2025版新教材高中数学同步练习6向量的数量积2新人教A版必修第二册

同步练习6向量的数量积(2)必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．已知向量a，b满意|aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝2，))b|＝eq\r(3)，且a与b的夹角为eq\f(π,6)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))＝()A．6B．8C．10D．142．[2024·湖南益阳高一期中]已知平面对量a，b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，且a与b的夹角为eq\f(2π,3)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝()A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．eq\r(7)D．33．已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(3)，a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a))＝－7，则向量a与向量b的夹角是()A．eq\f(5π,6)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,6)4．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，|a－3b|＝5，则a·b＝()A．2B．－2C．1D．－15．已知向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则(2a－b)·(a＋4b)＝()A．2B．－2C．4D．－46．已知单位向量a，b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝1，则a在b方向上的投影向量为()A．eq\f(1,2)bB．－eq\f(1,2)bC．eq\f(1,2)aD．－eq\f(1,2)a7．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则向量a－b－c的模为()A．eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．48．(多选)[2024·湖南邵阳高一期中]已知m，n是实数，a，b，c为向量，则下列运算中正确的有()A．(m－n)a＝ma－naB．若ma＝mb，则a＝bC．(a·b)·c＝a·(b·c)D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c9．(多选)[2024·江苏徐州高一期末]设向量a，b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝1，则()A．a与b的夹角为60°B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝1C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋b))＝2D．a⊥b二、填空题(每小题5分，共15分)10．已知向量e1与e2的夹角为60°，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e2))＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e1＋e2))·e1＝________．11．[2024·河南洛阳高一期末]若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2，且a·b＝－2，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝________．12．已知e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1－e2,若a·b＝0，则k的值为________.三、解答题(共20分)13．(10分)[2024·山东德州高一期中]已知向量a，b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1.(1)若a，b的夹角为eq\f(π,3)，求a·b；(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))⊥b，求a与b的夹角．14．(10分)设向量a，b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ka＋b))＝eq\r(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－kb))(k>0).(1)推断a与b能否垂直；(2)若a与b的夹角为60°，求实数k的值．关键实力提升练15.(5分)若平面对量a，b，c两两的夹角相等，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))＝3，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2c))＝()A．2B．10C．5或2D．10或416.(5分)[2024·河南信阳二中高一期中]已知向量a，b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(3)，a，b的夹角为150°，则2a＋b与a的夹角为________．17．(10分)已知向量e1，e2，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(e2))＝1，〈e1，e2〉＝eq\f(π,3).m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2.(1)若向量m⊥n，求λ的值；(2)若向量m与n的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．同步练习6向量的数量积(2)必备学问基础练1．答案：B解析：由|aeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝2，))b|＝eq\r(3)，且a与b的夹角为eq\f(π,6)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－b))＝2a2＋a·b－b2＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))coseq\f(π,6)－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝2×22＋2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2＝8.故选B.2．答案：A解析：∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，且a与b的夹角为eq\f(2π,3)，∴a·b＝2×1×coseq\f(2π,3)＝－1，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22－2×1＋12＝3，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\r(3).故选A.3．答案：A解析：设a与b的夹角是θ，则由题意可得a·b＝2×eq\r(3)×cosθ＝2eq\r(3)cosθ，再依据a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a))＝a·b－a2＝2eq\r(3)cosθ－4＝－7，解得cosθ＝－eq\f(\r(3),2)，结合θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))可得θ＝eq\f(5π,6).故选A.4．答案：A解析：因为|a|＝1，|b|＝2，|a－3b|＝5，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－3b))2＝a2＋9b2－6a·b＝1＋36－6a·b＝25，解得a·b＝2.故选A.5．答案：B解析：因为向量a，b均为单位向量，且a⊥b，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，a·b＝0，所以(2a－b)·(a＋4b)＝2a2－4b2＋7a·b＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\s\up12(2)－4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))eq\s\up12(2)＝－2，故选B.6．答案：B解析：由已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))2＝a2＋2a·b＋b2＝1,因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝－eq\f(1,2).所以a在b方向上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝－eq\f(1,2)b.故选B.7．答案：B解析：由题意，可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))＝eq\r(2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b－c))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b－c))2)＝eq\r(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝eq\r(1＋1＋2－2cos90°－2\r(2)cos45°＋2\r(2)cos45°)＝2.故选B.8．答案：AD解析：A选项：(m－n)a＝ma－na，满意向量的运算法则，所以A正确；B选项：当m＝0时，ma＝mb，但是a，b不肯定相等，所以B不正确；C选项：(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，所以两个向量不肯定相等，所以C不正确；D选项：(a＋b)·c＝a·c＋b·c，满意向量的数量积的运算法则，所以D正确．故选AD.9．答案：BCD解析：对AD，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a与b的夹角为90°，故A错误，D正确；对B，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝1，故a2＋2a·b＋b2＝1，因为a·b＝0故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))2＝1，故B正确；对C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋b))＝2a2＋5a·b＋2b2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋b2))＝2，故C正确．故选BCD.10．答案：eq\f(5,2)解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e1＋e2))·e1＝2eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋e2·e1＝2＋1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).11．答案：2eq\r(3)解析：因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2，且a·b＝－2，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(4＋4＋4)＝2eq\r(3).12．答案：－eq\f(5,4)解析：由题意知a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－2e2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ke1－e2))＝0，即ke12－e1·e2－2ke1·e2＋2eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0，即k－coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)＋2＝0，化简可求得k＝－eq\f(5,4).13．解析：(1)因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，所以a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))coseq\f(π,3)＝eq\r(2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2).(2)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))⊥b，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))·b＝0，所以a·b－b2＝0，所以a·b＝1，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(\r(2),2)，因为θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以θ＝eq\f(π,4)，故a与b的夹角为eq\f(π,4).14．解析：(1)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ka＋b))＝eq\r(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－kb))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))2＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－kb))2，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2－3))a2＋8ka·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－3k2))b2＝0，又∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，即a2＝b2＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2－3))＋8ka·b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－3k2))＝0，整理得a·b＝eq\f(k2＋1,4k)，留意到k>0，则a·b＝eq\f(k2＋1,4k)>0，故a与b不垂直．(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(k2＋1,4k)，则k2－2k＋1＝0，解得k＝1，故实数k的值为1.关键实力提升练15．答案：D解析：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2c))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2c))2)＝eq\r(a2＋b2＋4c2＋2a·b＋4a·c＋4b·c).因为平面对量a，b，c两两的夹角相等，所以夹角有两种状况，即a，b，c两两的夹角为0°或120°，当夹角为0°时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2c))＝2＋2＋6＝10，当夹角为120°时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2c))＝eq\r(22＋22＋4×32＋2×2×2×（－\f(1,2)）＋4×2×3×（－\f(1,2)）＋4×2×3×（－\f(1,2)）)＝4，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2c))＝10或4.故选D.16．答案：60°解析：因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(3)，a与b的夹角为150°，所以a·b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos150°＝－eq\f(3,2)，所以|2a＋b|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋b))2＝4a2＋b2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝1，得|2a＋b|＝1，又a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝eq\f(1,2)，设2a＋b与a的夹角为θ，所以cosθ＝eq\f(a·（2a＋b）,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\