近五年吉林中考数学试题及答案

2022年吉林中考数学试题及答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（）

正面

C.

【解析】

【分析】根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数利排列进行作答即可.

其主视图为:

故选：A.

【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是

从正面看所得到的图形，左视图时从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键.

2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大

幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为（）

A.18xlO5B.1.8xl06C.1.8x107D.O.18xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为aXl（T的形式，其中1WIHV10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，〃是正数；

当原数的绝对值VI时，〃是负数.

详解】解：1800000=1.8X1（）6,

故选:B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|V10,n

为整数，表示时关犍要正确确定a的值以及〃的值.

3.不等式x+2>3的解集是（）

A.x<lB.x<5C.x>lD.x>5

【答案】C

【解析】

【分析】直接移项解一元一次不等式即可.

【详解】x+2>3,

x>3-2,

x>1»

故选：C.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键.

4.实数a,。在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

ab

II■IIII'I.

-3-2-10123

A.a>0B.a<bC./?—1<OD.ab>0

【答案】B

【解析】

【分析】观察数轴得：—2vav—lv2v6v3,再逐项判断即可求解.

【详解】解：观察数轴得：一2〈。〈一1<2〈人<3,故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；

.-.Z?-l>0,故C错误，不符合题意；

・・・砥<0,故D错误，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键.

5.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点力,

变幅索的底端记为点氏AO垂直地面，垂足为点〃BC±AD,垂足为点C.设NMC=a,下列关系

式正确的是（）

.AB.BCABAC

A.sina=---Bn.sina=——C.sina=---D.sina=---

BCABACAB

【答案】I）

【解析】

【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可.

【详解】BC1AC,

・•・△力比'是直角三角形，

,:4ABC=a,

..AC

••sina------，

AB

故选：D.

【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义.在直角三角形中任意锐角NR的对边与斜边之比叫做/力的正弦,

记作sin/4掌握正弦三角困数的定义是解答本题的关键.

6.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形.若NBCD=121。,则NBOD的度数为（）

A.133°B.121°C.118°D.112°

【答案】C

【解析】

【分析】由圆内接四边形的性质得NA=59。，再由圆周定理可得NB8=2NA=118。.

【详解】解：•・•四边形/枚力内接于圆，

...Z4+ZC=180°

VZBCD=121°

・•・4=59。

AZBOD=2ZA=118°

故选：C

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键

7.如图，在△旗。中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C./DBF+NDFB=90°D.ZBAF=ZEBC

【答案】B

【解析】

【分析】根据尺规作图痕迹，可得而垂直平分力ABE是NABC的角平分线，根据垂直平分线的性质和角

平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可.

【详解】根据尺规作图痕迹，可得如垂直平分力8BE是NA/C的角平分线，

AF=BF,/BDF=90°,ZABF=/CBE,

/ABF=ZBAF,4DBF+/DFB=90°,

NBAF=/EBC,

综上，正确的是A、C、D选项，

故选:B.

【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角立分线的定义，直角三角形两

锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=&（2>0,x>0）的图象上，其纵坐标为2,过

x

点产作P0〃y轴，交X轴于点。，将线段QP绕点0顺时针旋转60°得到线段。若点材也在该反比例

函数的图象上，则〃的值为（）

A.—B.石C.2百D.4

2

【答案】C

【解析】

【分析】作拗iLx轴交于点M分别表示出。乂J用利用左值的几何意义列式即可求出结果.

【详解】解：作业VJ_x轴交于点M如图所示，

•・•尸点纵坐标为：2,

，尸点坐标表示为：（&,2）,PQ=2,

2

由旋转可知：Q拒PT2,伫60°,

・•・/.他忙30°,

：・ON.MN=k,

即：-+y/3=k,

0

解得：A=2』，

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是女的几何意义，表示出对应线段是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

9.分解因式：m2+3m=_______.

【答案】加(m+3)

【解析】

【分析】原式提取公因式加即可得到结果.

【详解】解：+3加=机(机+3)

故答案为：利(利+3).

【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，正确找出公因式是解答本题的关键.

10.若关于x的方程X2+x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为_______.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】根据方程d+x+c=o有两个相等的实数根，可得△=(),计算即可.

【详解】•••关于x的方程f+x+c=O有两个相等的实数根，

/.A=l2-4xlc=0，

解得cj,

4

故答案为：y.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，△>()；有两个

相等的实数根时，△=()；没有实数根时，/<0；熟练掌握知识点是解题的关键.

11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客

多七客，一房九客一房空.其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9

人，则余下一间无人住，设店中共有x间房，可求得x的值为.

【答案】8

【解析】

【分析】设店中共有x间房，根据“今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9

人，则余下一间无人住”可列一元一次方程，求解即可.

【详解】设店中共有十间房，

由题意得，7x4-7=9(x-l),

解得j=8,

所以，店中共有8间房，

故答案为：8.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键.

12.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心0重合，且

两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于力、6两点.若。4=5厘米，则A3的长度为_______厘米•(结

果保留兀)

0

【答案】2万##2.54

2

【解析】

【分析】直接根据弧长公式进行计算即可.

【详解】・.•4403=90。,04=5cm,

._90x"x55

AB=----------=一九cm，

1802

故答案为：.万.

2

nnr

【点睛】本题考查了弧长公式，即/二而，熟练掌握知识点是解题的关键.

13.跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC

和等边三角形。所组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形.若48=27厘米，则这个正六边形的周

长为_________厘米，

【答案】54

【解析】

【分析】设AB交EF、”与点M、N,力。交EF、功于点G、"BC交FD、即于点0、P,再证明△同双4ANG、

△笈败△比火、△67"、△四是等边三角形即可求解.

【详解】、设AB交EF、加与点风M力C交跃ED于点、G、H,BC交FD、戌亍点0、P,如图，

二六边形，的如％是正六边形，

，/公法件120°,

/.ZM^ZM3A60°,

•••△用加是等边三角形，

同理可证明△力A。、4BVO、XDOP、△。公△砌是等边三角形,

NG=AN,0六PD,G+HE,

,A＞，也也盼4VH仲朋=力8G卅Pm0回阶P型PD=DE,

•・•等边△/!次叫等边

:"方DE,

•・•止27cm,

・Z^=27cm,

.正六边形S/NGHPO供）周长为：NGhiaMSQKPJ代0六A济D拄54cm,

故答案为:54.

【点睛】木题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边

的性质是解答本题的关键.

14.已知二次函数y=-21+3,当源/g时，函数值y的最小值为1,则a的值为.

【答案】-l-V3##-x/3-l

【解析】

【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当xvT时，y随x的增大而增大，当”>-1时，y随x的增大而

减小，然后分两种情况讨论：若aN—1：若av-1,即可求解.

【详解】解：y=-x2-2x+3=-（x+l）2+4,

.••当1时，y随x的增大而增大，当工>-1时，y随x的增大而减小，

若。之一1,当战火,时，y随x的增大而减小，

2

17

此时当工二不时，函数值y最小，最小值为：，不合题意，

24

若avT,当x时，函数值y最小，最小值为1,

—cr—2。+3=1，

解得：。=一1一行或一1+石（舍去）；

综上所述，a的值为-1-石.

故答案为：-1-Q

【点睛】本题主要考查了二次困数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.先化简，再求值：（2+4）（2-4）+4（。+1）,其中4=—4.

【答案】4+〃，O

【解析】

【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将〃=&-4代入求值即可求解.

【详解】解：原式=4—/+/+。

=4+4

当a二应—4时，原式=4+应—4=0

【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键.

16.抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”.正面朝上记2分，

反面朝上记1分.小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概

率.

3

【答案】一

4

【解析】

【分析】采用列表法列举即可求解.

【详解】根据题意列表如下：

一次

第二4、12

123

234

由表可知，总的可能结果有4种，两次之和不大于3的情况有3种，

3

故所求概率为：34-4=-,

4

3

即两次分数之和不大于3的概率为一.

4

【点睛】本题考查了用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，掌握用列表法或者树状图法列举求解概

率是解答本题的关键.

17.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动.甲、乙两班

在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同.已知甲班平

均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？

【答案】乙班每小时挖400千克的土豆

【解析】

【分析】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖（100+x）千克的土豆，根据题意列出分式方程即可

求解.

【详解】设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖（100+力千克的土豆，

15001200

根据题意有:

x+ioo--T-

解得：尸400,

经检验，产400是原方程的根，

故乙班每小时挖400千克的土豆.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键.

18.如图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，△ABC的

顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

(1)网格中△A8C的形状是；

(2)在图①中确定一点〃连结08、DC,使△03C与全等：

(3)在图②中△A8C的边8C上确定一点发连结AE，使△ABEs/xcBA：

(4)在图③中△ABC的边48上确定一点凡在边理上确定一点。，连结P。，使△P8QSZ\A8C,且相

似比为1：2.

【答案】(1)直角三角形

(2)见解析(答案不唯一)

(3)见解析(4)翔解析

【解析】

【分析】(1)运用勾股定理分别计算出AB,AC,BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论;

(2)作出点A关于BC的对称点D,连接BD,CD即可得出△OBC与AABC全等：

(3)过点A作AE_LBC于点E,则可知△A6£s2\C8A：

(4)作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P,交BC于点Q,则点P,Q即为

所求.

【小问1详解】

•:AB2=42+22=20,AC2=22+12=5,BC1=52=25

・•・AB2+AC2=BC2,

...dASC是直角三角形,

故答案为：直角三角形;

【小问2详解】

如图，点D即为所求作，使△O3C与△ABC全等:

如图所示，点E即为所作，且使

【小问4详解】

如图，点P,Q即为所求，使得△P8Q-A48C,且相似比为1：2.

勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似

三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键.

19.如图，在此“LBC中，ZABC=90%BC.点〃是AC的中点，过点〃作OEJ.AC交8c于

点£延长石。至点凡使得。尸=Z)E,连接4E、A尸、CF.

A

\/D

BE

（1）求证：四边形AEC尸是菱形；

BE1

（2）若』二:，贝ijtanNBC尸的值为.

EC4

【答案】（1）见解析（2）V15

【解析】

【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；

（2）设班：=〃，则EC=4a,根据菱形的性质可得AE=EC=W,AE//FC,勾股定理求得A8,

AD

根据NBCr=NBE4,tanZ^CF=tanZBE4=—，即可求解.

BE

【小问1详解】

证明：•••A0=DC,DE=DF，

:.四边形AECF是平行四边形，

,：DELAC,

二•四边形4EC尸是菱形；

【小问2详解】

小BE1

解：——=一,

EC4

设=则EC=4tz,

•••四边形AECV是菱形；

/.AE=EC=4a,AE//FC,

ZBCF=ZBEA,

在RtAABE中，AB=\lAE2-BE2=^（4a）2-a2=y/15a，

•.tanZBCF=tanZBE4=—=^^=715，

BEa

故答案为：

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键.

20.党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整休性、

格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升•如图是长春市2016年到2020年

(1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是年:

(2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是

(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了_______件，专利授权量年增长率提高了_______个

百分点；(注：1%为1个百分点)

(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“J”，错误的画“X”.

①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小•()

②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升•这是因为专利授权量

当年专利授权量一上一年专利授权量

年增长率二xlOO%,所以只要专利授权量年增长率大于零，当年

上一年专利授权量

专利授权量就一定增加.()

③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量.()

【答案】(1)2020

(2)18.1%(3)5479,30.2

(4)①X,②③J

【解析】

【分析】(1)观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；

(2)先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；

（3）分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，202Q年专利授权量年增长率减去

2019年专利授权量年增长率，即可求解：

（4）①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年

增长率二口当年］专利:授权二量-上一二年专利”授又权伏量军X100%,可得②正确；③观察统计图可得从2016年到

上一年专利授权量

2020年，每年的专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解.

【小问1详解】

解：根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年；

故答案为：2020

【小问2详解】

解：把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%,16.0%,18.1%,25.4%,46.0%,

位于正中间的是18.1%,

・•・专利授权量年增长率的中位数是18.1%；

故答案为：18.陶

【小问3详解】

解：与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373Tl894=5479件；

专利授权量年增长率提高了46.0%-15.8%=30.2%,

专利授权量年增长率提高了302个百分点；

故答案为:5479,30.2

【小问4详解】

解：①因为2017年的专利授权量的增长量为8190-7062=1128件；2019年的专利授权量的增长量

11894-10268=1626件,

所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故。错误；

故答案为：X

当年专利授权量-上一年专利授权量

②因为专利授权量年增长率=xlOO%,

上一年专利授权量

所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确;

故答案为：V

根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，

所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确；

故答案为：J

【点睛】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键.

21.己知/、8两地之间有一条长440千米的高速公路.甲、乙两车分别从48两地同时出发，沿此公路

相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小

时到达8地；乙车匀速行驶至月地，两车到达各自的目的地后停止.两车距4地的路程y（千米）与各自的

行驶时间¥（时）之间的函数关系如图所示.

（2）求两车相遇后，甲车距力地的路程？与x之间的函数关系式;

（3）当乙车到达月地时，求甲车距力地的路程.

【答案】（1）2.6（2）甲车距力地的路程y与x之间的函数关系式y=6O_r+8O

（3）300千米

【解析】

【分析】（1）先根据甲乙两午相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出加的值，再用加的值加4即可得〃的

值；

（2）由（1）得（2,200）和（6,440）,再运用待定系数法求解即可'；

（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论.

【小问1详解】

根据题意得，小=200+100=2（时）

〃=，九+4=2+4=6（时）

故答案为：2.6；

【小问2详解】

由（D得（2,200）和（6,440）,

设相遇后，甲车距力地的路程y与*之间的函数关系式为丁=奴+方

2&+匕=200

则有:

6%+/?=44()

%=60

解得，

力=80

甲车距力地的路程y与x之间的函数关系式y=60x+80

【小问3详解】

甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米,

，乙车的速度为：240+2=120（千米/时）

，乙车行完全程用时为：440+120=?（时）

3

11）

>2

3

，当x=g■时，y=60x?+80=300千米，

即：当乙车到达力地时，甲车距/!地的路程为300千米

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键.

22.【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的幽纸，如图①，矩形A8C。为它的示意图.他

查找了别纸的相关资料，根据资料显示得出图①中=他先将网纸沿过点力的直线折叠，使

点8落在AO上，点5的对应点为点£方痕为人尸；再沿过点尸的直线折叠，使点。落在E尸上，点。

的对应点为点"折痕为尸G；然后连结AG,沿4G所在的直线再次折叠，发现点〃与点尸重合，进而猜

想△ADG名AAFG.

图①图②

【问题解决】

（1）小亮对上面AADG四的猜想进行了证明，下面是部分证明过程:

证明：四边形A8CO是矩形，

・•・/BAD=NB=NC=NO=90。.

由折置可知，^BAF=-^BAD=45a,/BFA=7EFA.

2

・•・ZEM=ZBE4=45°.

・•・AF=42AB=AD-

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

(2)ND4G的度数为_______度，或的值为__________；

AF

(3)在图①的条件下，点/在线段AF上，且点0在线段AG上，连结/Q、PQ,如图②，

设则尸。+尸。的最小值为________.(用含a的代数式表示)

【答案】(1)见解析(2)22.5°,72-1.

⑶旦

2

【解析】

【分析】(1)根据折叠的性质可得仍力F，ZAFG=ZD=90°,由应可证明结论；

(2)根据折叠的性质可得NZMG=LNDA产=22.5。；证明AGCb是等腰直角三角形，可求出访的长,

2

从而可得结论；

(3)根据题意可知点尸与点。关于NG对称，连接做则乃为即用最小值，过煎P作PR上AD,求出

PPA%昱a,求出胸，根据勾腰定理可得结论.

4

【小问1详解】

证明：四边形43co矩形，

・•・NB4O=N8=NC=N£>=90。.

由折叠可知，ZBAF=-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

2

・•・NE/弘=NW弘=45。.

・•・AF=QAB=AD.

由折叠得，NCFG=/GFH=45°,

・•・ZAFG=ZAFE+Z.GFE=45°+45°=90°

・•・ZAFG=ZD=90°

又AMF,AG^AG

・•・/\ADG^/\AFG

【小问2详解】

由折叠得，NBAF=NEAF,

又NAAF+NEA/=90°

ZEAF=-/BAE=-x90°=45°,

22

由AADG丝AAFG得，NDAG=ZFAG=-ZFAD=-x450=22.5°,

22

NA尸G=NAZ)G=90°,

又NA产8=45°

AZGFC=45°,

AZFGC=45°,

：.GC=FC.

设A3=匹则8尸=x,A尸=JIr=AO=8C,

・•・FC=BC-BF=>/2x-x=(y/2-\)x

・•・GF=yf2FC=(2-y/2)x

...且=勺处3]

AF

【小问3详解】

如图，连接F。，

ARED

•・•DG=FG

.,./G是加的垂直平分线，即点尸与点〃关于力G轴对称,

连接勿交4G于点0，则即⑶的最小值为勿的长；

过点尸作PR上AD交加于点R,

yZDAF=ZBAF=45'

，NAPR=45°.

：・AR=PR

又AR2+PR2=AP2=(£)2=:

・•・AR=PR=—a,

4

：•DR=AD-AR=42a--a=-y/2a

44

在Rt\DPR中,DP2=AR2+PR2

・•・DP=y)AR2+PR2=J(^a)2+a)2=^a

・•・尸Q+世的最小值为无a

2

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定

理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.

23.如图，在oABCD中，A5=4,4D=3O=JT5,点"为边A8的中点，动点P从点力出发，沿折

线以每秒个单位长度的速度向终点6运动，连结PM.作点1关于直线PM的对称点4,

连结A'P、AM.设点尸的运动时间为1秒.

（2）用含Z的代数式表示线段OP的长；

（3）连结AD，当线段AD最短时，求△£>口«的面积;

（4）当以A'、C三点共线时，直接写出片的值.

【答案】（1）3（2）当0W1W1时，DP=V13-Vi3/：当1V£W2时，尸。=Ji弓-布；

【解析】

【分析】（1）连接〃从根据等腰三角形的性质可得再由勾股定理，即可求解；

（2）分两种情况讨论：当0W-W1时，点尸在力〃边上；当1VCW2时，点?在劭边上，即可求解：

（3）过点尸作砌_如于点£,根据题意可得点力运动轨迹为以点也为圆心，4,长为半径的圆，可得到当

点。、4、J/三点共线时，线段4。最短，此时点P在49上，再证明可得

2

DE=3-3tyPE=2-2tf从而得到A%=。七一4。二2—3,，在心“VPE中，由勾股定理可得/=不，

即可求解；

（4）分两种情况讨论：当点火位于M。之间时，此时点尸在初上；当点A（A〃）位于。犷的延长线上

时，此时点刀在做上，即可求解.

【小问1详解】

解：如图，连接。从

•：A斤4,4。=5£>=万，点加为边48的中点,

・・・4生尔，2,D1LLAB,

：•DM=y/AD2-AM2=3，

即点力到边A8的距离为3；

故答案为：3

【小问2详解】

解：根据题意得：当OW，W1时，点户在力〃边上,

DP二屈-屈

当lvtW2时，点尸在切边上，PD=>/T3r-Vi3；

综上所述，当OWtWl时，DP=屈-/t；当1VEW2时，PD=M-屈;

【小问3详解】

・•・"始4g2,

点A的运动轨迹为以点材为圆心，力必长为半径的圆，

，当点。、HM三点共线时，线段AQ最短，此时点尸在初上,

・•・A£>=1，

根据题意得：A/=AP=Ji5f,DP=^-屈t,

由（1）得：rnflAB,

二心呵

:.PE//AB,

・•・△/场s△力〃机

.PDDEPE

••茄一而一行‘

.屈_屈1DEPE

••----M-==---，

V1332

解得：DE=3-3i,PE=2-2t,

AE=DE-AD=2-3t,

在中，AfP2=PE2+AE2

/.(Vi3r)2=(2-2r)2+(2-3r)2,解得：r=-,

:.PE=-

5f

：・^=1xlx|=|：

44。J

【小问4详解】

当点M、A'、C三点共线时，且点A'位于机。之间时，此时点尸在力〃上，

连接,A1B,过点尸作用］_力8于点E过点"作"于点G,则441PM,

•・38为直径，

工/4=90°,即AArLA'B,

：.PM/!A'B>

：・NF雁NABA',

过点，作CN1AB交47延长线于点N,

在oABCZ）中，AB//DC,

•：DMLAB,

：.DM/!CNy

・•・四边形。《邠为平行四边形，

:,CN=DM=3,M2CD=4,

佐5,

CN3

・•・sinZCM/V=—=-,

CM5

■:A'沪2,

,ArG=2x-=-

55

Q

♦,MG=2,

5

•・BG=BM-MG=~,

5

NG

•.tanZA,BA=—=3,

BG

*.tan/PMF=tanZABA=3,

,.—=3,即上34机

FM

DMPF_3AF2

：tanZ.DAM=cosZDAM=—

~AM~~AF~2AD713

3

•・PF=-AF,

2

3

•・3FM=-AF,即A产2FM,

2

:4JU2,

•.AF=-,

_2

•・_3_=;_,解得：/=-；

Vl3/-7133

如图，当点A'（A〃）位于CM的延长线上时，此时点户在做上，PB=2j\3-yf\3t，

过点A〃作A〃G_LAB于点G',则NAA%〃=NCMN,取44〃的中点〃，则点J/、P、〃三点共线，过点

〃作HKVAB于点K,过点。作于点T,

同理:A"G，=*AG，=,,

,:HK1AB,A"G'_LAB,

A''G',

:・&AHK〜△A4〃G,

•.•点〃是A4〃的中点,

.HKAKAH1

••477，_/一而一/'

31

・•・HK=—，AK=-,

55

9

・•・MK=3,

5

HK1

tan4PMT=tanNHMK=——=-

MK3

PT1

:.——=-,即nn〃r3尸7,

DMPT_3BM_2

VtanZPBT=8s叩噜

~BT~2BD-713

・•・BT=-PT,

3

9

・•・MT=-BT,

2

■:MRB4BM-2,

4

・•・BT=一,

11-2,解得：t=—；

2>/13-Vi3r-V1311

综上所述，，的值为2;或三20.

【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判

定和性质，解直角三角形，根据题意得到点4的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题.

24.在平面直角坐标系中，抛物线）=/一版（6是常数）经过点（2,0）.点4在抛物线上，且点火的横坐

标为卬（相¥0）.以点力为中心，构造正方形尸QMN,PQ=2\n^f且PQ_Lx轴.

（1）求该抛物线对应的函数表达式：

（2）若点8是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧.过点6作x轴的平行线交抛物线于另一点C,连接

BC.当BC=4时，求点6的坐标；

（3）若机＞0,当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，

求/〃的取值范围；

(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为之时，直接写出勿的值.

4

【答案】(1)y=x2-2x

(2)B(-l,3)

(3)0＜加£2或加23

2

313

(4)m=一一或加=一或机=—.

822

【解析】

【分析】(1)将点(2,0)代入y=d一公，待定系数法求解析式即可求解；

(2)设8(见加2一2”)，根据对称性可得。(2-根,相2—2m)，根据BC=4,即可求解；

(3)根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形PQMN点。在x轴上时，此时M与。点重合，当尸Q经

过抛物线的对称轴x=l时，进而观察图象即可求解；

(4)根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解.

【小问1详解】

解：•:抛物线(。是常数)经过点(2,0)

：.4-2b=0

解得人=2

二.y=x2-2x

【小问2详解】

如图，

由y=f_2x=（x-l）2-1

则对称轴为直线x=l,

设3（机，加一2相），则。（2-〃7,那一2加）

,:BC=2-m-m=4

解得w=-l

8（-1,3）

【小问3详解】

•・•点幺在抛物线上，且点力的横坐标为勿（加工0）.以点/为中心，构造正方形PQMN,P2=2|/n|,且

PQ~Lx轴

:.MN^PQ^Q\n\,且在y轴上，如图，

①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形尸点。在x轴上时,

此时M与。点重合，

「•OP的解析式为y=x

，A（加,〃?），将代入y=炉-2x

即m2-2m-m=0

解得场=0,加2二3

*/m>0

"（3,3）

观察图形可知，当〃?23时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；

②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当PQ经过抛物线的对称轴x=l时,

,/MQ=PQ=217?），〃7>0

:.2m=\

解得m=—,

2

观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大;

综上所述，勿的取值范围为0或〃

2

【小问4详解】

33

①如图，设正方形与抛物线的交点分别为民尸，当为-》「二:时，则MN=：

44

A是正方形PQMN的中心，A^n,m2-2m^

No

BPw=--

8

A{m,nr-2m)

=

yEyA+~MN=yA+rn=rn~—2m十m=nr—rn

•••交点的纵坐标之差为3,

4

3

尸的纵坐标为-m--

4

♦.♦尸的横坐标为MQ=PQ=2m

.，23）

..r2m,m-m——

\4J

尸在抛物线y=x2-2x±,

32

/.zn2-zn--=（27n）-2x2m

解得!

2

③当A在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为0,S工设直线AM交x轴于点T，如图,

匕i

v-H

3

贝rt5I=%=彳

3

.•.0"=。7=二

4

即加足）,亚,0、

设直线MN解析式为y=kx^b

-k+b=O

4

则c

k=-\

解得L3

b=—

4

3

・•・直线MN解析式为y=-x+-

联立y=x2-2x

31

解得办=1，%2=-/（舍去）

33

即A的横坐标为大，即〃2=大，

22

3

综上所述，m二-二或机二1一或加=一3.

822

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图象的性质

是解题的关键.

2021年吉林中考数学真题及答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.-（-2）的值为（）

A.AB.-AC.2D.-2

22

【分析】直接根据相反数的定义可得答案.

【解答】解：・（・2）的值为2.

故选：C,

2.据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860000000元人民币，比去年同期增长28.2%.其

中52860000000这个数用科学记数法表示为（）

A.0.5286X10"B.5.286X1O10

C.52.86X10°I）.5286X107

【分析】科学记数法的表示形式为々X10〃的形式，其中lW|a|V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【解答】解：52860000000=5.286X1O10.

故选：B.

3.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（）

主视图左视图

俯视图

A.圆锥B.长方体C.球D.圆柱

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视驾为圆形可得为圆柱.

故选：D.

4.关于x的一元二次方程系-6户/=0有两个不相等的实数根，则r的值可能是（）

A.8B.9C.10D.11

【分析】根据判别式的意义得到△=（-6）2-4加＞0,然后解关于卬的不等式，最后对各选项进行判断.

【解答】解：根据题意得△=（-6）2-4加＞0,

解得〃/<9.

故选：A.

5.如组是净月潭国家森林公园•段索道的示意图.已知力、6两点间的距离为30米，ZJ=a,则缆车从力

点到达占点，上升的高度（8。的长）为（）

」小

A.30sina米B.战米C.30cosa米D.30一米

sinCLcosa

【分析】根据sina=里求解.

AD

【解答】解：・・飞江。=区=弛，

AB30

・••灰=30sina米.

故选:A.

6.如图，力8是。。的直径，勿是。。的切线，若N为C=