算法设计与分析 课件 第五章 贪心法 5.2.3 单源最短路径问题_第1页
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计算机算法设计与分析第5章贪心法5.2.3单源最短路径问题给定一个带权有向图

G=(V,E)，其中每条边的权是一个非负实数。给定图G中的一个顶点v0∈V，称为源点。求源点v0到G中其余各顶点的最短路径长度。这里的长度是指路径上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。5.2.3单源最短路径问题源点终点最短路径路径长度11无

2(1,3,2)7

3(1,3)3

4(1,3,2,4)9

5(1,3,5)55.2.3单源最短路径问题dist[i]表示计算过程中源点到各目标顶点i的当前最短路径长度，dist[i]随着计算过程会不断变化，其初始值为源点到其余顶点有向边的权值，若不存在有向边则用无穷大。path[i]表示在最短路径上顶点i的前一个顶点编号。集合S表示已求出最短路径的顶点的集合。集合T（T=V-S）表示尚未确定最短路径的顶点集合，V是图G中顶点的集合。二维数组edge表示图G的邻接矩阵。贪心策略，Dijkstra算法迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了一个按路径长度递增次序产生最短路径的贪心算法，对于有向带权图，算法步骤如下：（1）令S={1}，T=V-S，T中顶点i对应的距离值dist[i]：若边<1,i>∈E，dist[i]=edge[1][i],否则dist[i]=∞。（2）从T中选取一个其距S最近，即dist值最小的顶点k，加入S，T=V-{k}，对T中所有的顶点i的距离值dist[i]进行修改：

（3）重复上述步骤（2），直到S中包含所有顶点，即|S|=|V|为止，这时T=V-S={}。单源最短路径问题迭代Sk2345初始{1}--dist[2]=10path[2]=1dist[3]=3path[3]=1dist[4]=∞path[4]=-1dist[5]=∞path[5]=-11{1,3}3dist[2]=7path[2]=3--dist[4]=11path[4]=3dist[5]=5path[5]=32{1,3,5}5dist[2]=7path[2]=3--dist[4]=11path[4]=3--3{1,3,5,2}2----dist[4]=9path[4]=2--4{1,3,5,2,4}4--------效率分析每次从T中寻找一个最小dist值的顶点k加入到S（找最小值时间复杂度O(n)），并修改T中剩余顶点的dist值。对于n个顶点的图G，这个过程需要重复n-1次，所以算法时间复杂度为O(n2)。若在寻找最小dist值过

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