数列习题6（困难）

2015-2016学年度???学校3月月考卷

试卷副标题

1.已知数列｛。〃｝为等比数列，且。划3+%015二R"一f,则。2014（%012+2。2014+〃2016）

的值为（）

A.冗B.2兀C.兀2D.4-

【答案】C

【解析】

试题分析：本题考查等比数列，定积分等基础知识.由定积分的几何意义可得

二千心:表示圆W+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，所以

。2014(。2012+。2014+。2016)=^2014^2012+^2014^2014+。204^2016

="2013+^^2013^2015+^2015

=（〃2013+々2015了二万？•故选C.

考点：等比数列，定积分的几何意义.

2.己知｛4｝为对称数列，（Kd<l,250柴岛3+2厘晔码=,晶岛为数列

｛4｝的前n项和，若SJ3。对一切〃？N则首项4的取值范围是（）

549不

D.

T

4

【答案】D

【解析】

试题分析：先确定4二2，S”=三〃2+〃

88I高〃'对称轴〃=3一噜）'对称轴

/I16%

〃=(1--------L)

冗

,利用S“N\o对一切〃£N”都成立，可得9.5工3（1-（）工10.5,即可求得结

果

22

,/sin%+2sina5cosa5=sinalf2sina5cosa5=2sin出+“'xcos—~~—x2cos+sin—~~—

•Al11冗c冗2冗

sinAa-L/.a--,S——n+a-----n,

8"tt8I1x16j

对称轴n=S>S对一切nsN"都成立

2171M10

'.9.5w耳（1-------jw10.5,「.一a"wqw-W乃.

考点：数列与三角函数的综合.

3.已知｛可｝为等差数列，。4+%=2,则。[+。[0=.

【答案】2

【解析】

试题分析：由等差数列的性质可得4+4。=%+%=2.

考点：等差数列的性质.

【方法点睛】本题主要考置等差数列的性质，属容易题.法一：根据等差数列的通项公

式可将%,均用首相q和公差d表示，即可求得％+%0的值.法二根据等差数列

的性质：若〃2+〃=〃+夕，则册+0“+4，即可求得％+。10的值.显然第二种方

法比第一种简单快捷.

4.正项等比数列｛%｝口，若log?52/1人则。4046n二________________二

【答案】16

【解析】

试题分析：・・・log2(G/g)=4,/.％须=16,因为数列｛〃“｝为等比数列，所以

%%;%外=16.

考点：等比数列的性质

5.已知数列｛〃“｝满足〃”+1=%-〃”_[(〃N2),4=1,牝=3,记

S〃=%+/+K.则%=，$2015=•

【答案】2,2.

【解析】

试题分析：因为％=1吗=3，所以

%=a2-a]=2,4=a3-a2=-ha5=a4-=-3ya6=a5-a4=-2,%=a6-a5=

,所以数列｛〃“｝是以6为周期的周期数列，且％+为+%+4+%+4=0，所以

S刈5=4+生+…+生0]5=q+%+%+4+%=2・

考点：1.数列递推公式；2.周期数列求和.

6.等差数列｛d｝前n项和为Sn,公差d<0,若SGO,SzKO,,当Sn取得最大值时，n的

值为.

【答案】10

【解析】

试题分析：根据所给的等差数列的S2o>O,S21<O,,根据等差数列的前n项和公式，

看出第11项小于0,第10项和第11项的和大于0,得到第10项大于0,这样前10项

的和最大.

•・•等差数列｛〃“｝中，S2O>0,S21<0,即S2O=6(4O+%)>0,$21=134VO,

，4o+4i>O,4]VO,，4o>°，41V。，,.W。，，S”达到最大值时对应的项数n的

值为10

考点：等差数列性质

7.已知等差数列｛々”｝口，a+a,+a=—那么cosQi+%)=__________.

184f

【答案】q

2

【解析】

试题分析:因为数列｛%｝为等差数列，设其公差为d,于是4+%+%=3%+9"弓，

.57r_/.57r454V3

4+3d-][,ciy+%=2al+Ou=,故cos=—

考点：等差数列的通项公式

8.数列｛%｝的通项%=/(cos2与其前n项和为S“，则S30为

【答案】470

【解析】

、2〃乃

试题分析依题意可得可=n~cos---所以

3

4=一；xl,a?=--^X22,6Z=32

3—x所以

2

22

S.0=----X2+3--X即

22222

+---+302)+1(32+62+---+302)即

130x31x613.210x11x21…八”.

一一X---------+—X3~X----------=470.故填470.

2626

考点：1.三角函数二倍角公式.2.数列的求和.3.归纳递推的思想.

9.已知数列｛七｝的前n项和为S“，且5“二〃2+2〃+2,则%=

5,n=1

【答案】见=，

2〃+1,”>2

【解析】

试题分析：当〃22,%=S〃一S,-=n2+2〃+2-[(/?-I)2+2(〃-1)+21=2〃+1；

5〃=]

当〃=1时，a”=S[=5不符合上式，所以。=/

考点：。“与S”的关系.

10.已知数列｛/｝的前〃项和为S“(〃£N"),且满足a“+S〃=2〃+l.

(1)求证：数列伍”-2｝是等比数列，并求数列伍”｝的通项公式；

/c\4Tli11

(2)求证：-----1—：-----F…H--------------<—.

2%。22七2。327,4+13

【答案】(1)证明见解析，q=2-1；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)由。“+S“=2〃+1,先令〃=1,得出〃i的值，由〃“+S“=2〃+l,

4“T+S“T=2(〃—1)+1两式相减，整理得q-2=4(4I-2),于是数列｛4一2｝是

首项为4-2=-4，公比为1的等比数列，可得q=2-二：(2)由于

122T

-—=—)------'一，所以可用“裂项求和”的方法求得前〃项和为

n,,+ln+2

2anafl+l2-12-1

=-——J—<-,即证原式.

32,,+2-13

3

试题解析：(1)・・・％+S“=2〃+l,令〃=1,得2《=3,q=—.

两式相减，得2%-〃,i=2,整理q,=g/T+l

。“-2="「2),(/z>2)

•••数列｛q-2｝是首项为“一2二—g,公比为;的等比数列

a-2=-(—)z,,a=2——.

〃2〃2〃

11_2w+,_11

2%川=2〃2""]2"=?=(2,,+,-1)(2/,+2-1)=2,,+1-1-2,,+2-1

111

------------1--------+•••+----------------

2aM22-%%2”《4+]

1_1、/1_1、/11、

-22-1-23-1+2J-1-24-1+，，'+2W+,-1-2M+2-1

111

=-------—<—.

32M+2-13

考点：1、等比数列的通项；2、利用“裂项求和法”求数列前〃项和：3、不等式的证

明.

11.已知数列｛q｝的首项4=4,前〃项和为Sn,且SM+1-3S”-2〃-4=0（〃eN）.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（ID设函数/（工）=〃/+/_4+。”.2/+…/（x）是函数/a）的导函数，

令b“=f'（l）,求数列｛a｝的通项公式，并研究其单调性.

【答案】（I）4”=5・3"T-15EN.）；

（ID々=5X3：T5/5；6）,仍“｝是单调递增数列.

【解析】

试题分析：（I）根据S“M-3S0-2〃-4=0（〃£N.）求得

S〃一35加一2（入1）-4二0,两式相减求得〃向-3%+2=0,判断出｛凡+1｝是一个

等比数列，进而根据首项和公比求得数列的通项公式；（II）化简bn得

d=r（x）=4+2《1T+…+〃q.用错位相减法得出｛a｝通项公式，然后利用导数确定

其单调性.

试题解析：（I）由S“+1—3S〃-2〃-4=0（〃£N+）得S”-3S,i—2〃+2—4=0

02）,

两式相减得。山一3。“一2=0,可得%讨+1=3（4+1）（〃之2）,

又由已知生二14,所以4+l=3（q+l）,即｛q+1｝是一个首项为5,公比4=3的

等比数列，

所以〃”=5X3”T—1（降—

（II）因为/'（x）=。〃+2a〃_]X+…+

所以/'（1）=。〃+241+—+加]

=(5X3/,-,-1)+2(5X3,,-2-I)+...+Z?(5X3()-1)

=513〃T十2K3”2十3X3"3十...十〃x30]一

令S=3M-1+2x3rt-2+3x3"-3+•••+/?x3°,则

3s=3"+2x+3x3”2+...+〃x3：

所以，作差得S二」一二，所以/,⑴二工^-3曾

24')42

,5'3向-15/?(/?+6)

即UII将「----------—

,,+2

一…5X3-15(〃+D(〃+7)U「1〃廿四,，15x3〃7八

而2+产---------所以，作差得%一2=下一一〃一5>仇

所以｛2｝是单调递增数列.

考点：1、数列的递推公式：2、等差数列和等比数列定义及求和；3、数列的求和.

【方法点晴】根据题目中的条件，出现S”时经常会先写出S”/或S用的关系式，两式相

减，利用S”-S,i=/或S“q-S.=。e进行转化，得到关于数列项册的递推关系式,

判断构造适当的等差或等比数列，进而求出数列的通项公式.当一个等差数列｛〃”｝和

一个等比数列｛〃｝对应项相乘得到新数列｛为。｝,进行求和时应想到用错位相减法，

由S”=岫+a也+%A…++。也乘数列出｝公比得到

qS“=aa+a2b3+a3b「,++《口向,相减得到

(1一夕电=q/+d(b2+么…+a_1+4)+。“％,利用等比数列求和公式运算之后不

要忘了除以1一夕.

12.己知数列｛q｝为等差数列，q=2,｛4｝的前〃和为S”,数列也｝为等

比数列，且她+a2b2+a3b3+…+〃也=(〃一D•2"记+4对任意的n€N*恒成立.

(I)求数列｛4｝、也｝的通项公式；

(11)是否存在非零整数义，使不等式〃1一,)(1--!-)……(i—J_)cosS<—=

4%凡2也-1

对一切〃wN”都成立？若存在，求出2的值；若不存在，说明理由.

(III)各项均为正整数的无穷等差数列｛%｝,满足。39=%007,且存在正整数k,使

q,C39，q成等比数列，若数列｛%｝的公差为d,求d的所有可能取值之和.

【答案】(I)%=2几么=2"；(II)存在％=±1满足条件；(III)137.

【解析】

n+2

试题分析：(I)因为白体+a2h2+43b3+…+a力”=(n-1)-2+4对任意的neN*恒

成立，所以取〃=1,2,3,又知｛4｝为等差数列，｛〃｝为等比数列，设出首项，公差，

公比解方程组即可；1H))由。“=2〃，得854尹=85(〃+1)乃=(一1)向，设

b=____________1_______________则不等式等价于问题转化为求。

(1——)(1——)­••(!——)A+1

4%见

的最小值，因勿〉。，利用以=/2(〃>)>1知么单调递增,求”的最小值,

bn\J2n+\\/2n+3

再根据(-1)2/1<么求解；(川)特殊情况〃=0时，成立，当d>0时，

。39=G+38"=2014=>q=2014-381,

4=。39+(4-39)4=2014+(2-39)4,由等比中项知扁=G,，化简得

一小-39)『+53/一77时=0=(左一39)4=53供一77),整理得：

53x38*[c\=2014-38J=38(53-J)>0=>53—cl>0

Z=39+-----eN，由《，所以

53-d[J>0

53x38

53>53-J>0,根据二故53—d=l,2,19,从而d=52,51,34,所以

53—d

公差d的所有可能取值之和为137.

试题解析：(I)法1：设数列｛q｝的公差为d,数列他｝的公比为小

n+2

因为4〃+a2b2+a3b3+…+anbn=(w-1)-2+4(MSN*)

令〃=1,2,3分别得4也=4,afy+a2b2=20,axb[+a2b2+ajby=68,又％=2

%=2也=2(2+1)(24)=16

所以ab=16即,03/—4〃-4=0,

22(2+21)(2夕?)=48

a3b3=48

得4二-3或！4=2经检验"=2a=2符合题意，d=-1,夕=6不合题意，舍去.

I马=6I%"

所以。”=2〃也=2".

法2：因为+小仇+e，3+…+〃也=("T)，2""+4①

对任意的〃£N*恒成立

则ae+生层+q，3+…+%也/=(〃-2)・2""+4(n>2)②

①一②得4也广〃・2向522),又。占=4,也符合上式，所以《仇

由于｛q｝为等差数列，令％=kn+b,则a=三三

bn_2n[k(n-\)+h]

因为也｝为等比数列，则=q(为常数),

%(n-])(kn+b)

即(qk-2k)n2+(bq-icq-2b+2k)n-qb=0对于Vn£N*恒成立,

qk—2k=0

:「bq-kq-2b+2k=G,所以g=2,匕=0.

—qb—0

又q=2,所以％=2,故a”=2〃也=2".

(ijr

(II)由a”=2"，得cos—+

设“=______________!______________,则不等式等价于(一1)"跳＜".

(i--)(i-—)-.(i-—)^7T

4a2an

Ab>b,数列｛4｝单调递增.

蜷高I"n+ln

假设存在这样的实数/I.使得不等式(-1)'川/!<”对一切〃eN都成立，则

①当〃为奇数时，得4<(〃)加=々=半

②当〃为偶数时，得一2<(")…二仇=/，即％>一组5

1515

综上，由4是非零整数，可知存在4=±1满足条件.

IJ3

(III)易知d=0,成立.

当d>0时，C39=q+38d=2014nq=2014-38”,

ck=C39+(4-39)4=2014+(/:-39)J,

4=c£=>(2014-38d)[2014+(k-39)J]=20142,

=>38(53-J)[2014+(A--39W]=2014x2014,

=>(53-6/)[20l4+(A-39)t/]=53x2014,

n—(2—39)J2+53(4-77)d=0=伏-39M=53(%-77)，

=kd-39d=53Z—53x107=(d—53»=39d-53x77,

39"-53x77393-53)+53x39-53x77〃53x38°八53x38

-----------=------------------------=39--------=39H-------e/V，

"-5367-53d—5353-6/

G=2014-38d=38(53-d)>0n53-">0八一，门

又Q<，...0<53-d<53,

、d>0

.•.53-d=1,2,19,."=52,51,34,所以公差d的所有可能取值之和为137.……16分

考点：1、等差数列通项；2、等比数列通项；3、等比中项；4、数列的单调性；5、恒

成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是等差等比数列的通项公式求法，及运用等差等比数列的

通项，等比中项，数列的单调性求恒成立问题、公差取值问题，属于难题.解题时一定

要注意方法的优化，第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问

题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择

做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对〃分奇偶讨论;

第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d的要

求，进而得到d的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要

求很高.

13.设5“是数列口』的前〃项和，q=1,S：=凡卜“一汐22).

(1)求｛%｝的通项;

(2)设求数列｛勿｝的前〃项和7；.

2〃+1

1,/?=1

n

【答案】(Da=•-2C；(2)T=-(]———)=

n,〃22"22〃+12〃+1

(2/L1)(2〃-3)

【解析】

试题分析：(1)当〃22时，由/=%-邑1，代入已知整理可得S,1-S”=2SiS“

即tw

2,结合等差数列的通项公式可求S“，进而可求当〃22时〃”，在对

n=1时求％,从而可求明

S,1111

(2)由于仇二,可利用裂项求和即可.

2〃+1(2/1-1)(2/2+1)2V2/2-12〃+lJ

试题解析：(1)••・S；=4S〃-<卜.〃上2时，S,；=(S”—S“)工一1

I/，I/

整理得，S“T-S〃=2S“TS“n!-1=2,・•.数列｛」-｝是以2为公差的等差数

列，其首项为5=1.

5

1,/?=!

iI2s2

，丁l+2(”l)nS〃二罚,，“弟-2

,n>2

(2〃-1)(2〃-3)

11

(2)由(1)知，b“S“

2〃+1(2〃-1)(2〃+1)2、2〃-12〃+1

(一■W-["」)+•••+(1

2335572/7-12〃+l)

.-.7=-(l---------)=-------.

"22〃+l2〃+l

考点：利用递推公式求解数列的通项公式，裂项求和方法的应用.

【方法点睛】(1)给出Sj与%的关系，求明,常用思路：一是利用S〃-S,I=〃,(〃22)

转化为。”的递推关系，再求其通项公式；二是转化为5“的递推关系，先求出S〃与”的

关系，再求2；(2)观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,

要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消

去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和H的.

14.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S，并且叼=2,$5=15,数列｛4｝满足：气2,

如一万r"SjV'),记数列｛娼的前〃项和为4.

(I)求数列SA的通项公式4及前〃项和公式工

(II)求数列｛4｝的通项公式〃及前〃项和公式4；

M=｛n|2T｝

(III)记集合〃+2,若M的子集个数为16,求实数』的

取值范围。

=rr+ab=±T=2-^^—<X<1

【答案】(I)4=〃，“2；di)n2\八2]dll)16一

【解析】

试题分析：(I)化％'求通项，然后直接利用求和公式求和即可；(II)

w+14+11w+1n

b

如bn5”)—n=

2n可化为42n,利用累乘法即可求得2九,由此

通项公式可知求和适合用错位相减法；（III）代入工、口并化简，构造函数,仿），满

足/㈤之乙由子集个数公式可知集合M中共有4个元素，由此讨论了㈤的单调性和

取值即可.

q+d=2q=1

试题解析：（I）设数列SC的公差为d,由题意得15a】+10d=15,解得d=l

S,

，4=巴・・.2；

如「〃+1

（H）由题意得45〃

如TA「/1、八/〃«-12、n

4=生_±±.L=(-)(----x----xLTx-)=—

n

叠乘得41bn_2a2n-1n-212

123n

-+L+

=—1—2J+3T

由题意得222F①

」123Tw-1n

一月=F2+T3+F4+L+n

22222②

l(i__L)

1111n2、2"n_1〃+2

—71=—I—I—FLT

2^2482n*12

1——

②一①得：2

北=2-注

・•・2n

2s式2f)_M+〃

〃力）一,

（111）由上面可得刀+2V,令

33515

M/(l)=l")=2〃3)苏〃4)=7(5)=-

下面研究数列-2n的单调性,

(用)F+ln2+n(〃+1乂2-〃)

/(1)-/()=

W+W2”

・•・〃之3时，/(«+1)-/(»)<0,/(w+1)</(«),却/⑹单调递减。

•・•集合的子集个数为16,・•・中的元素个数为4,

n+n

>x

・•・不等式2n,刀CAT解的个数为4,

考点：1.化d求选项：2.累乘法求通项；3.错位相减法求和；4.构造函数解不

等式.

15.数列｛%｝的前〃项和为S“，且S”=〃(〃+l)(〃eN").

(1)求数列｛4｝的通项公式：

(2)若数列｛"｝满足：2=条+含■+£■+—+1号,求数列｛仇｝的通项公

式；

(3)令c“=g(〃wN*),求数列｛%｝的前〃项和？；・

(2/7-l)x3,r+1।।3

【答案】(1)a=2n；(2)a=2(3"+1)；(3)T=

nn4~2-4-

【解析】

a,=S,,/:=1

试题分析：(1)已知5“求〃”，代入q二,''求解得。“=2〃.(2)利用

5“—5“_],〃>1

。〃+1一。”=寻一=2,得出〃用的表达式，进而求出么.(3)先利用前面得出的结论,

3I1

求出g=小3"+〃，然后利用分组求和法和错位相减法求解.

试题解析：(1)当n=l时，ai=Si=2,当n22时，a=Sn—Sn-1=n(n+1)—(n—1)

n=2n,

ai=2满足该式，，数列⑸｝的通项公式为an=2n3分

(2)q=互+各+...+上，①=红+冬+・・・+%

"3+132+13"+八73+132+1

②一①得，乌!_=〃=2，得b=2(3"+1+1),又当n=l时，b.=8,所以

3叫]的"n+I

a=2(3〃+i).

(3)c="也=n(3n+l)=n•3"+n,

n4

23n

ATI1=CI4-C2+C3++cn=(1X3+2X3+3X3++nX3)+(1+2++n),

2：)n23n+l

令Hn=lX3+2X3+3X3++nX3,①则3Hn=lX3+2X3+3X3'++nX3

②，

一②得，-2(=3+32+33++3n-nX3n-H=3(3n-1)-nX3n+1

3-1

・„(2〃-1)x3"”+3

..从=-------------*

1(2〃-1)x3""〃(〃+1)3

.•数列｛cj的前n项和北=------------1-------------F—.

考点：1、数列已知S“求为；2、数列求和一一分组求和法、错位相减法.

16.（本小题满分12分）

已知等差数列｛。“｝的公差为一1,前〃项和为S”，且〃2+。7+《2=一6.

（1）求数列｛a,｝的通项公式4〃与前〃项和S.；

（2）将数列｛勺｝的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛2｝的

前三项，记数列｛凡仇｝的前〃项和为T”，若存在meN*,使得对任意总有

S”<T,”+4成立，求实数4的取值范围.

=s_SnY，+8

【答案】⑴""'22⑵I2）

【解析】

试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需

确定一项即可：由%+%+勾2=~6利用等差数列性质得3%=-6,%=-2,再板据

等差数列广义通项公式得：4=%+（〃-7）"=-2-〃+7=5-九，最后利用等差数

列和项公式求前〃项和S“，（2）先根据题意确定数列｛（｝的前四项抽取的是哪一项，

再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列｛"”｝通项，然后利用错位相减法求数列

｛"»”｝的前〃项和为「，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题:

（S〃）3<（4）3+',S”为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意〃eN'，

而丁〃的最值，需根据数列单调性确定.

试题解析：

解：⑴.•.｛“〃｝为等差数列，且生+%+%=-6....3%=-6,即%=-2,

又,公差d=T,=%+（"_7”=_2_〃+7=5—〃〃wN*.

5_+«,)_44+5->)_9./

“-2一2-T_T〃eN*

9（3分）

（2）由（1）知数列｛""｝的前4项为4,3,2,1,

.•.等比数列｛勿｝的前3项为4,2,1,

②

(iVf(\

=164(5-/?)x-=12+(2/?-6)x-

、2J12

7；,=24+(4/7-12)

（8分）

4〃一124(n-l)-12_20-4n

『如2〃-22n-'

：1\<%5<果=1且4>4>T〃

49

...〃£N“时,

_9〃tr

3=------

又•・•”22,

时，(S〃)3=S4=S5=10,

•••存在〃wN’,使得对任意〃eN”,总有S〃<7；+’成立.

49

.•.(S)3<(7X+L,1°<丁々

29

万,+8

二实数4的取值范围为I（12分）

考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和

【名师点睛】

一般地，如果数列｛g｝是等差数列，｛仇｝是等比数列，求数列｛5r6｝的前n项和时，可

采用错位相减法.

用错位相减法求和时，应注意：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的

情形更值得注意.

⑵在写出“S〃”和"qSJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写

出“S“一qSJ的表达式.

17.设数列｛〃”｝的前〃项和为S”，已知q=2,4=8,S”z+4S,i=5S“（〃22）,

7；是数列｛log2。〃｝的前〃项和.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求满足（1--1）…（1_J-）>幽.的最大正整数n的值.

T?T、T”2016

2/,-1

【答案】（1）dn=2；（2）1008.

【解析】

试题分析：（1）求数列通项公式，常常是基本量运算或者是由递推公式求数列通项公式，

因此通过已知条件S>1+4S,』=5S”得到S向-S“=4（S“-Sj）,从而得到

=44（«>2）,然后考虑n=l时是否满足上式，经验证此时满足〃22,所以数

列｛《）是等比数列，从而求出通项公式；（2）等比数列取对数后是等差数列，并其通项

公式，然后求出并求出（1-工）（1一2）…最后解关于n的不等式

T„2/7

即可求解。

试题解析：⑴•・•当〃22时，S,川+4sl=5S”，

S〃+i-S〃=4⑸-S「i），

**•4+i=4〃“.

•二4=2.a,=8,

••a,—4q,

・•・数列｛%｝是以q=2为首项，公比为4的等比数列，

2,,_|

(2)由(1)得：log2a„=log22=2n-l,

・••[=>og2q+log2生+…+log?an

=1+3+…+(2〃-1)

/i(l+2/?-1)

~2~

—n2.

所以a-')。一'-)•・.(i--L)

4wZ•I

2222

=-2----l--3-----l--4-----l-•••n----l-

223242tv

1-3-2-435—•(/z-l)(H+l)_n+l

22-32-42--―石

人〃+11009

令——>-----,解得〃工1008.

2〃2016

故满足条件的最大正整数〃的值为1008.

考点：求数列通项公式：解数列不等式。

（方法点睛】已知数列的前n项和5„的相关条件求数歹J通项公式的基本思路是两个：（1）

将和S“转化为项4,即利用%=-$小将和转化为项。如本题由Sn+I+4sM=5S.

得，5角一5“=4（5〃-51）从而得到。用=44,然后由递推公式求数列通项公式。

应注意变量n的范围。（2）可将条件看作是数列｛$“｝的递推公式，先求出s.，然后题目

即转化为己知数列的前n项和s“，求数列通项公式凡o

18.在数列｛%｝中，4=1,。“+|=1----!—，b“=—!—,其中〃cN*.

4%2%-1

（1）求证：数列出｝为等差数列;

（2）设c“=2〃"，试问数列｛%｝中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，

求出这三项；若不存在，说明理由.

、〃/［、肱

1一一—＜-，其中〃z=l,2,…，〃，求

（n+3）⑴

满足等式3"+4”+…+（九+2）”=（4+3户的所有〃的值.

【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）〃=2,3

【解析】

试题分析：（1证明数列为等差数列，一般利用定义，即证明相邻两项的差为常数：

,,1111

bn..-bit=-----------------------=--------：-------------------=1

2《田-12a-\2%一1

fI2__L_I

2%，本题数列｛a｝通项未知，其

变形为消参数（2）先从三项构成等差数列出发，得到等量关系，再利用奇偶性否定存

在：设第P,r,4（P＜尸＜4）构成等差数列，则有2・2,=2。+2夕,2…=1+2叱,

、〃/、'〃

Z1"＜仁1］

又2川一夕为偶数，1+2-'为奇数.故不存在（3）条件I"+3J的运用是本

题难点，其结构是将一个数列放为等比数列，因此将等式

3”+4”+…+(〃+2)"=("+3)%

调整为满足条件的结构：

'34〃+2、

十+…+

、〃+3〃+3)«+3；

n

+.•.+—=1

+卜-曷I"+3J,这样就巧妙应用了条件，解出满足

方程解限制在为〃=1,2,3,4,5这五种情况，经验算〃=2,3时等号成立

b.-b=--------------------=------------------------=1

2。用-12^-12a,-\

试题解析：（1）证明：24

・二数列｛"〃｝为等差数列

（2）解：假设数列｛%｝中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第〃，厂，q

（〃v项，由（1）得"〃=〃，♦.・3=2：：.2・2,=2〃+2、2川-〃=1+2“一〃

又2川-P为偶数，1+2'厂〃为奇数.故不存在这样的三项，满足条件.

（3）由（2）得等式3〃+4”++…+（〃+2）=（「+3）二可化为

3"+4”+..T(〃+2)”=(〃+3)”

<34]九+2

++•••+

即1〃+3〃+3/〃+3)

.♦.当时，3"+4”+…+(〃+2)v(〃+3)

当〃=1,2,3,4,5时，经验算〃=2,3时等号成立

.•・满足等式3"+4"+…+（〃+2）=（包+3）”的所以〃=2,3

考点：等差数列定义，等比数列求和，放缩法求方程解

【名师点睛】数列中不等式的处理方法

（1）函数方法:即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过

对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.

（2）放缩方法:数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.

（3）比较方法:作差或者作商比较.

（4）数学归纳法:使用数学归纳法进行证明.

19.数列｛〃“｝的首项为。（〃工0）,前n项和为S“，且S”+]+a（f工0）,设

bn=5n4-1,cFk+bi+b?+…+bn（kWR）

（1）求数列｛a｝的通项公式；

（2）当t=l时，若对任意n£N.，2bl恒成立，求a的取值范围；

（3）当tWl时，试求三个正数a,t,k的一组值，使得｛cj为等比数列，且a,t,k

成等差数列.

-22~

【答案】（1）4=a/i；（2）一一，一一；