数学-2024年高考终极押题猜想（新高考）（解析版）

2024年高考数学终极押题猜想

［高分的秘密武器：终极密押+押题预测)

押题猜想一函数性质(奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用..............................1

押题猜想二导数中的零点问题..................................................................5

押题猜想三三角恒等变换求值问题..............................................................15

押题猜想四解三角形中的范围与最值问题.......................................................18

押题猜想五外接球、内切球、棱切球...........................................................24

押题猜想六立体几何中的不规则图形...........................................................30

押题猜想七条件概率背景下概率与实际生活密切联系............................................40

押题猜想八圆锥曲线的离心率.................................................................49

押题猜想九圆锥曲线中的面积问题.............................................................54

押题猜想十数列新定义........................................................................65

押题猜想一函数性质(奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用

政。终极密押。

已知函数/(到的定义域为R,对于任意实数x,y满足/(x+y)+/(x-y)=2/(x+l)/(y),且

/(9)=2,则下列结论错误的是•)

A./(1)=1B./("为偶函数

C./(x)是周期函数D.410)=+

【答案】c

【解析】令x=y=0,得2/(0)=2f(0)f(l),因为/(0)=2,所以7(1)=1,A正确;

令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(i)f(y)=2f(y),所以y),则f(力为偶函数,B正确;

令:/=0,得2/(%)=2/(x+l)/(0)=4/(x+l),即/(x+l)=1/(x),所以不是周期函数，C错误；

当工取正整数〃时，=…==则/(10)=(gJ=+,D正确.

故选：C.

£?押题解读

从近五年的高考情况来看，本部分多以选择题的压轴题呈现，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必

考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时

要充分运用转化思想、数形结合思想和通过合理的赋值解决，抽象函数问题是今年高考的热点之一.

战。押题预测。

I.已知函数/a)=e2xT-ee+smCx-：)+l,则不等式〃2计1)+〃2-力22的解集为()

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.[-2,2]D.[-2,+oo)

【答案】D

【解析】因为/(力=金1-ej+sin(/x-；)+1,

所以/(1-力=-e,-2(,-x)+sin-(l-x)--]+1=e'-2x-e2-1-sinf-x--1+1,

.24_\24y

所以〃I)+/(x)=2,即的图像关于点(对中心对称.

=+cosx—

f'(x)=2c2V-1+2C"2'人一>2>/2C2V_|x2u,-7r+cosx—(当且仅当

X时等号成立).

因为-14COS仔一祚1,所以广(力之4-袅0,所以/(%)在R上单调递增.

由f(1)+/(x)=2,得f(2r)+/(T+x)=2.

由『(2工+1)+/(2-力22可得/(2x+l)+/(2-x)1/(2-x)+/(T+x),即/(2工+1)2/(-1+司，

所以2x+12-1+x,解得x2-2.

故选:D.

2.(多选题)已知函数y=M1(%+1)为偶函数，且/(1)=/卜+3),当xw[0,l]时,/(x)=2-2\则

()

A.”力的图象关于点(1,0)对称B./(力的图象关于直线工=2对称

C./("的最小正周期为2D./(1)+/(2)+-+/(30)=-1

【答案】ABD

【解析】对A：因为)，=0*(x+】)为偶函数，则必■(工+1)=-V(-x+l)，

即“x+l)=—〃r+l),所以y=/(x+l)是奇函数，

所以“力的图象关于点(1,0)对称，故A正确：

对B：因为〃l—x)=/(x+3),所以/(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；

对C：因为〃1一刈=/(%+3),/(x+l)=-/(-x+l),

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则/(1+3)=—/(x+1),则/(x+5)=-/(x+3)=/(x+l),

所以/(x)的最小正周期为4,故C错误；

对D：因为当工«0』时，/(x)=2-2\所以/(0)=1,/(1)=0,

因为〃”的图象既关广点(1,。)对称，又关于直线x=2对称，

所以〃2)=-〃0)=-1,/(3)=/(1)=0,

因为〃])的最小正周期为4,

所以f(4)=f(0)=l,所以/⑴+/(2)+/(3)+〃4)=0,

所以/⑴+/(2)+…+〃30)=7[f(l)+/(2)+/(3)+〃4)]+〃l)+〃2)

=7x0+0+(-1)=-l,故D正确.

故选：ABD.

3.(多选题)已知定义城为R的函数/(".满足/(x+y)=〃x)/(y)-f("x)f(i-y),且〃。)工。,

"-1)=0,则()

A./(l)=oB./(X)是偶函数

2024

C.[/⑼+[〃1+”了=1D.

i

【答案】ABC

【解析】对于A项，由/(x+y)=/(%)/(y)-〃iT)/(l-y),

P12「/、-|2

令H=)，=；,W0/(!)=_•'(；)=0'故A项正确；

对于B项，令x=y=0,M/(o)=[/(o)]2-[/(I)]2=[/(0)]2，

因“0)工。，故/(0)=1,

令y=i,则/(x+i)=/(x)/(i)_/(i_4)/(o)=_f(i_x)①,

所以函数/(X)关于点(1,0)成中心对称，

令*=y=1,则〃2)-0⑴于-[/(0)]2=-1,

令y=2,则/(x+2)=f(x)〃2)_/(lT)f(—l)=—/(x)②，

由①可得：〃X+2)=—/(T)③，由②®可知：/(-x)=/(x),

且函数/(力的定义域为R,则函数/(X)是偶函数，故B项正确；

对于c项，令y=-x,则〃0)=f&)/(r)—〃lT)〃l+x),

因为〃0)=1,/(-x)=/(x),=代入上式中得，

C./(2023)+/(2024)+/(2025)=2

D.函数八数与函数y=|ln|x||的图象有8个不同的公共点

【答案】ABD

【解析】由/(-3+1)+/(-1-工)=0得函数/⑸关于(―2,0)对称，A正确;

由得函数关于I对称，

以/(-4+幻+/(-A)=0,/(-2+x)=/(-r),

所以f(x-4)+/(x-2)=0,即/(x)+/(x+2)=0,

所以7•(0)-2)=〃j+4),故函数/⑴的周期为4,

由/(-5)=-2知/(-1)=-2,/(g)=,

所以xw[-1,0]时，/(x)=-x2+x.

所以/(1)=_/(7)=2,B正确；

/(2023)+/(2024)+/(2025)=/(-1)+/(0)+/(1)=0,C错误;

画出函数/(幻和函数y=|ln|x||的图象,如图：

尸阿砌

O1A/46\

V何6

|ln|-7||=ln7<2=/(-7),观察图象可得函数/3)与函数)，=|ln|x||的图像有8个不同的公共点，D正确.

故选:ABD.

押题猜想二导数中的零点问题

：号•终极密押。

已知函数/(x)=.dnK,^(x)=1.x+-.

⑴若/(x)与g")的图象有且仅有两个不同的交点，求实数〃的取值范围；

⑵若人("=M/(力-武刈，〃(力是的导函数，方程"&)=〃?有两个不相等的实数解巧，X2,求

证：XI+X2>2.

【解析】(1)法一：由已知/(“与g(x)的图象有且仅有两个不同的交点,

则方程=即有且仅有两个不同的实数解，

2x2

令p(x)=x2lar--1x2,

则原问题可转化为函数P(X)的图象与直线)'=〃有两个不同的交点.

(工)=2xlav+x-3x=2x(lav-1),

令p[x)>0,得x>e,令p<x)vO,得Ovx<e,

故p(x)在(e,xo)上单调递增，在(O,e)上单调递减，

且当x趋近于0时，p(x)趋近于0,当尤趋近于内时，p(x)趋近于内,

〃⑻=_],作出p(x)与>的大致图象如图所示，

2/2\

数形结合可得上<。<0,即实数”的取值范围为-3,0.

解法二：若/(M与g(x)的图象有且仅有两个不同的交点，

则方程川2=]工+且,即x2\n.x-x2=。有且仅有两个不同的实数解，

2x2

令〃(力=/瓜.芸2―4,则原问题可转化为函数〃3有两个不同的零点.

(工)=2xlnv+x-3x=2.v(lnx-l),

令p[x)>0,得x>e,令"(x)<0,得0cx<e,

故P(X)在(。,侄)上单调递增，在(0,c)上单调递减，

且当X趋近于。时，p(x)趋近于-4,当X趋近于+8时，p(x)趋近于+8

p(e)=_：_a,作出p("的大致图象如图所示，

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。＜0,即实数〃的取值范围为

3

(2)//(%)=x2lav--x2-a,则”(x)=2x(hir-1),

令夕(x)=2x(lnx-l),则(p'{x}=2(lnx-1)+2=21nv,

当xe(0,1)时，"(x)vO,*(x)单调递减，

当H£(l,+8)时，\x)>0,0(X)单调递增,

且夕(e)=0,当“趋近于。时,/(力趋近于0,

当X趋近于+8时，趋近于+力,夕(1)=-2,

作出e(x)的大致图象如图所示.

不妨令内<%，则由〃(内)="(七)，^0<.r1<l<x2<e,

令尸(x)=e(x)-e(2-x),0<X<1,

贝I」尸'(X)=0'(x)+0'(2-x)=2lnj+2ln(2-x)

=2ln(2x-x2)=2In[-(x-1)2+1]

当()<xvl时，-(X-1)2+1G(0,1),所以F(X)<0,/(x)单调递减，

所以歹(_¥)>/⑴=夕(1)一夕(2—l)=0,所以3(X)>W(2—X),0<A<I.

因为所以O(XJ>0(2TJ,

又。(%)=*(%)，故*(%)>0(2-百),

X1<x2<e,2-A-1>I,且w(x)在(1,+功上单调递增，故工2>2-玉，即芭+々>2.

£?押题解读

木部分多以解答题呈现，导数压轴题以零点问题为主，重点关注由函数的零点生成的各类问题(结合不等

式、双变量问题、恒成立与有解问题、极值点偏移问题等)的求解思路，本质是如何构造函数以及变形函

数求解难题，导数中的零点问题与不等式结合是今年高考的热点之一

战。押题幅测❷

1.已知/a0,函数/("=(x+a)ln(x+》)的图象在点处的切线方程为xln2-y—ln2=0.

⑴求m5的值；

⑵若方程(e为自然对数的底数)有两个实数根％%且再<%，证明：9―%<1+1+工

eeeln2

【解析】(1)因为r(x)=:鳌-ln(x+9,所以r(l)=*+ln(l+A)=ln2,

由题意知/(1)=0,所以/(l)=(l+a)ln(l+»=0,

(l+fl)ln(/?+l)=0

联立方程组1+a一，解得。=一1,〃=1.

-j—+In(!+/?)=In2

(2)由(1)可知/(x)=(I)g+l),x>-l,/(0)=0,/(1)=0,

门力=1--—+ln(x+l),设/'(•¥)="(X),

人•1

所以3)即r{x)在(T+O。)上单调递增.

又「(0)=—l<0J'⑴=ln2>0,所以存在%e(0,l),使得尸(刍)=0,

故f(x)在(-1,小)上单调递减，在(・卬笆)上单调递增，

设力(x)=(x-l)・ln2,令产(x)=/(x)-/z(x)=(x-l)ln(x+l)-(A-l)ln2,

贝IJ9(x)=M+ln(x+l)-ln2=1n(x+l)-M+l-ln2,

因为尸(x)在上单调递增，

所以尸⑺在(T”)上单调递增.

又尸(1)=0,所以当一1VXV1时，r(x)<0,当X>1时，Fr(x)>0.

所以产(x)在上单调递减，在(1,内)上单调递增.

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故尸（x）2尸⑴=0,即（x-l）ln（x+l）“xT>ln2,当且仅当x=l时，等号成立.

因为方程/"）=■!■有两个实数根不占，且%<%，

e

也就是/（乂）=〃m）=,>〃1）=/（0）=0,且注意到/（力在（1，+8）上单调递增,

e

所以E<0</<1<工2，

所以（七一1）1|1（文2+1）>（七一1）卜12,即（毛）.

设力（刈=’的根为："，则9'=1+土，

eein乙

又4（X）在（一1,/）上单调递增，所以/?卜2'）=/（工2）>"（工2），

故W①.

易知/（"的图象在坐标原点处的切线方程为g（"=-A，

^T（x）=f（x）-g（x）=（x-l）ln（A+l）+xf

贝ijr（x）=^+ln（x+l）=2--j+ln（x+l）,

因为:（x）在（T”）上单调递增，

所以r（x）在（-L+OO）上单调递增.

又r（o）=o,

所以当—ic<o时，r（x）<o,当x>o时，r（x）>o,

所以丁（“在（-1,0）上单调递减，在（O,y）上单调递增.

所以丁（力27（0）=。，（x-l）ln（x+l）N-x,当且仅当工=0时，等号成立.

因为％<。，所以（大一1）111（电+1）>—内,即/（xJ>g（N）.

设8（力=1的根为M，则父=一L

ee

又g（x）在（T,y）上单调递减，

所以义［；）=/（内）>雇43所以M<x，

从而-父>-X1②.

由①②可知：工2一%<乂—％=1+c+—•

eln2e

2.己知函数/（x）=/+L

x

（1）当。=0时，求曲线）=/。）在点（IJ。））处的切线方程;

(2)设g(x)=f(x)x2,求函数g(x)的极大值;

⑶若a<-e,求函数/(x)的零点个数.

【解析】⑴当。=0时，./Wf+L=

Xx-

贝l」r(l)=T，〃l)=2,

所以曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程为)」2二-(工一1),即y=-x+3；

(2)八力=叱-,,Mg(x)=f\x).x2=-1(x^0),

则&'(x)=2ore'"+u2x2eaK=co•9"+2)e"，(xw0),

当4=。时，g(“)=-l,此时函数g(x)无极值；

当a>0时，令g'(x)<0,则x>0或x<——，令g'(x)<0,则一一<x<0,

所以函数g(x)在卜2-§，(0,+8)上单调递增，在(-|，0)上单调递减，

所以g(x)的极大值为=

22

当“<0时，令g'(x)<0,则XV。或x>—,，令g'(x)<0,则0<x<一,,

所以函数g(x)在(-巴()),(一•|,+8)上单调递增，在(0,一目上单调递减，

而函数g(X)的定义域为(79,0)5°，+8)，

所以此时函数g(x)无极值.

综上所述，当时，函数g(x)无极大值：

当〃>0时，8(力的极大值为*T；

(3)令/(x)=e"+L=0,则e"，=—L

xx

当”>0时，eat>0,--<0,

X

所以x>0时，函数/")无零点：

当工<。时，由得"=•一》所以吗-用，

则工<0时，函数/(“零点的个数即为函数y=a,y=-蛆二。图象交点的个数,

X

令人但=_半D(/<0),则/3=电与二1,

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当力<—e时，//z(x)>0,当YVX<0时，/7*(x)<0,

所以函数〃(x)在(y,-e)上单调递增,在(-e,0)上单调递减,

所以g)2=，(Y)=：，

乂当时，力(工)>0且(),当x->o时，

如图，作出函数的大致图象，

又av-e,由图可知，所以函数),=«〃")=一12匕。的图象只有1个交点,

X

即当XV。时，函数/(X)只有1个零点；

综上所述，若a<-e,函数/(X)有1个零点.

3.已知函数/(刈=(1-奴)e'(aeR).

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵若关于x的不等式无整数解，求〃的取值范围.

【解析】(I)f\x)=(\-a-ax)e,

当f(x)=O,=—,

a

当a>()时，％《一8,1^)时，>0,/(x)单调递增，

xe(g3+8)时，/z(x)<0,/(力单调递减，

当〃<0时，入｛一8,一^)时，/(^)<0,/(x)单调递减，

公(宁,+8)时，/r)>°，/("单调递增，

1-

,单调递增区间是,+8

。=0时，函数/⑺的增区间是(YO,E),无减区间.

(2)不等式(I一依)廿>。(1一刈，即。［一色)<1,

.1I./、％—1,/、.2—xel+x—2

设力⑺…『//(x)=l--=>

cVV

设«x)=e'+x—2,r(x)=e'+l>O,所以《力单调递增，

Hz(O)=-l,r(l)=c-2>0,

所以存在与e(O,l)，使1小)=0,即力'(毛)=0,

当xe(fy)时,/f(x)<0,力⑴单调递减，当(如+oo)时,”(工)>0,人(力单调递增,

所以蛇)之力优)「卢：:+1

V

因为e-x+1,所以刈入"刈/)=叱:}+1>Xo(Xo［)J'o"=上丑>0,

eee

当xMO时,力(x)N〃(O)=l,当心1时，//(x)>/z(l)=l,

不等式(1-词e'>〃(17)无整数解，即。卜-?卜1无整数解，

若“W0时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，

若421时，即-5，因为函数，?(力在(­，()］上单调递减，在［1，内)上单调递增，

所以162时-，A(.r)>min{A(O),/?(l))=1>1,所以无整数解，符合题意，

当0<〃<1时，因为40)=人(1)=1</显然°，1是。人(“〈1的丙个整数解，不符合题意，

综上可知，a>\.

4.已知函数〃x)=e'-2x-cosx.

⑴讨论函数g(x)=/(x)+cosx的单调性；

⑵求函数〃力在(一泉+8)上的零点个数.

【解析】(1)Vg(x)=f(x)+co3x=ex-2x,故g'(x)=e'-2(x£R),

令g'(x)<0=>.V<In2,g'(.K)>0nx>In2,

所以g。)在(-oo,ln2)上单调递减，在(ln2,+c。)上单调递增；

/\

(2)因为/(x)=e'-2x-cosx,xe--,+OG,

IZ/

则f(x)=e'+sinx-2.

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①当xe（-：,oj时，因为r（x）=（e'-l）+（sinx-l）vO,

所以/（力在（-泉。）上单调递减.所以〃力>/（。）=。.

所以“力在（一泉。）上无零点.

②当xe[o，W]时，因为/（幻单调递增，且/'（0）=-1<0,/^l=e'-l>0,

所以存在外使小飞）=0.

/一

当工«0,天）时，/”（工）<0；当xw/,5时，f（x）>0.

所以/（X）在口飞）上单调递减，在卜。仁上单调递增，且"0）=0.

所以/（与）<。.设力（x）=e、-2x,r«=O,y,

■乙.

由（1）知力（X）在（0,In2）上单调递减，在（ln2，S上单调递增.

所以〃（可曲=/7（ln2）=2—21n2>0.

所以呜卜:—乃〉0,得小）=。一兀>0.

所以“.。”仁卜。.所以/（力在卜1）上存在•个零点.

所以〃力在。段有2个零点.

③当x咱，+00）时，/,（x）=er+sinx-2>c^-3>0-

兀所以/（X）在（方，+8）上无零点.

上单调递增.因为/->0.

\乙）

综上所述,上的零点个数为2.

5.已知函数/（x）=31ar-ar.

⑴讨论f（x）的单调性.

⑵己知N，&是函数/（"的两个零点（、v马）•

（i）求实数”的取值范围.

（n）4《0,；）/'⑺是的导函数.证明：f'U再+（1—RxJvO.

【解析】⑴

①当a40时，f(x)>0,/(.v)在(O,+e)上单调递增.

②当。>0时，令/(力>()得0</<3,即/(工)在佗)上单调递增；

同理，令/'(“<0得即在(*+8]上单调递减.

(2)(i)rh(1)可知当。<0时，/(x)在(0,+8)上单调递增，不可能有两个零点.

(3A、

当“〉()时，/力在0,-上单调递增，在三,+8上单调递减，

若便有两个零点,则/闫即3哈3>0,解得0<”|,

且f⑴=一〃<0,当XTE时，则有内£(1，3),工265什8)，

所以〃的取值范围为(。，|).

(ii)和毛是函数/(x)的两个零点，则有31nX]=3①，31nx?=”②，

①.②得3(皿一1闻=49一%)，即「喧,

为一为

31n%

33百，

尸(有+(1-2)X)=

2AXj+(1一人)圣/ix1+(1—%)X?X2一为

因为“X)有两个零点，所以/(“不单调,

因为王<工2，得0<%<3<%，

所以W-X]>0,4玉+(l-z)x2>0.

若要证明/'(曰+(1-4)巧)<0成立，

只需证-一31n包<0,

XX]+(\-A)X2X]

强-1

即证------------In上<0,令仁上，则C1,

2+(l-A)^-苦E

则不等式只需证芾为一血<。,

第14页共72页

即让"l-[a+(l-2)/]lmv。，

令力(/)=/—1—[义+(1—./>I,

/f()=(2-l)lnz+zfl-y

r,令/0)=/?(/)=(4-l)ln/+2(1--),

口）=（1户”

令夕⑺=（尤-1）/+人因为%得9。）在（1,+8）上单调递减,

得夕（。<0（1）=2/1_1<0,得/即〃（f）在（1,+8）上单调递减,

得力'«）<〃（1）=0,得〃（，）<（）,即/?«）在（1,转）上单调递减,

所以有〃S<Mi）=o,

故有f—1—［4+（lT），］hv<0,不等式得证.

押题猜想三三角恒等变换求值问题

旃。终极密打。

sinIp,则（加+尸+：

己知,2tana=cos)

sin/y+sin2/y

B-4c.5D-4

【答案】B

【解析】因为如蓝X夕

2sina2sin/?cos/?2cos/?

所以

cosasin/?+sin2p1+sin

所以sina+sinasin/3=cosacos。,

所以sina=cosacos〃一sinasin£=cos(o+〃),

所以cos=cos(a+/?),

因为以作（0段、LLi、I兀/八兀］

,所以/一。6［。，］J,a+匹（o,冗），

2

所以]-a=a+/，所以2a+/=],

5兀

月亍以cos12a+夕+g=cos—=

62

故选:B.

押题解读

在近几年的高考中，本部分多以选择题或者填空题形式呈现，三角恒等变换是三角函数部分考查频率最高

的一个知识点，考查题目灵活多变。在学习时，公式特别多，难度非常大，学好的首要条件是熟练掌握三

角函数诱导公式，然后主要是理解掌握两角差的余弦公式的推导过程，进而推导出两角和与差的正弦、余

弦、正切公式。在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题

中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”，因此三角恒等变换求值问题是今

年高考的热点之一.

战。押题预测e

,1+tan1902cos70/、

I-----------T----------=（）

1-tan370sin40

A.tan20B.tan70C.-tan10D.-tan40

【答案】A

sinlO

.1+tan1902cos701+tanlO2sin20*coslO2sin20

【解析】由；----------------=-----------------=—四更里----------------

1-tan37sin401-tanlOsin40sinlO2sin20cos20

I--------

coslO

(coslO+sinlO)1l+sin20

-——=tan20,

cos21()-sin210cos20cos20cos20

故选:A.

五一cosa,则20=(

2.已知Itana+---00s)

cosasina

A.Z8

BC.D

9-49-4

【答案】A

【脩析】由已知可得，期q+!=也二―，显然sincrcosa工0,

cosacosasina

两边同时乘以sina•cosa可得，sin2cr+sina=41cosa-cos2a-

整理可得&cosa-sina=sin?a+cos2a=1,

所以，41cosa=sina+1，

两边同时平方可得28s2a=(sina+lj=sin2a+2sina+l=2-2sin2a,

即3sin2a+2sina-l=0，解得sina=；或$而。=一1.

当sina=-l时,cos2a=1-sin2a=0,此时cosa=0,不满足题意，舍去.

7

所以，cos2«=l-2sin2«=l-2x-

\3,9

第16页共72页

故选：A.

.I71.5（c兀

3.已知xwsinx——=—,贝tan2x+—）

\6J5\6,

7724

B.C.D.

2424T

【答案】B

【解析】因为xc侥用，所以暇（0片

34

又因为sin所以cos

55

故选:B.

已知/《（）,?，（）

4.a,cos«-/?=|tan«-tan/7=—,则a+〃=（）

4

712兀

C.D.

6T

【答案】A

【解析】因为cos（a-,tanatan〃=1，

64

cosacos/?+sinasinft=—

所”以-〈..6,

sinasin〃R_I

cosacos/74

2

cosacos/7=—

解得；，

sinasinB=一

6

所以cos（a+夕）=cosacos〃一sinasin〃=5,

乂“d（W）,所以a+Qe（O,兀），所以a+夕=g.

\乙）J

故选：A

5.在“WC中，已知s.，=〃sinC,8sA=〃cosC.^tan|A+|=-3,贝ij〃二（）

sin8cos8V47

A.无解B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由3心+力=岩”=-3,即tan4=2,则cosA±0，

V4)1-tanA

,sinA.八cosA八，「八

由----=nsinC,--------=/7cosC,知cosCH0,

sinBcosB

则—4=皿C,则tanA=tan朴tanC=2,

tanB

tanB+tanC

又tanA=tan(n-B-C)=-tan(B4-C)=-=tanB+tanC

1-tanB-tanC

AktanB+tanC=2,设tan8=7,MtanC=2-r,

有«2—1)=2,即J_2/+2=0,A=4-8=T<0,

即该方程无解，故不存在这样三角形，即〃无解.

故选：A.

6.已知夕w(t,])lan2e=-4lan(e-^)则信念

【答案】A

【解析】由题意知，标%，三%,

,八八，，八5兀、zn2tan®,tanO-l

由tan26=7tan("丁)，得匚就法=_4皿，

整理，得ZtaY。-5tan8+2=()，解得tan0=2或1,

又1<6<力则tan"l，所以tan，=2.

42

所以cos2e+2_cosZe-sinie+Zsire+Zcos*_3cos。8+sin*

sin2^+sin2<7sin?0+2sinOcos0sin，0+2sin0cos0

3cos20sin2<7

_cos?0.cos20_3+tan~6_7

sin*2sin/os®tan?0+2tan08'

cos20cos*0

故选：A

押题猜想四解三角形中的范围与最值问题

•终极密押.

记锐角A8C的内角A,B,C的对边分别为“，b,。，已知2sin8sinC+cos2c=1+COS2A-COS28.

(1)证明：B+C=2A；

第18页共72页

(2)求L的取值范围.

b

【解析】(I)证明：由2sinBsinC+cos2C=1+8s2A-cos2B,

得2sinBsinC+l-2sin2C=l+1-2sin2A-1+2sin?8,

BPsinBsinC-sin2C=-sin2A+sin2B，

由正弦定理可得〃c-c?=-a2+b2»即/=b2+c2-he

由余弦定理可得=b2+c2-TJiccos.A,故cosA=1，

又Ac。弓｝故A4,由A+A+C=兀，

2兀

故8+C=7i-A=—=2A；

(2)由正弦定理可•得：

.C4R\sin[5+8—sinB+—cosB,底

c_sinC_sin(兀-A—〃J_13)_22_73

bsinBsinBsinBsinB22tanB

又锐角有。…子解得『8或

HPtanBe

T,即熹4。,现

木部分多以解答题或者填空题呈现，解三角形问题是高考高频考点，命题多位于解答题第一题，主要利用

三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系

进行“边转角”、“角转边解决“最值与范।制问题”的基本方法：①利用正弦定理，边转角，转化为关于角

的三角函数.②利用余弦定理，角转边，转化为关于边的函数，通过代入消元或基本不等式求解最值.③

若条件中包含“锐角三角形”，则一般转角.④通过画图寻找思路，以及检查结果.

给。打题预测。

1.在..48C中，D为BC边上一点,ZX?=C4=1,且$48面积是△AA力面积的2倍.

(1)若A8=J^4。，求AB的长；

⑵求包上誓的取值范围.

sin8

【解析】(1)设BC边上的高为人石，垂足为E,

因为,48面积是△A8O面枳的2倍，

«-CDAE]A

所以有—-------=2=BD=/BC=+，

'ABDLBDAE2一

2

^HAB=y/2AD=x=>AD=—x,

2

由余弦定理可知：

.92一।：

2222}+xl+1X

厂AC+DC-AB-AC-+DC-AD2~-7

2ACBC~2ACDC3-2x|xl

2

解得x=l或产-1舍去，即AB=1；

(2)由(1)可知BO=1,BC=《，

22

设Z/W)C=e,由DC=CA=>ZDAC=ZADC=O=>C=n-20Rf)e^)^

由余弦定理可得：AD=712+l2-2xlxl.cos(7C-2<9)=x/2+2cos2<9

=^2+2(2COS2<9-1)=2cos8,

在△A8O中，因为

所以由正弦定理可知：AB_AD"十彳

sinZ.ADBsinBsinBAD2cos0

小gWk

因为同。微

同〒以cos。c(0,1)ncos20G(0,1)=>———>In24H----—>25=./24+———>5，

v7v7cos20cos20Vcos28

下曰七sinZAOB50山sinZAOB.前十―用》(5、

于是有一T-7—>7»因此一F—的取值氾围为二，+8.

sinB4sinB(4)

A

BDEC

第20页共72页

2.已知锐角/8C中，角A,B,C所对的边分别为,，b,c,其中〃=8,g=i+包过半丝，且

csin'B

(1)求证：B=2C;

(2)已知点M在线段AC上，且N/18W=NC8W,求的取值范围.

【解析】(1)因为@=1+独卫/C,

csin/?

即伫£=包也包工，由正弦定理可得纥£=—=("改”可,

csin'Bcb'b~

即…。,所叶午整理得从…〃，

由余弦定理得Z?'-CT+c2-2accosB，整理得c=a-2ccos8,

由正弦定理得sinC=siM-2sinG;osB.

故sinC=sin（8+C）-2sinCcos8,

即sinC=sin6cosC+sinCcosB-ZsinCcos^,

整理得sinC=sin（8—C）,

乂因为“BC为锐角三角形，则。个0,3叫0技可得B-Cw

所以C=8-C,即8=2C.

（2）因为点M在线段AC上，且N45M=NC8W.即3M平•分/ABC,

又B=2C,所以NC=NC3M,则/8WC=7i-C-NC8W=7T-2C,

BCBM

在NWCB中，由正弦定理得

sin/BMCsinC

5CsinC_8sinC8sinC=4

所以BM二

sinZBMCsin2C2sinCeosCcosC

0<C<-

2

因为MAC为锐角三角形，且A=2C,所以0<2C<^,解得弓.

264

0<n-3C<-

2

故也<cosCv立，所以还<6M<4X/L

223

/oRA

因此线段8W长度的取值范围詈,4a.

3.乂8C中，。为8c边的中点，AD=\.

(1)若一/3。的面积为2右，且乙以)。=丁，求sinC的值；

(2)若8C=4,求cos/BAC的取值范围.

【解析】(1)因为。为3c边的中点，所以S他.=?他=行，

X.SAl)c=-ADff)CsinADC=G,即1xQCxsin'=J5，解得QC=4,

223

在AA。。中由余弦