2024-2025学年北京师大附中高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京师大附中高三（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z满足z=21+i，则复数z对应的点的坐标是(

)A.(1,−1) B.(−1,1) C.(−1,−1) D.(1,1)2.已知集合A={0,1,2}，B={x|x>c}，若A∩B={1,2}，则c的最小值是(

)A.−1 B.0 C.1 D.23.抛物线x2=4y的准线方程为(

)A.x=1 B.x=−1 C.y=1 D.y=−14.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(

)A.y=lnx B.y=x2 C.y=(15.若双曲线C:x2a2−y2bA.12 B.23 C.326.已知a=ln0.3，b=30.2，c=0.20.3A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a7.已知函数f(x)=1x,x<02x−a,x≥0的值域为RA.a<0 B.a>0 C.a≤1 D.a≥18.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=(

)A.π6 B.π3 C.2π39.设等差数列{an}的公差为d，则“0<a1<dA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知{an}是无穷等比数列，其前n项和为Sn，a1=3,S2=3A.(−3,1) B.[−2,1) C.(−3,32)二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=ln(x−1)+112.已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若S2=3a1，a213.若向量a=(x,1)，b=(−1,y)满足|a+b14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2).直线y=22与曲线y=f(x)的两个交点A，B如图所示.若|AB|=π4，且f(x)在区间15.已知函数f(x)=11+x2−kx−b，给出下列四个结论：

①存在实数k和b，使函数f(x)没有零点；

②存在实数k，对任意实数b，函数f(x)恰有1个零点；

③存在实数b，对任意实数k，函数f(x)不会恰有2个零点；

④对任意实数k和b，函数f(x)不会恰有3三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知函数f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=12．

(1)求a的值和17.(本小题13分)

在△ABC中，asinB=2bsinAcosB．

(Ⅰ)求∠B的大小；

(Ⅱ)若a=8，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求△ABC的面积．

条件①：BC边上中线的长为21；

条件②：cosA=−23；

条件③：b=718.(本小题14分)

某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B.试验结果如下表所示．疱疹面积(单位：m[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)第1组(只)34120第2组(只)13231(Ⅰ)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2的概率；

(Ⅱ)从两组皮肤疱疹面积在[60,80)区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X的分布列和数学期望EX；

(Ⅲ)用“ξk=0”表示第k组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[30,50)区间内，“ξk=1”表示第k组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[50,80)区间内(k=1,2)，写出方差D19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上、下顶点分别为B1，B2，直线AB1的方程为x−3y+3=0．

(Ⅰ)求椭圆E的方程及离心率；

(Ⅱ)P是椭圆上一点，且在第一象限内，M是点P关于x轴的对称点.过20.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2−(2a+1)x+alnx，a∈R．

(1)若a=0，求曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程．

(2)若f(x)在x=1处取得极值，求f(x)的极值．

(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为−2a，求a21.(本小题15分)

对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A}，记集合S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T，变换T将集合A变换为集合T(A)=A∪S(A)．

(Ⅰ)若A={0,1,2}，求S(A)，T(A)；

(Ⅱ)若集合A有n个元素，证明：“d(S(A))=2n−1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

(Ⅲ)若A⊆{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}⊆T(T(A))，求元素个数最少的集合A．

参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.D

8.B

9.A

10.D

11.(1,2)∪(2,+∞)

12.2

15

13.2−14.2

−π15.①②③

16.解：(1)因为f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=12，

所以f(π4)=asinπ4cosπ4+cos(2×π4+π6)=a×22×22−12=12，

解得a=2，

所以f(x)=2sinxcosx+cos(2x+π6)=sin2x+cos2xcosπ6−sin2xsinπ6

=sin2x+32cos2x−12sin2x=317.解：(Ⅰ)因为asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得：sinAsinB=2sinBsinAcosB，

在△ABC中，sinB>0，sinA>0，

可得cosB=12，

因为B∈(0,π)，可得B=π3；

(Ⅱ)选条件①：BC边上中线的长为21，

设BC边中点为M，连接AM，则AM=21，BM=4，

在△ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2−2AB⋅BM⋅cosB，即21=AB2+16−8AB⋅cosπ3，

整理得AB2−4AB−5=0，解得AB=5或AB=−1(舍去)，

所以△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB=103；

选条件②：因为cosA=−23，则sinA=1−cos2A=18.解：(Ⅰ)记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm2为事件C，

其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60mm2的概率为810，

从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于60mm2的概率为610，

所以P(C)=810×610=1225．

(Ⅱ)依题意X的可能取值为X123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2．

(Ⅲ)依题意可得P(ξ1=0)=710，P(ξ1=1)=310，

所以E(ξ1)=0×719.解：(Ⅰ)因为直线AB1的方程为x−3y+3=0，

所以A(−3,0)，B1(0,1)，

即a=3，b=1，所以c=a2−b2=2，

所以椭圆方程为x23+y2=1，离心率e=ca=23=63；

(Ⅱ)证明：依题意，如图，设P(x0,y0)，(x0>0,y0>0)，则M(x0,−y0)，

20.解：(1)若a=0，则f(x)=x2−x，则f′(x)=2x−1，

故f(2)=2，f′(2)=3，

故曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y−2=3(x−2)，即3x−y−4=0；

(2)f(x)=x2−(2a+1)x+alnx，a∈R定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=2x−(2a+1)+ax，

由于f(x)在x=1处取得极值，故f′(1)=2−(2a+1)+a=0，∴a=1，

则f′(x)=2x−3+1x=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，

令f′(x)>0，则0<x<12或x>1，函数f(x)在(0,12),(1,+∞)上均单调递增，

令f′(x)<0，则12<x<1，函数f(x)在(12,1)上单调递减，

故当x=12时，f(x)取到极大值f(12)=14−32+ln12=−54−ln2，

当x=1时，f(x)取到极小值f(1)=1−3=−2；

(3)由于f′(x)=2x−(2a+1)+ax=(2x−1)(x−a)x,x∈[1,e]，

当a≤1时，f′(x)≥0，仅在a=1，x=1时等号取得，f(x)21.解：(Ⅰ)若集合A={0,1,2}，则S(A)=T(A)={0,1,2,3,4}.….(3分)

(Ⅱ)令A={x1,x2,…xn}.不妨设x1<x2<…<xn．

充分性：设{xk}是公差为d(d≠0)的等差数列．

则xi+xj=x1+(i−1)d+x1+(j−1)d=2x1+(i+j−2)d(1≤i,j≤n)

且2≤i+j≤2n.所以xi+xj共有2n−1个不同的值．即d(S(A))=2n−1．

必要性：若d(S(A))=2n−1．

因为2xi<xi+xi+1<2xi+1，(i=1,2,…,n−1)．

所以S(A)中有2n−1个不同的元素：2x1，2x2，…，2xn，x1+x2，x2+x3，…，xn−1+xn．

任意xi+xj(1≤i,j≤n)

的值都与上述某一项相等．

又xi+xi+1<xi+xi+2<xi+1+xi+2，且xi+xi+1<2xi+1<xi+1+xi+2，i=1，2，…，n−2．

所以xi+xi+2=2xi+1，所以{xk}是等差数列，且公差不为0.….(8分)

(Ⅲ)首先证明：1∈A.假设1∉A，A中的元素均大于1，从而1∉S(A)，

因此1∉T(A)，1∉S(T(A))，故1∉T(T(A))，与{1,2,3,…,25,26}⊆T(T(