第2章电磁学基本理论

一、场量的定义和计算(一)电场(二)电位(三)磁场

(四)矢量磁位二、麦克斯韦方程组的建立(一)安培环路定律(二)法拉第电磁感应定律(三)电场的高斯定律(四)磁场的高斯定律(五)电流连续性方程第2章电磁学基本理论三、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式两个静止点电荷之间的相互作用力的大小和它们的电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。作用力的方向在两点电荷的连线上，且“同性相斥，异性相吸”。一、库仑定律实验§2.1电场的基本物理量

——电场强度

——电位：单位矢量，由施力电荷指向受力电荷：真空介电常数。：源点位置矢量：场点位置矢量适用范围：点电荷

R>10-14m库仑力的叠加原理：二、电场强度1、电场带电体间的相互作用通过什么实现呢？实验证明：电力作用是通过中介物质—电场来传递的历史上的两种观点：超距作用——无须物质传递，作用速度无穷大，瞬间即达近距作用——必须由物质传递，以有限速度传递电荷

电场

电荷

电场的外在表现：

☆带电体在电场中受到力的作用☆带电体在电场中移动时，电场力做功☆处于电场中的导体——产生静电感应介质——将被极化存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。电荷是产生电场的源。2、电场强度

定义：单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度单位(SI):牛/库(N/C)

伏/米(V/m)场源场点讨论：由是否能说，与成正比，与成反比？

电场强度的计算：(1)点电荷的电场强度：：源点指向场点例1：在直角坐标系中，设一点电荷q位于点，计算空间点的电场强度。解：点的位置矢量为：点的位置矢量为：由点电荷电场强度的计算公式其中：(2)

点电荷系的电场强度：是所有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。(3)连续带电体的电场强度：a.线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布

线电荷密度：

单位长度上的电荷量。上所带的电荷量：产生的电场强度为：该线电荷在空间产生的电场强度：b.面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布

面电荷密度：单位面积上的电荷量。

上所带的电荷量：产生的电场强度为：该面电荷在空间产生的电场强度：c.体电荷分布:电荷在某空间体积内连续分布体电荷密度：单位体积内的电荷量。上所带的电荷量：产生的电场强度为：该体电荷在空间产生的电场强度:例2：长度为L的均匀带电直导线位于x轴，线电荷密度为，求距离直线段中点为z处的电场强度。L解：选取直角坐标系源点：场点：讨论：解：根据题意，选取圆柱坐标系源点：例3：一个均匀带电的环形薄圆盘，内径为a，外径为b，面电荷密度为，求z轴上任一点的电场强度。场点：a=0，实心圆盘a=0，b→∞，无限大平面a=0，z<<bz>>b，(a=0)无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的,与距离无关，方向为该平面的法线方向。带电体能否看成无限大或点电荷，不在于其本身绝对尺寸的大小，而在于其到场点距离的相对大小。讨论：三、电位

移动电荷作功：电荷在静电场中沿任意路径以不变速率由P点移动到A点，外力（克服电场力）所做的功为电位差：单位正电荷由P点移动到A点，外力（克服电场力）所做的功称为A点和P点之间的电位差

1.电位差电位差：电场力将单位正电荷由A点移动到P

点所做的功电场力做功可以与重力做功类比电场力做正功，电位减小电场力做负功，电位增大结论：空间两点的电位差只与两点的位置有关，而与积分路径无关例4：求原点处一点电荷q的电场中AP两点之间的电位差。解：选取球坐标系，任取一条由P到A的积分路径。2.静电场的保守性点电荷q产生的电场：PAcd静电场力沿任一闭合回路移动电荷所作的功为零在静电场中，电场强度的环量恒为零静电场处处无旋——静电场的环路定理——静电场是保守场（1）电位定义：外力将单位正电荷是由无穷远处移到A点，则A点和无穷远处的电位差称为A点的电位。3.电位该结果表示以无穷远处为零电位参考点。因此A点的电位实际上是A点和零电位参考点之间的电位差。电位是相对量,依赖于电位零点的选择两点间的电位差是绝对量,与电势零点选择无关电位零点的选择是任意的未选择电位零点时的电位：电位零点的选择原则：使场中各点有确定电位值使电位表达式尽量简单一个系统只能取一个电位零点通常取为大地或无穷远处,但当无穷远处有源时，应选取其它位置b.连续分布电荷源的电位线电荷分布：面电荷分布：体电荷分布：（2）电位计算：a.点电荷的电位：点电荷系的电位：4.电位与电场的关系

？任意结论：已知电位求电场空间一点上的电场强度矢量必与过该点的等位面垂直电场强度矢量指向电位的最快下降方向例5:

有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子,l<<R,求

P点的电位和电场强度。解：取球坐标系，P点的电位因为电偶极矩：解：例6:

两无限长平行带电细线距离为2C，线上电荷均匀分布，线电荷密度分别为和，如图，求空间电位分布。等位面方程：传导电流：自由电荷在导体中定向运动时形成的电流运流电流：由带电物体作机械运动时形成的电流位移电流：由电场的变化所形成的电流§2.2磁场的基本物理量

——磁感应强度

——矢量磁位补充：电流的相关概念恒定电流：电流是在电场的作用下电荷的定向运动，不随时间变化的电荷流动所形成的电流称为恒定电流，此时对应的电场称为恒定电场。电流的分类：电流强度：单位时间内通过导体某横截面的电量，即II体电流密度(矢量)：大小：等于通过与该点场强方向垂直的单位横截面积上的电流。方向：与该点场强的方向相同单位：A/m2穿过任意曲面的电流：电流密度的变化面电流密度(矢量)：大小：等于通过与该点场强方向垂直的单位横截线上的电流方向：与该点场强的方向相同单位：A/m电流元(矢量)：线电流元：面电流元：体电流元：单位：A∙m一、磁感应强度产生磁场的源：电流，即运动的电荷永久磁铁变化的电场1.磁场：存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷施力的特殊物质称为磁场。洛仑兹力：可见：运动速度、磁感应强度和最大磁场力三者相互垂直，且满足右手螺旋法则。2.磁感应强度的定义电流元在空间所产生的磁感应强度为：毕奥—萨伐尔定律安培力实验定律：

3.磁感应强度的计算：毕奥—萨伐尔定律:真空磁导率根据洛仑兹力：闭合电流回路的磁感应强度：毕奥—萨伐尔定律线电流的磁感应强度：面电流的磁感应强度：体电流的磁感应强度：例5：求长为l，载有电流I的细直导线在P点产生的磁感应强度。解：选用圆柱坐标系源点：场点：讨论：例6：求如图所示的电流线I在O点产生的磁感应强度。解：取圆柱坐标系将电流线分成三段分别求这三段电流在O点产生的磁感应强度。（1）段在O点产生的（2）段在O点产生的（3）段在O点产生的O点的磁感应强度:解：如图，选用直角坐标系上流过的电流为例7：设一面电流密度为的无限大均匀导流面，求：距该平面h高处的磁感应强度？与对称的取线元其中：该面电流在P点产生的磁感应强度：无限大均匀导流面两侧的磁感应强度：二、磁通连续原理1.磁通量

2.磁通连续性原理穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零它说明磁感线是连续的闭合矢线不存在磁单极子磁场是无散场

？1.矢量磁位的引入三、矢量磁位矢量称为矢量磁位单位:韦伯/米Wb/m

2.矢量磁位的计算a.线电流矢量磁位计算库仑规范：例8：求电流为I,半径为a

的小圆环在远离圆环处的磁感应强度。解：先求再求，选用球坐标系源点：场点：当时磁偶极矩：磁偶极子：当载流圆环很小，观测点远离圆环时，可将该载流圆环称为磁偶极子。S§2.3安培环路定律——麦克斯韦第一方程一、安培环路定律引出：研究无限长载流直导线周围磁感应强度沿闭合回路的积分积分路径为半径为r的圆环：积分路径为包围电流I的任意闭合回路：积分路径为不包围电流I

的任意闭合回路：任意载流回路的磁场沿任意闭合回路的积分：积分回路中包含多个电流：说明：磁场的环量与积分回路所限定的曲面上穿过的总电流有关电流的正负取决于电流方向与积分路径是否符合右手法则磁场的环量与电流在积分回路所限定的曲面上穿过的位置无关磁场的环量与积分回路所限定的曲面的形式无关磁场的环量与不穿过积分回路所限定的曲面的电流无关空间任一点的磁场与所有电流都有关，由全部电流共同决定——安培环路定律引入一个新矢量，令，矢量称为磁场强度，单位为安培/米（A/m）则：

安培环路定律：（真空中）磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。磁场是有旋场，电流是其涡旋源。应用安培环路定律求磁场问题：

在一些对称情况下，例如当沿着某一路径上磁场的大小均相等，且其方向与积分线元相同时，可以方便地利用该定律求解磁场。例9:

如图所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布的电流I，外导体通有均匀等量反向电流，求各区域的磁感应强度。解:

取圆柱坐标系。（1）区域内导体的电流密度:取积分回路为半径为r的圆环，

根据安培环路定律:

同理取半径为r

的圆为积分回路，则有:（2）区域（3）区域外导体的电流密度为:同理取半径为r的圆为积分回路，则有:（4）区域解：方法1：将面电流转化为无限长线电流求解。方法2：应用安培环路定律求解。选取矩形闭合回路，由安培环路定律：例7：设一面电流密度为的无限大均匀导流面，求：距该平面h高处的磁感应强度？二、位移电流

传导电流连续是安培环路定律成立的前提传导电流不连续会怎样？

位移电流的提出：在电容器两极板间，由于电场随时间的变化而存在位移电流位移电流的数值与传导电流相等，方向与传导电流相同位移电流具有磁效应穿过的传导电流为，则：

穿过的传导电流为，则：

为什么相同的线积分结果不同？怎么办？平板电容器极板上的电荷：位移电流的计算传导电流：位移电流：位移电流密度：穿过某曲面的位移电流：电位移矢量三、全电流定律

引入位移电流之后，穿过曲面S的总电流为：总电流密度为：穿过某曲面上的全电流为：——全电流定律（麦克斯韦第一方程）物理意义：磁场不仅由传导电流产生，也能由随时间变化的电场，即位移电流产生。安培环路定律：进一步深入：提出位移电流的背景及意义电磁感应定律：电场高斯定律：磁场高斯定律：电荷守恒定律：全电流定律：变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场变化的电磁场相互激发和转化，形成向空间传播的电磁波科学的创造性在于发现矛盾和解决矛盾！矛盾！§2.4

法拉第电磁感应定律——麦克斯韦第二方程一、法拉第电磁感应定律当穿过导体回路的磁通发生变化时，回路中就产生感应电动势和感应电流，感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率，方向由楞次定律确定：感应电动势的方向总是企图阻止回路中磁通的变化。数学表达式为：电磁感应实验Collaton静电场与时变电场的区别？引起磁通变化的原因：

(2)动生电动势：闭合回路与恒定磁场之间存在相对运动(3)既存在时变磁场又存在回路的相对运动时，感应电动势为：(1)感生电动势：闭合回路静止，与之交链的磁场随时间变化变压器感应方程例10:

如图所示，一个矩形金属框的宽度d是常数，其滑动的一边以匀速v向右移动，求：下列情况下线框里的感应电动势。

解：（1）（2）（1）（2）

二、法拉第电磁感应定律的推广

——麦克斯韦第二方程变化的磁场产生电场，电荷是电场的源，变化的磁场也是电场的源；感应电场的环量不为零，感应电场是非保守场，即有旋场，变化的磁场是其涡旋源。产生感应电流的本质是什么？法拉第：当穿过导体回路的磁通发生变化时，回路中就产生感应电动势和感应电流麦克斯韦：当穿过任意闭合曲线所限定曲面的磁通发生变化时，沿着该曲线就产生感应电场和感应电动势。§2.5

电流连续性方程——麦克斯韦补充方程从闭合曲面流出的电流，必然等于闭合曲面内正电荷的减少率；电荷密度变化的点即为电流密度的源点。电荷守恒定律：在孤立系统内，电荷既不能产生，也不能消灭，只能发生转移；任意时刻，系统内正负电荷的代数和保持不变。——电流连续性方程（麦克斯韦第五方程）一、电场的高斯定律——麦克斯韦第三方程§2.6

高斯定律点电荷在球形高斯面的圆心处：++S'点电荷在任意形状的高斯面内：通过球面S的电场线也必通过任意曲面S'，即它们的电通量相等+S+点电荷在闭合曲面以外：穿进曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数+闭合曲面内包含点电荷系：闭合曲面内包含连续分布电荷：

麦克斯韦第三方程——闭合曲面外的电荷对电通量没有贡献高斯定律的证明：以点电荷确定常数C：全电流定律+

电流连续性方程关于高斯定律的说明：有源性：高斯定律是反映电场有源性的基本定律，电荷是电场的源；电通量与场强：高斯定律中的电通量仅由曲面内的电荷确定。但曲面上任意点的电场强度或电位移矢量是曲面内外的电荷共同产生的，并非只由曲面内的电荷确定；电荷分布：通过闭合曲面的电通量与曲面内电荷的空间分布无关。但闭合面上任意点的场强则受电荷分布的影响；若高斯面内的净电荷为零，则通过高斯面的电通量为零。但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。电场高斯定律：穿过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和，与闭合曲面外的电荷无关。步骤：1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：穿过该高斯面的电通量容易计算待求场强的场点应在此高斯面上高斯面各点的法矢量应与电场平行或垂直，平行时，场强的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。

高斯定律应用举例——计算带电体的电场只有满足某些对称性的场分布，才能应用高斯定律求解常见的具有对称性分布的源电荷及相应的高斯面：球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等如果场分布没有对称性，则由高斯定理求电场并不方便，但高斯定理依然成立。例11：一均匀带电球壳，电荷密度为，球壳内外半径分别为a、b，求各区域中的电位移矢量。解：选球坐标系，由于球壳均匀带电，所产生的电场具有中心对称性。（1）区域取半径为R

的球面为高斯面，根据电高斯定律:（2）区域取半径为R

的球面为高斯面，根据电高斯定律:

（3）区域同理取半径为R

的球面为高斯面，根据电高斯定律:a→0时的情况a→b时的情况

解:

：面对称高斯面：柱面例12：求无限大均匀带电平面的电场，已知电荷密度ρSlr解：场具有轴对称高斯面：圆柱面例13：均匀带电圆柱面半径为R，面电荷密度为ρS，求各区域的电场。(1)r<R(2)r>RlrR例14：一无限长均匀带电直导线，线电荷密度为，

求：该导线周围的电场强度。解：该导线周围的电场具有轴对称性，选柱坐标系，高斯面选柱面。可得：电场强度：已知：磁通连续性原理：通过任意闭合曲面的磁通量恒为零。磁力线总是连续的，不存在磁单极子，磁场是无源场。——麦克斯韦第四方程二、磁场的高斯定律——麦克斯韦第四方程证明：对恒定磁场：应用电磁感应定律§2.7麦克斯韦方程组1813：电高斯定律1820-1825：磁通连续性原理1825：安培环路定律1831：法拉第电磁感应定律1861：位移电流1865：麦克斯韦方程组1887：赫兹实验“在我求学的时代，最吸引人的题目就是麦克斯韦的理论”。……“狭义相对论起源于麦克斯韦电磁场方程”。1831-18