2025届高三数学二轮专题复习函数零点问题讲义主要是含参函数

函数的零点问题（主要是含参函数）-------------------------------------------------学问点与方法总结-----------------------------------------------------一、函数的零点1、函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点．2、函数的零点与方程的根之间的联系1）函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点．2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；3）函数有零点方程F（x）=0有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.3、二次函数的零点二次函数的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210二、零点存在性定理假如函数在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能推断出零点存在，不能确定零点个数.（1）若，则“肯定”存在零点，但“不肯定”只有一个零点.要分析的性质与图象，假如单调，则“肯定”只有一个零点（2）若，则“不肯定”存在零点，也“不肯定”没有零点。假如单调，那么“肯定”没有零点（3）假如在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。假如单调，则肯定小于0.三、二分法1、二分法的概念对于在区间[a，b]上连绵不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2、用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)=0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))．④推断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．四、函数零点的判定方法1、定义法（定理法）：运用零点存在性定理，函数必需在区间[a，b]上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．2、方程法：推断方程是否有实数解．3、图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.五、推断函数零点个数的方法1、解方程法：令f(x)=0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点．2、零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连绵不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.六、函数零点的应用问题1、已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围依据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①推断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满意的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，留意函数图象的应用．2、已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般状况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3、借助函数零点比较大小或干脆比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若干脆比较函数零点的大小，方法如下：①求出零点，干脆比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.七、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有关的零点分布设方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点横坐标，它们的分布状况见下面各表（每种状况对应的均是充要条件）根的分布(m＜n＜p为常数)图象满意条件x1＜x2＜mm＜x1＜x2x1＜m＜x2m＜x1＜x2＜nn＜x2＜p只有一根在(m，n)之间八、一元三次方程根与系数的关系设方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三个根分别为x1、x2、x3．原方程化为．∵x1、x2、x3是方程的三个根，∴．整理，得：，比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：．---------------------------------------------------------题型归纳------------------------------------------------------【题模1】：定义法解决函数零点问题【题模2】：数形结合法解决函数零点问题【题模3】：导数法解决函数零点问题题型一、零点个数即函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点个数，即方程根的个数问题题型二、切线的条数问题，即以切点为未知数的方程的根的个数题型三、已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数【题模4】：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有关的零点分布【题模5】：函数零点的应用问题【题模6】：一元三次方程根与系数的关系--------------------------------------------------------专题训练----------------------------------------------------------【题模1】：定义法解决函数零点问题【讲透例题】1、已知函数的图象是不间断的，并有如下的对应值表：123456787–35–5–4–8那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（）个A．5B．4C．3D．22、设函数，求函数的零点3、函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．4、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2【相像题练习】1、函数的零点个数是A．0B．1C．2D．3x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋2123452、依据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.3、若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间（）A.(a,b)和(b,c)内B.（-∞，a）和(a,b)内C.(b,c)和（c,+∞）内D.（-∞，a）和（c,+∞）内4、若函数的一个正数零点旁边的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2.1f(1.5)=0.62f(1.25)=-0.94f(1.375)=-0.26f(1.4375)=0.163f(1.40625)=-0.054那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（）A．1．2 B．1．3 C．1．4 D．1．55、已知是实数，函数，假如函数在区间[-1,1]上有零点，求的取值范围。6、已知二次函数的导函数图像与直线平行，且在处取得微小值，设；（1）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求的值；（2）k如何取值时函数存在零点，并求出零点。【题模2】：数形结合法解决函数零点问题【讲透例题】1、下列方程在区间内肯定没有实根的是（）A、B、C、D、2、方程实根的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）多数多个3、若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是_____.4、已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x＜2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．5、已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0).(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【相像题练习】1、已知是偶函数，且其图像与x轴有7个交点，则方程的全部实根之和为（）A、4B、2C、1D、02、已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则g(a)，f(1)，f(b)的大小关系为________．3、若定义在R上的偶函数，且当则函数的零点个数是() A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个【题模3】：导数法解决零点个数问题题型一、零点个数即函数f(x)与x轴（或与g(x)）的交点个数，即方程根的个数问题【讲透例题】1、方程exaxa0有唯一的实数解，实数a的取值范围为.（用三种方法解）2、已知函数，，且在区间上为增函数．⑴求实数的取值范围；⑵若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．3、已知函数，（其中）（1）若，探讨函数的单调性；（2）若，求证：函数有唯一的零点.【相像题练习】1、设函数（其中为自然对数的底数，，），曲线在点处的切线方程为．（1）求；（2）若对随意，有且只有两个零点，求的取值范围．2、已知函数f（x）=ax+lnx+（Ⅰ）若a≥0或a≤﹣1时，探讨f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x）至多一个零点．题型二、切线的条数问题，即以切点为未知数的方程的根的个数【讲透例题】1、已知函数在点处取得微小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【相像题练习】1、已知.（1）求的单调区间；

（2）过可作的三条切线，求的取值范围.题型三、已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数【讲透例题】定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是.2、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．【相像题练习】1．若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2、若函数既有极大值又有微小值，则实数的取值范围为（）A． B． C．或 D．或3、函数在内不存在极值点，则的取值范围是___________．【题模4】：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)有关的零点分布【讲透例题】1、求实数的范围，使关于的方程的两根状况如下：(1)两个负根；(2)两根都小于1；(3)两根都大于1；(4)一个根大于1，一个根小于1是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【相像题练习】：1、若方程的两个根的两根状况如下，求的取值范围。(1)两根都小于-1；(3)两根都大于-1；(3)一个根大于-1，一个根小于-1【题模5】函数零点的应用问题【讲透例题】1、对随意实数a，b定义运算“⊗”：,设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是A．(−2,1)B．[0,1]C．[−2,0)D．[−2,1)2、已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是A．B．C． D．3、已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的全部可能的值为A． B．或 C．或 D．或或【相像题练习】1、已知函数有唯一零点，则a=A． B．C． D．12、已知函数，函数，则函数的零点个数为A．2 B．3C．4 D．53、函数的零点个数为_________.4、设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是．5、已知函数，其中．若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则m的取值范围是_______