2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系zOxyz中，点(1,3,2)关于Oxy平面的对称点坐标为(

)A.(−1,3,2) B.(1,−3,2) C.(1,3,−2) D.(−1,−3,−2)2.直线3x+3y−1=0的倾斜角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°3.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,−2)，且ka+b与2aA.1 B.15 C.35 4.圆(x−2)2+y2=4A.1 B.2 C.235.已知圆M经过P1,1,Q2,−2两点，且圆心M在直线l:x−y+1=0，则圆M的标准方程是A.(x−2)2+(y−3)2=5 B.(x−36.无论λ为何值，直线2λ+3x+λ+4y+2λ−1A.−2,2 B.−2,−2 C.−1,−1 D.−1,17.已知AB是圆O：x2+y2=4的直径，M，N是圆O上两点，且∠MON=120°，则A.−83 B.−8 C.−48.如图，正四棱锥P−ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为(

)

A.153 B.203 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，正确的是(

)A.直线l的方向向量为a=(2,−1,1)，直线m的方向向量为b=(1,1,−1)，则l⊥m

B.直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l⊥α

C.平面α的一个法向量为n=(−2,3,1)，点A(1,1,2)，在平面α内，则点B(2,1,4)也在平面α内

D.若直线10.点P在圆C1：x2+y2=1上，点Q在圆CA.|PQ|的最小值为0

B.|PQ|的最大值为7

C.两个圆心所在直线的斜率为−43

D.11.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a(0<a<2)，则下列结论中正确的有(

)A.∃a∈(0,2)，使MN=12CE

B.线段MN存在最小值，最小值为22

C.直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点(−1,2)且与直线3x+2y+4=0垂直的直线方程为______．13.若圆(x−1)2+y2=4上恰有3个点到直线y=x+b的距离等于114.如图，某空间几何体由一个直三棱柱和一个长方体组成，若AB=AA1=2AD=4，A1F=B1F=22，P，Q，M，N分别是棱AB，C1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

如图1，在边长为4的等边△ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折使得平面ACD⊥平面BCD，如图2．

(1)求证：AB//平面DEF；

(2)若M为AB的中点，求点M到平面DEF的距离．16.(本小题12分)

(1)若直线l过M(3,4)，且在x，y轴上的截距相等，求直线l的方程．

(2)已知直线m：4x−2y+1=0，直线l：(a−1)x−(2a+1)y+1=0，且l/​/m，求l与m间的距离．17.(本小题12分)已知▵ABC的三个顶点分别为A2,0，B2,4，C4,2，直线l(1)求▵ABC外接圆M的方程；(2)若直线l与圆M相交于P,Q两点，且PQ=23，求直线l18.(本小题12分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，∠BAD=90°，∠DAA1=∠BAA1=60°，M为A1C1与B1D1的交点.设AB19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱AP上是否存在点M，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为51133

参考答案1.C

2.D

3.D

4.C

5.C

6.A

7.B

8.A

9.AC

10.BC

11.ABD

12.2x−3y+8=0

13.−1+2或14.215.解：(1)证明：∵E，F分别是AC和BC边的中点，

∴EF//AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，

∴AB/​/平面DEF；

(2)建系如图，则根据题意可得：

D(0,0,0)，F(1,3,0)，E(0,3,1)，M(1,0,1)，

∴DF=(1,3,0),EF=(1,0,−1),MF=(0,3,−1)，

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，16.解：(1)当直线l在x，y轴上的截距不为0且相等时，设直线l的方程为x+y=a，

将(3,4)代入，得3+4=a，解得a=7，

故直线l的方程为x+y=7，即x+y−7=0；

当直线l在x，y轴上的截距均为0时，设直线l的方程为y=kx，

将(3,4)代入，得4=3k，解得k=43，∴y=43x，即4x−3y=0；

综上，直线l的方程为4x−3y=0或x+y−7=0；

(2)因为l/​/m，所以a−14=−(2a+1)−2≠1，解得a=−1；

则直线l的方程为−2x+y+1=0，即4x−2y−2=017.解：(1)因为A2,0，B2,4，所以kAC=1，kBC=−1，

所以kBC又因为CA=CB=22，

所以所以⊙M的圆心是AB的中点，

即圆心M2,2，半径r=所以⊙M的方程为x−22(2)因为圆的半径为2，

当直线截圆的弦长为23时，

圆心到直线的距离为①当直线l与x轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线l为x=1

，与圆心M2,2的距离为1②当直线l的斜率存在时，设l:y−4=kx−1，即kx−y+4−k=0则圆心到直线的距离为d=2k−2+4−kk2+1此时直线l的方程为y−4=−34x−1，

综上可知，直线l的方程为

x=1或3x+4y−19=0．

18.解：(1)连接A1B，AC，如图，

∵AB=a,AD=b,AA1=c，

∴BA1=AA1−AB=c−a,A1C1=AC=AB+AD=a+b，

∵M为线段A1C1的中点，∴A1M=12A1C1=1219.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，

又∵PA=PD，∴PO⊥AD.则AO=PO=1，

∵CD=AC=5，∴CO⊥AD，则CO=AC2−OA2=5−1=2，

以O为坐标原点，分别以OC，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示：

则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，

则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1),PC=(2,0,−1),CD=(−2,−1,0)，

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅PD=−y−z=0n⋅PC=2x−z=0，令z=2，则平面PCD的一个法向量n=(1,−2,2)．

设PB与平面PCD的夹角为θ，

则sinθ=|cos〈n,PB〉|=|n⋅PB||n|