建筑力学课件：杆件的应力计算

§5-1概述§5-2轴向拉（压）杆件横截面及斜截面上的应力§5-3材料在拉伸与压缩时的力学性质§5-4圆截面杆扭转时横截面上的应力§5-5平面弯曲的概念§5-6梁弯曲时的正应力及其应用§5-7梁弯曲时的剪应力

杆件的应力计算1.应力定义：由外力引起的内力集度。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。①平均应力：②应力（总应力）：

F

AMFp4Fp32.应力的表示：§5-1概述③应力分解为：a.垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；b.位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearingStress)。单位：Pa1Pa=1N/m2、

1MPa=106Pap

M

Fp3Fp43.应力与内力分量之间的关系：p

M

Fp3Fp4xyzzy4.应变定义：形变：

形状的改变。物体的形状总可用它各部分的长度和角度来表示。因此物体的形变总可以归结为长度的改变和角度的改变。

弹性体受力后发生的变形不是任意，必须满足变形协调一致的要求。应变：

应变又可分为正应变（线应变）和切应变两种。每单位长度的伸缩称为正应变（线应变），用表示；各线段之间的直角的改变称为切应变（角应变），用表示。注意应变的正负号规定。

x

xdx

xdx

xuu+du

αβ5、线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料E为弹性模量G为切变模量变形前变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后FFd´a´c´b´一、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。5-2轴向拉（压）杆件横截面及斜截面上的应力拉伸应力：轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。sFN(x)F二、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka解：采用截面法由平衡方程：Fa=P则：Aa：斜截面面积；Fa：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：斜截面上全应力：PkkaFaPPkka斜截面上全应力：PkkaPa分解：pa=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当

=90时，当

=0,90时，当

=0时，(横截面上存在最大正应力)当

=±45时，(45°斜截面上剪应力达到最大)tasaa三、拉压杆件的强度计算

其中：[

]—许用应力，

max—危险点的最大工作应力。②设计截面尺寸：依强度条件可进行三种强度计算：

为了保证构件不发生强度破坏，并有一定安全余量，于是得到拉（压）杆的强度条件。①校核强度：③许可载荷：

n>11、许用应力：3、极限应力：2、安全系数：许用应力·

安全因数·

极限应力[例]已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：FN

=F=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。一、拉伸时材料的力学性能1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；标准试件。力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。圆截面：矩形截面：§5-3材料在拉伸与压缩时的力学性质2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。3、低碳钢试件的拉伸图(F--

L图)4、低碳钢试件的应力--应变曲线(

--

图)1、op–比例段:2、pe--曲线段:(一)低碳钢拉伸的弹性阶段(oe段)

p--比例极限

e--弹性极限(二)低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段(es

段)es--屈服段:

s---屈服极限滑移线：塑性材料的失效应力:

s

。

ｂ---强度极限(三)、低碳钢拉伸的强化阶段(ｓｂ段)２、卸载定律：３、冷作硬化：1、延伸率:

2、面缩率：

3、脆性、韧性及相对性(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段(bf段)5、无明显屈服现象的塑性材料0.2s0.2名义屈服应力:

0.2

，即此类材料的失效应力。6、铸铁拉伸时的机械性能

ｂL---铸铁拉伸强度极限（失效应力）dh二、压缩时材料的力学性能

ｂy---铸铁压缩强度极限；

ｂy

（4～6）

ｂL

切应力互等定理

MMacddxb

dy´´z

§5-4圆截面杆扭转时横截面上的应力上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍为平行。等直圆杆扭转实验观察：MMMMMM1.变形协调方程：距圆心为

任一点处的

与该点到圆心的距离

成正比。——单位长度相对转角。Ttmaxtmax2.物理关系：剪切胡克定律：代入上式得：3.静力学关系：令代入物理关系式得：TOτ

dA横截面上距圆心为

处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是IP值不同。a.对于实心圆截面：D

d

Ob.对于空心圆截面：dDO

d

④

应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）

工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。⑤

确定最大切应力：由知：当WP—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：扭转试验低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。5、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([

]称为许用切应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：

[例]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力[

]=30MPa,试校核其强度。TM解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCMMx

1、弯曲变形：在轴线平面内受到外力偶或垂直于轴线方向的力，其变形特点是：杆的轴线弯曲成曲线。这种形式的变形称为弯曲变形。

2、梁：主要发生弯曲变形的杆件通常称为梁。

3、平面弯曲：当作用于梁上所有的外力都在纵向对称面内时，则梁变形后的轴线也将在这个纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。梁弯曲时，若梁变形后的轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。

§5-5平面弯曲的概念

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。某段梁的内力既有弯矩又有剪力时，该段梁的变形称为横向弯曲。纯弯曲(PureBending):aaABQxPPMxPa§5-6梁弯曲时的正应力及其应用1.梁的纯弯曲实验

横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：

一、纯弯曲时梁横截面上的正应力分析中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。横截面上只有正应力。

3.推论2.两个概念

中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。4.几何方程：)))OO1)A1B1O1OabcdABdqrxyOO1

（二）物理关系：

假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。sxsx（三）静力学关系：

zxy对称面……(3)曲率计算公式EIz

杆的弯曲刚度。zxy正应力计算公式

梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有切应力。由于存在切应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，，为梁长，为截面高度），切应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，纯弯曲时的正应力公式仍然适用。

横力弯曲时,弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处，则………..(5)二、横向弯曲时梁横截面上的正应力最大正应力：……(6)DdDd=abBhHzxy1.强度条件：2.强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：①校核强度：②设计截面尺寸：③设计载荷：[例]矩形截面悬臂梁如图7.6所示，FP＝lkN。试计算1-1截面上A、B、C各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。解(1)求1-1截面的弯矩由截面法得

N·m计算截面惯性矩

mm4计算应力A点

MPaB点

MPaC点

MPa求得的A点的应力为正值，表明该点为拉应力，B点的应力为负值，表明该点为压应力，C点无应力。当然，求得的正应力是拉应力还是压应力，也可根据梁的变形情况来判别。

[例]受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩30q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy

求应力18030

求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030

[例]矩形截面外伸梁受力如图a)所示，已知l＝4m，b＝160mm，h＝220mm，FP＝4kN，q＝8kN/m，材料的许用应力＝10MPa，试校核梁的强度。

解

(1)作弯矩图

作出的弯矩图如图

b)所示。由图中可知Mmax＝4.1kN·m。

(2) 校核强度≤故梁的强度足够。

一、矩形截面梁横截面上的切应力1、两点假设：

①切应力与剪力平行；

②距中性轴等距离处，切应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

①在梁上取微段如图b；

②在微段上取一块如图c,平衡dxxFQ(x)+dFQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)FQ(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c§5-7梁弯曲时的剪应力dxxFQ(x)+dFQ

(x)M(x)yM(x)+dM(x)FQ(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由切应力互等FQt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的切应力1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz*为y点以下的面积对中性轴之静矩；结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂切应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大切应力;»maxAF