5电磁场与电磁波-第五章-图片

第五章恒定磁场分析由矢量分析和亥姆霍兹定理为基础学习静磁场的性质及分析静磁场问题的数学理论和方法。主要内容有:1.真空中和磁介质中的静磁场基本方程；2.引入矢量磁位A来求磁场问题；3.求矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程；4.电感，静磁场能量及静磁场力的计算。

5.1恒定磁场分析的基本量恒定磁场的“源变量”是恒定电流密度矢量J,为矢量源,故产生场必为有旋度的矢量场.

两个场变量:1.磁通密度:2.磁场强度:H(r),单位为A/m,表示磁场对电流或永久磁铁有磁力作用.无界真空中,回路1是引起场的源回路,回路2是试验回路。可测得试验回路所受到的安培力:

当为无界均匀磁介质材料空间时,可测得试验回路所受到的安培力:

式中μ=μ0

μr

为磁介质材料的磁导率,单位为H/m.实验时,调节两个电流元的方位使它们处于同一平面内又相互平行,则dF12达到最大值,即:

5.1.1定义磁场强度H为:任一闭合直流回路产生的磁场强度H为:又据毕奥－沙伐尔定律,源回路引起的磁感应强度为:所以在外场中受到的安培力为:得到真空中磁特性方程或本构关系式:)(412110òò==lrreldIBdBpmx2.5.45.1.55.1.65.1.35.1.4如果是体电流分布和面电流分布相应:对照静电场中电荷作体分布时电场强度的表达式:5.2真空中磁场的基本方程首先分析无界真空中磁感应强度B(r)在任意闭合面上的磁通量,磁通量Φ为:(AXB).C=A.(BXC)得到:所以:即B(r)穿过任意闭合面的磁通量为0,又由:得到微分形式的基本方程为:5.2.15.2.2表明磁场为无散度的矢量场,磁感应线为一些闭合的曲线.梯度的旋度为零-dl-现在来分析磁场强度的环流特性：在磁场中任取一闭合回路C(源回路为C`),得H(r)的环流为:

右图中,场点P沿回路C有位移dl时,源回路对其立体角改变为dΩ,这同保持P点不动而源回路C`移动(-dl)一样,则回路围的表面由s1`变为s2`,增量为:

+立体角改变量为:即:此为P点位移dl时的变量,那么P沿C移动一周时立体角改为:可得:环积分结果取决于ΔΩ,一般有两种情况:书上错误书上错误(1)回路C不与源电流回路C`相套链:此时,从某点开始又回到原始点,则ΔΩ=0,上式可变为:(2)回路C与源电流回路C`相套链:-dl-即C穿过C`所围的面S`,取起点为S`上侧的A点,终点为下侧的B点,由于上侧的点所张的立体角为(-2π),而下侧的为2π,故ΔΩ=4π,ΩIC`C5.2.6因C与C`相套链,I也即穿过回路C的电流,当电流与回路C存在右螺旋关系时,I为正,反之为负.综上两种情况,用一个方程可表为:由上式可导出安培环路的微分形式:(斯拖克斯定理)及:得:因回路任意取,故有:表明磁场是有旋场,为非保守场总结真空中磁场的基本方程:积分形式:微分形式:(磁通连续性方程)(安培环路方程)(真空中本构关系式)已知源变量J(r),用偏微分方程求H(r):利用矢量恒等式:得:又因为:故可得:5.2.9复习1.闭合直流回路产生的磁场强度H为:2.

磁感应强度为:复习:3.总结真空中磁场的基本方程:(磁通连续性方程)(安培环路方程)(真空中本构关系式)例5.2.1半径为a的无限长直导线通电流I,求导体内外的H.

解：如图的导体圆柱，显然场与

,z无关,据安培环路方程有:

得:此积分等于回路包围的电流,在r<=a的圆柱内,包围的电流为:

故有:对于r>=a的圆柱,积分所包围的电流为I,有:例

5.2.2

如图两相交圆柱的截面,两圆重叠部分没电流,非相交的部分有大小相等方向相反的电流,密度为J,求证相交部分磁场是均匀的.

φ1φ2解:由例5.2.1的结果可知,两圆柱单独存在时,圆柱内的磁场强是:为单位矢量这样在重叠区域(即无电流区域)内的H应为:上式C=exC为一个x方向的常数矢量,H与场点的坐标(x,y)无关,是一个均匀的磁场,方向为ezxex=ey

.若两个圆柱无限靠拢,重叠区域近似为一个圆柱形状的区域,则证明了在圆柱空腔中产生横向均匀磁场提供了一种实际可行的方法.r1r25.3矢量磁位

矢量场旋度的散度为零,即:而磁场的散度为零,即:

A为矢量磁位,单位为T*m(特*米)或Wb/m(韦/米):但是只知式5.3.1一个方程是不够的.还需知道A的散度方程后才能唯一确定A.现假设任意标量函数φ,有:则有:=0可见A和A`都满足其旋度为B,而A和A`具有不同的散度:现在作库伦规范:在这一规范下,矢量位A就能唯一确定了.得:利用矢量恒等式和库伦规范:得:5.3.3上式称为矢量位的泊松方程,对于无源区域,则:此称为矢量位的拉普拉斯方程.5.3.4注意此处的拉普拉斯算符,其后为矢量,故为矢量算符.在直角坐标系中:代入:得:为常矢量解可分为三个分量:此时为标量算符解的三个分量为:电流元Jdτ,Jsds和Idl产生的矢量位分别为:1.因为A与源方向同，取坐标系同源方向一致，则得一维标量;2.可引入标量函数，将A的方程转化成标量方程,可简化计算。

例5.3.1求无限长直线电流的矢量位A和磁感应强度B.

解:先求有限长直线电流I产生的A.

积分再令l

有：

例5.3.2双传输导线的电流可视为方向相反的无限长平行电流,求它的A及B

解:利用上例中的结论,得:矢量位的重要应用

实际应用中，经常要计算通过某一曲面的磁通，其可以通过由矢量位来计算，即：式中C为曲面S的周界。5.4磁偶极子的矢量位和标量位

将半径为a的小电流环(磁偶级子,磁矩Pm=IS)置于xoy平面，圆心与球坐标重合。由对称性可将场点放在

=0的平面，在圆环上对称于=0取两点(a,/2,+

)和(a,/2,-

)，两个小电流元Idl,每对源产生的场仅含分量：dA=2dA=2dA1cos,dA1为单个电流元在场中产生的矢量位,故得:显见R2=z2+{a2+x2-2axcos`}

=(rcos)2+a2+(rsin)2-2arsincos

’

=r2+a2-2arsincos

’

远场区r>>a

一般来讲a无限缩小，r>>a总可满足,令πa2=ds,Pm=IdS便成为微小磁偶极子：

这个式子对磁偶极子所在点外区域均成立。

Pm(Pm为固定矢量)根据矢量恒等式:2.4.8复习:总结真空中磁场的基本方程:(磁通连续性方程)(安培环路方程)2.4.8复习1.磁偶极子的矢量位和标量位一般来讲圆环半径a无限缩小，r>>a总可满足,令πa2=ds,Pm=IdS便成为微小磁偶极子：

磁偶极子的场为无旋场

,实际上从安培定理的微分形式也有:

xH=0（偶极子外的场）磁通连续性：

•B=0（任意）故H可表为标量函数的负梯度,从电磁对应关系看,有:设有磁荷qm

磁距Pm=qmdl=Ids

则磁荷量为qm=IdS/dl

单位为A•m2

则m

=qmdl•r/4r3

磁偶极子模型:

1.电流环模型（安培型）--恒定磁场分析中应用2.假想磁荷模型（静磁模型）----磁性材料分析5.5物质的磁化

磁化强度

自由电荷运动（真实场源J)

磁场

物质内部束缚电荷自身运动(运动的电子)

磁场

分子磁场在无外场作用下是随机的,合成磁场为零.分子磁距Pm在外场作用下会顺着外场取向,具有合成磁矩,此时介质被磁化,一般两者成正比.假定任一体积内分子密度为N,平均分子磁矩Pm,定义单位体积总磁距磁化强度:

M称为磁化强度,单位为A/m,为一个矢量函数.得:由于磁化强度与磁场强度相似，根据：

安培模型已说明磁化体电流和磁化面电流的形成过程.

如图每个体内分子磁距都可等效成小环。相邻环刚好抵消则Jm=0；不能抵消则Jm不等于０在表面总有Jms

不等于０。Jm是在外加磁场（磁化）过程中出现的

受控源变量，可通过调节外场（外场自由电荷密度J)来控制.

５.６磁介质中的基本方程

实验中孤立磁荷仍没发现.磁场中由磁通连续性方程得:这里B为自由电流和磁化介质的合成磁感应强度.其次分析磁介质内磁场的环流特性,在无界的磁化介质中,任取一闭合回路有:自由电流束缚电流

M是Jm作为场源变量产生的新的场变量,具有和磁场强度相同的单位和特性,因此有:得:或者:磁介质本身满足的关系有:由实验得,除铁磁材料外,M和H之间有线性关系:于是有:其中

m

称为磁化率,为无量纲的常数.１:顺磁物质时,其为正数

2:抗磁物质时,其为负数

3:铁磁B和H成为非线性称为物质的磁导率,r称为相对磁导率.5.7磁介质面的边界条件

无界介质空间内,B和H连续可导,但分界面突变（有磁化面电流）.nB1ΔshB1nB2B2n一、B的法向分量在分界面上作一高斯面，由磁通连续性得：即：矢量表示为：（B的法向分量连续）二、H的切向分量的边界条件在分量面上作一小矩形回路，其两边分居两侧，而高h0，如图所示，则H沿此闭合回路的环积分：如果分界面上有自由电流密度Js时,则此闭合回路将有自由电流相交链.取一垂直于矩形的单位矢量s,则回路上通过的电流为Js.sΔl,Js.s为表面电流垂直于Δl的分量.另外Δl可表为:H2tH1tH2H1ΔlhH沿闭合回路的积分变为:因为回路任意取的,则:如果交界面上无自由的表面电流,则:即:得到:(即当JS=0时,H的切向分量连续)表示表面电流垂直于Δl的分量若两介质各向同性,则H2和B2共面,有:得到:如果1空气,2铁磁，2>>1

2>>1,所以空气中磁感应强度线B垂直于表面.

nB1ΔshB1nB2B2nH2tH1tH2H1Δlh当介质１为真空,介质２表面无自由面电流时,求B1和

B2的切向分量之差:

=0(表面无自由电流)MXn=Jms由此可知交界面场量突变的起因是磁化面电流Jms.当然自由电流面密度Js也为场量突变的原因.矢量位边界条件

最后我们直接写出矢量位的边界条件(不作证明):有:由式5.7.2:又由式5.7.4:有:即:在求解矢量位的微分方程时,要用到这两个微分方程.例５.７.１铁介质无限长圆管中通过电流I,内外半径a和b，磁导率

,求内外壁的B，铁中的M,Jm等.

解：取柱坐标，轴线与中心重合,因为轴对称,则电流z方向,磁场只有

分量.由于可作出H面,用环路定理解最简便。

a).在管中a<<r<<b:

b).在管外r>b

B1=

0H1

c).在中心区（管中r<a）显然H3j=0

由B=mH=m0mrH=(1+cM)m0H=m0(H+M)

管壁中磁化强度的计算：管壁内体磁化电流:

rr=a和r=b管壁内磁化面电流:

根据公式Jm=M

n

总的壁磁化电流（垂直于Z平面的）

复习1.磁化强度:假定任一体积内分子密度为N,平均分子磁矩Pm,定义单位体积总磁距磁化强度:

M称为磁化强度,单位为A/m,为一个矢量函数.磁化体电流密度:磁化面电流密度:2.磁介质中的基本方程

得:若两介质各向同性,则H2和B2共面,有:得到:nB1ΔshB1nB2B2nH2tH1tH2H1Δlh3.磁介质面的边界条件

例5.7.2如图铁芯环

0线圈有N匝,求环中B、H、

.解：当

0时，磁感应线主要在环中流通,

得:dh上式中令l=2πr0为磁环周长,s=hd为其横切面,则得磁路欧姆定理:

Rm=l/

s,可见本题开始的设定主要磁通都在壁内非常合理.5.9自电感互电感

在线性介质中，一电流回路在空间的B与电流成正比，故穿过任意固定回路的磁通F也与电流成正比。

若一回路为N匝绕成，则总磁通为各匝之和，则=NF。

当上述磁场是由本回路产生则定义自感为：

L为自感系数，单位为H(亨)。若第一回路对第二回路产生的，则定义互感为：

自感和互感取决于回路的尺寸，形状，匝数，填充介质，而与电流无关。

首先计算两个单回路的互感。当回路1通电流I时：

其中A12示回路1在dl上的矢量位，它等于：

故：

5.9.4（诺伊曼公式）

同理：

可见对于自感的计算，可取一个单匝回路，把电流看成集中在轴线，另一回路取在边沿上，可用诺伊曼公计算自感：

若密绕的线圈匝数为N，则产生的磁通为单匝的N倍，而磁链又为=Nφ，自感为单匝的N2倍，故自感与匝数的平方成正比，互感与匝数乘积成正比。

上述都只考虑了导线外部磁通,故称为外自感,下面讨论内自感：

设回路尺寸远大于导线截面，且截面为圆形,则导线内磁场近似无限长直导线,若导线半径a,磁导率μ,则:

取一段导线长为l，穿过图中宽度dr的截面磁通:

d

=

ds=Bl

dr

这里，d

仅与半径r内的电流相连,因此计算与I相交链的磁链时,要乘上一个比值r2/a2,即所交链的电流占全部电流的百分数.故得长度为l的一段