2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不等式一定成立的是(

)A.x2+1>2x(x>0) B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)

2.已知函数f(x)=ax−2+1(a>0,a≠1)的图像恒过一点P，且点P在直线mx+ny−1=0(mn>0)的图像上，则1mA.4 B.6 C.7 D.83.若2a=5b=10A.−1 B.lg7 C.1 D.log4.下列各式中，值为12的是(

)A.12(cos15°−sin15°) B.tan22.5°1−tan222.55.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数，且函数y=f(x)x在区间I上是增函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)=x2−4x+2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”A.[2,2] B.(−∞,−2]和[6.已知函数f(x)=log3x+ax≥13x−2+A.(−2,4) B.(−2,+∞) C.(−4,2) D.(−1,4)7.已知tanα=2，则cos2α−12A.130 B.45 C.−38.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(A.−94 B.−32 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设O为△ABC的外心，AB=2，AC=4，∠BAC的角平分线AM交BC于点M，则(

)A.AM=23AB+13AC 10.已知复数z1，z2，下列说法正确的有(

)A.若z1=z2−，则z1−=z2 B.若z111.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱A.三棱锥A1−ACD的外接球的表面积为12π

B.三棱锥A1−ACD的外接球的体积为43π

C.点C到平面C1EF的距离为13

D.已知点P是底面ABCD(不含边界三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.f(x)=x5+100x3+x+1，若13.当x，y∈(0,+∞)时，x2+514.在△ABC中，AC=2AB=2，AB⊥BC，点M满足∠AMC=∠BMC=2π3，则AM+BM+CM=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数y=f(x)，其中f(x)=4−2x．

(1)求y=f(x)的定义域；

(2)若2f(a)=f(log16.(本小题15分)

已知向量a，b．

(1)若a=(1,1)，b=(1,2)，求(a−2b)⋅(a+b)；

(2)若a17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinC=3csinB2．

(1)求角B的大小；

(2)若b=6，且△ABC的面积为18.(本小题17分)

2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；

(2)用分层抽样的方法从[20,40)，[80,100)这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[80,100)这组的概率．19.(本小题17分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．

参考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.D

9.AC

10.AC

11.ABD

12.4

13.0

14.715.解：(1)函数y=f(x)有意义，则有4−2x≥0，得x≤2，

所以函数y=f(x)的定义域为(−∞,2]．

(2)因为f(log23)=4−2log23=4−3=1，16.解：(1)因为a=(1,1)，b=(1,2)，

所以a−2b=(−1,−3)，a+b=(2,3)，

所以(a−2b)⋅(a+b)=−1×2−3×3=−11；

(2)因为a,b是单位向量，设a,b的夹角为θ，

由|a+xb|≥32得：(a+xb)2≥34，

所以a2+2xa⋅b+x17.解：(1)bsinC=3csinB2，由正弦定理得：sinBsinC=3sinCsinB2，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，

故sinB=3sinB2，即2sinB2cosB2=3sinB2，

因为B2∈(0,π2)，所以sinB2≠0，故cosB2=32，

所以B2=π6，所以18.解：(1)由频率分布直方图得：(0.004+x+0.02+0.008+0.002)×20=1，解得x=0.016，

阅读时长在区间[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]内的频率分别为0.08，0.32，0.40，0.16，0.04，

所以阅读时长的平均数x−=0.08×30+0.32×50+0.40×70+0.16×90+0.04×110=65.2．

(2)由频率分布直方图，得数据在[20,40)，[80,100)两组内的频率比为0.004：0.008=1：2，

则在[20,40)内抽取2人，记为A1，A2，在[80,100)内抽取4人，记为B1，B2，B3，B4，

从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：

(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,B4)，(A2,B1)，(A2,B219.解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM/​/CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则B(0,−1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

设A(0,0,t)(t>0)，则E(0,13,2t3)，

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,2t3)，

所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，

令x=3，则y=−1，z