，进价为40元袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可获得利润5000元，则可列方程为A． B． C． D．【变式9】（2023秋•北海期末）某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价元．7．【答案】【分析】当每顶帐篷降价元时，每顶帐篷利润为元，平均每天可售出顶，利用总利润每顶帐篷的销售利润日销售量，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：当每顶帐篷降价元时，每顶帐篷利润为元，平均每天可售出顶，根据题意得：．故选：．8．【答案】【分析】设销售单价降低元，则每天可售出袋，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程．【解答】解：依题意得：，故选：．9．【答案】4或36．【分析】设每件降价元，则每件可盈利元，平均每天可售出件，利用总利润每件的盈利平均每天的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设每件降价元，则每件可盈利元，平均每天可售出件，根据题意得：，整理得：，解得：，，若要平均每天盈利1600元，则应降价4或36元．故答案为：4或36．【题型4】存款利息问题例4例4（2022春•万秀区校级期中）2019年小王看中了某楼盘以12000元的均价对外销售面积为的某户型，由于资金不足，决定等两年再考虑买房．自2019年底出现疫情以来，商品房价格下调，2021年的该户型的均价为9720元．（1）求这一户型的均价平均每年下调的百分率；（2）进入2022年后小王得知该户型仍有少量库存在售，单价较2021年的均价再次下调相同的百分率．小王计算了一下自己的资金，在过去的24个月中，每月固定存上相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），加上原有积蓄30万元，还可以向银行贷款50万元，可以凑齐房款，请问小王在过去的两年中每月至少固定存入多少钱？【答案】（1）；（2）小王在过去的两年中每月至少固定存入3200元钱．【分析】（1）设这一户型的均价平均每年下调的百分率为，由题意：2019年的均价为12000元，2021年的该户型的均价为9720元．列出一元二次方程，解方程即可；（2）设小王在过去的两年中每月固定存入元钱，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）设这一户型的均价平均每年下调的百分率为，由题意得：，解得：，（不合题意舍去），答：这一户型的均价平均每年下调的百分率为；（2）设小王在过去的两年中每月固定存入元钱，由题意得：，解得：，且取100的整数倍，最小值为3200，答：小王在过去的两年中每月至少固定存入3200元钱．◄点拨►税前利息=本金×利率×期数．【变式10】（2022秋•蓬安县期中）若某银行经过两次降息，使三年期存款的年利率由降至，则平均每次降息的百分比是A． B． C． D．【变式11】（2022秋•平泉市校级月考）某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为，则列方程为，解得年利率是．【变式12】（2022秋•株洲期中）2019年，我市某楼盘以每平方米7200元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5832元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金25万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）10．【答案】【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由降至．【解答】解：经过一次降息，是；经过两次降息，是．则有方程．解方程得或（舍去）．即：平均每次降息的百分率为．故选：．11．【分析】本题为复利问题，一般形式为，如果设年利率为，那么根据题意可得出方程．解方程可得出年利率为．【解答】解：设年利率为，则根据公式可得：；解得：．12．【答案】（1）平均每年下调的百分率为；（2）张强的愿望能实现．【分析】（1）设平均每年下调的百分率为，根据题意得到，然后可求得下调的百分比；（2）根据总房款每平方米的均价平方数，求出总房款，与张强持有的现金与银行贷款之和比较，即可得到答案．【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为，则．解得：，（不合题意舍去）．答：平均每年下调的百分率为；（2）张强的愿望能实现，理由如下：（万元）．由于，所以张强的愿望能实现．【题型5】面积问题例5例5（2024•瑶海区校级模拟）如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确的是A． B． C． D．【答案】【分析】由人行通道的宽度为，可得出每个展位的长为，宽为，根据每个展位的面积都为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：人行通道的宽度为，每个展位的长为，宽为．依题意得：，即．故选：．◄点拨►规则图形利用各几何图形的面积公式；不规则图形分割或组合成规则图形，利用割补法求面积的和或差．【变式13】（2024春•宁阳县期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是A． B． C． D．【变式14】（2024春•钱塘区期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则满足的方程是A． B． C． D．【变式15】（2024春•利辛县期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽不及长一十二步（宽比长少一十二步），则“阔”是A．12步 B．24步 C．36步 D．72步13．【答案】【分析】根据各边之间的关系，可得出平行于墙的一边长为，结合花圃面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：篱笆的总长度为，与墙垂直的一边长为，平行于墙的一边长为．根据题意得：．故选：．14．【答案】【分析】如果设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程．【解答】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据题意可得出方程为：，故选：．15．【答案】【分析】设“阔”是步，则长是步，根据直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设“阔”是步，则长是步，根据题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），，“阔”是24步．故选：．【题型6】单循环、双循环问题例6例6（2023春•北碚区校级月考）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有名学生，可列方程A． B． C． D．【答案】【分析】根据全班的人数，可得出每名学生需发送条祝福短信，利用发送短信的总条数全班人数（全班人数，即可列出关于的一元二次方程，此题得