偏微分方程知到智慧树章节测试课后答案2024年秋山东大学（威海）

偏微分方程知到智慧树章节测试课后答案2024年秋山东大学（威海）绪论单元测试

假设和连续，求解二阶线性偏微分方程

答案:无请求解二阶线性偏微分方程

。

答案:无

第一章单元测试

偏微分方程定解问题的适定性是：存在性、唯一性和稳定性。（）

A:对B:错

答案:对弦在振动过程中可能发生纵向振动吗？（）

A:对B:错

答案:对一条柔软均匀的细弦长度为1，一端固定，另一端是弹性支撑（阻力与速度成正比的介质中作微小的横振动）提起高度为，试写出该定解问题。

答案:无试推导三维波动方程。

答案:三维波动方程为：\[\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partialz^2}\right)\]其中，\(u(x,y,z,t)\)表示在三维空间中某点的位移量，\(c\)是波的传播速度。一长度为的均匀细杆具有绝热的侧表面，试给出其温度所满足的定解问题，其中杆的一端温度保持恒定，一端有恒定的已知热流。

答案:无

第二章单元测试

Sturm-Liouville问题的解决是基于自共轭算子的理论发展。（）

A:对B:错

答案:对求解初值问题：其中.若初值只给定在上，试问：在什么区域上能确定解。

答案:无初边值问题：求解的表达式。

答案:无试用能量积分法证明初边值问题解的唯一性和稳定性。

答案:无试用齐次化原理求解平面非齐次波动方程在齐次初始条件下的求解公式。

答案:无

第三章单元测试

极值原理是符合物理现象的。（）

A:对B:错

答案:对请求解如下初值问题：。

答案:无求解初边值问题

答案:无讨论初边值问题解的大时间行为。

答案:无用能量积分法讨论讨论解的唯一性和稳定性。

答案:无

第四章单元测试

验证二维圆面上调和函数第一边值问题解的过程中，下列哪项是正确的？（）

A:仅通过图形方法验证解的正确性。B:通过直接替换检验边界条件。C:利用积分号下求导数的方法验证调和方程。D:利用格林函数的对称性得知，在圆内关于点也是调和的。

答案:利用积分号下求导数的方法验证调和方程。尝试给出所对应的泛函，并证明泛函取最小等价于所述的边值问题。

答案:无，尝试说明此问题极值原理不成立。

答案:无尝试证明只要满足平均值公式的连续函数一定是调和函数。

答案:对于一个二元连续函数$f(x,y)$，如果它满足平均值性质，即对于任意点$(x_0,y_0)$和任意$r>0$，有\[f(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta,\]则$f(x,y)$是调和函数。证明：调和函数定义上要求满足拉普拉斯方程，即\[\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partialx^2}+\frac{\partial^2f}{\partialy^2}=0.\]我们利用平均值性质来证明这一点。对$f(x_0,y_0)$按照极坐标下的$x$（或$r\cos\theta$）和$y$（或$r\sin\theta$）进行偏导数运算，并应用链式法则。但直接从平均值性质出发更简洁，我们考虑平均值性质对方程两边关于$r$的偏导数：\[\frac{\partial}{\partialr}\left[f(x_0,y_0)\right]=\frac{\partial}{\partialr}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta\right].\]由于$f(x_0,y_0)$不直接依赖于$r$，其导数为0，而右侧通过积分中值定理可以转换为对函数在圆周上的值的积分，最终得到关于$f$在圆周上导数的表达式。进一步，对$r$二次偏导数，会得到拉普拉斯算子作用于$f$的结果关于$r$的表达式。通过适当的计算与极坐标到直角坐标的转换，结合原函数的连续性和可微性，可以证明$\nabla^2f=0$。因此，根据平均值性质的定义，连续函数$f(x,y)$满足该性质，则必然是调和函数。用能量积分法证明解的唯一性。

答案:无

第五章单元测试

通过自变量的适当的可逆变换及未知函数的适当的可逆线性变换，可以简化方程并得到同一方程的不同表达形式。（）

A:对B:错

答案:对对Laplace方程，任何连续解在其定义域中都是解析函数（）

A:对B:错

答案:对解的先验估计主要包括最大模估计和均方模估计（）

A:错B:对

答案:对将方程化为标准形式。

答案:无求的特征方程和特征方向。

答案:无

第六章单元测试

函数的Fourier变换。

答案:无求函数的Fourier变换。

答案:无用Fourier变换导出三维调和方程的基本解。

答案:三维调和方程（Laplace方程在三维空间中的形式）为：\[\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partialx^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partialy^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partialz^2}=0\]使用Fourier变换来求解，设三维空间中的函数$\phi(\vec{r})=\phi(x,y,z)$可以被Fourier变换为频率域中的函数$\tilde{\phi}(\vec{k})=\tilde{\phi}(k_x,k_y,k_z)$，其中$\vec{r}=(x,y,z)$是位置向量，$\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)$是对应的波数向量。三维Fourier变换定义为：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}dxdydz\]对应的逆变换为：\[\phi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\phi}(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dk_xdk_ydk_z\]对$\phi(\vec{r})$应用Fourier变换到$\tilde{\phi}(\vec{k})$上，并利用Fourier变换的性质，可以得到三维调和方程在频域中的形式：\[-k_x^2-k_y^2-k_z^2\tilde{\phi}(\vec{k})=0\]解这个方程得到：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=C(k_x,k_y,k_z)\cdote^{-\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\cdotf(\vec{k})}\]但根据原方程，直接得到的是简单的比例关系，正确的表述应简化为：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=C(k_x,k_y,k_z)\]这里的$C(k_x,k_y,k_z)$是与波数相关的复数常数，包含了原问题的所有可能解的信息。最后，通过逆Fourier变换得到三维调和方程的基本解为：\[\phi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}C(k_x,k_y,k_z)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dk_xdk_ydk_z\]这就是用Fourier变换导出的三维调和方程的基本解的形式表达。对偏微分方程广义解的研究是必要的。

A:对B:错

答案:对广义函数的概念扩充了经典函数的概念。

A:错B:对

答案:对

第七章单元测试

一.构造逼近的中心差分格式.

答案:无二．(1)设,是上的网函数，又

,

其中恒正,非负，且.证明当（）时,不能

在内点取正的极大（负的极小）,除非等于常数.（只证一种情况即可）

(2)在上一问中,设,,证明差分方程

,的解满足.

答案:无三.考虑格式,

设.证明:当时格式恒稳定,当时稳定的充要条件

是.

答案:无在不同的范数标准衡量下，有