2025年高中文科数学核心知识点

必修1

第一章集合与函数概念

1.集合三要素：确定性、互异性、无序性.

2.常见集合：整数集合：N；正整数集合：N*或N#整数集合：Z；有理数

集合：Q;实数集合：R.

3.集合的表达措施：列举法、描述法、韦恩图法.

4.子集：一般地，对于两个集合A、B,假如集合A中任意一种元素都是集合

B中的元素，则称集合A是集合B的子集.记作AQ3.

5.真子集：假如集合AuB,但存在元素xeB,且xeA,则称集合A是集

合B的真子集.记作：A£B.

6.把不含任何元素的集合叫做空集.记作：①.并规定：空集是任何集合的子

集；空集是任何集合的真子集.

7.假如集合A中具有n个元素，则集合A有2"个子集.

8.并集：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素构成的集合，称为集合

A与B的并集.记作：AB,即A3=或xeB}.

9.交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，称为

A与B的交集.记作：AB,即AB={X|XGA,£.XGB}.

10.补集：对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合称为

集合A相对于全集U的补集，记作：,即2A={x|xeU,且xeA}.

11.一种函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.假如两个函数的定义

域相似，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

12.函数的三种表达措施：解析法、图象法、列表法.

13.用定义法判断函数单调性的环节：①取值；②作差变形；③定号；④判

断.

14.一般地，假如对于函数/(x)的定义域内任意一种x,均有/(-x)=/(x)，

那么就称函数f(x)为偶函数.偶函数图象有关y轴对称.

15.一般地，假如对于函数/(x)的定义域内任意一种工,均有

/(-x)=-/(X)，那么就称函数为奇函数.奇函数图象有关原点对称.

16.求函数定义域：①分母不为0；②偶次方根被开方数20；③对数的真数

>0.

17.用定义判断奇偶性的措施：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域与

否有关原点对称；②确定/(-%)与/'(X)的关系；③得出结论：若

/(—x)=/(x)或者/(—x)—/。)=0,则/(%)是偶函数；若/(—x)=—/(x)或者

/(-%)+/(%)=0,则/(x)是奇函数；

第二章基本初等函数(I)

1.一般地，假如x"=a,那么x叫做a的〃次方根。其中

2.(1)(加')"=〉1,且〃eN*)

(2)当〃为奇数时，也7=a；当〃为偶数时，行=时.

3.我们规定：

⑴[a>0,m,nEN,m>1)；⑵〃一"=—(n>0)；

4.指数运算性质：

⑴a"=ar+s(a>Q.r.seQ)；

⑵(优)'=。以。>0/,5€0)；

-a1b1(a>0,b>0,rEQ).

5.指数函数的图象及其性质

y=ax0va<la>l

yi、y

V

图象1------

o'~Q

XX

定义域R

值域(0,+8)

定点过定点（0,1）

x对y当X>0时，0<p<1；当x>0时，y>1；

性影响当x<0时，y>1.当x<0时，0<p<L

质单调性在彳上是减函数在彳上是增函数

对称性y=ax和＞=。-'有关y轴对称

奇偶性非奇非偶函数

6.指数式与对数式互优=N=log0N=x化：

7.对数的运算性质：当a>O,a#l,M>0,N>0时

(l)logfl(W)=logflM+\ogaN-,⑵logJ.1=logflM-logflN-,

(3)logflM"=nlogaM.

(4)产/=a,log。1=0,logaa=l.

8.换底公式：log”b="gc，(a>0,awl,c>0,cw1,Z?>0).

―10gc6Z

logab=--—(a>0,aw1,6>0,6w1).

9..对数函数的图象及其性质

函数y=logaX（a>0,a7l）叫对数函数.

y=iog,x

0<tz<la>\

y\丁”

NUM

图象R

oK,*斗小Lo）i

定义域(0,+8)

值域R

过定点（1,0）,即x=l时，y=0

在〃上是减函数在7?上是增函数

性

当0〈X<1时，y>0当0〈x〈l时，y<0

质

当x>l时，y<0当x>l时，y>0；

非奇非偶函数。

10.募函数的图象及性质

（1）几种募函数的图象：

①所有的基函数在（0,内）均有定义，并且图像过点（1,1）

②a>0时，基函数的图象都通过原点，且在（0,内）上是增函数

③a<0时，募函数的图象在区间(0,xo)上是减函数

第三章函数的应用

1.方程/(x)=0有实根

o函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.

2.性质：假如函数y=/(x)在区间上的图象是持续不停的一条曲线,

并且有/(a)"@<0,那么，函数y=/(x)在区间(。㈤内有零点，即存

在ce(a,6),使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的根

K补充知识1函数图象变换

1.平移变换

-f(}_〃>0,左移九个单位f(x+h}

yv_/⑺x/7<o,右移㈤个单位>y-J^x+n)

-”>0,上移左个单位〉、,一f(r)+k

'v一八"一<o,下移—个单位>y-j^x)+K

2.伸缩变换

)=/(%)噢册申>y二，3%)

3.对称变换

y=/(%)增由>y=—/(%)y=f(x),轴>y=/(-%)

y=/(%)原点>y=-/(-x)

y=/(%)直线I>y=广(%)

去掉y轴左边图象

y=于(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象

保留X轴上方图象

y=/(%)将X轴下方图象翻折上去>y=l/(%)l

必修2

第一章空间几何体

(1)棱柱：有两个面互相平行，其他各面都是四边形，且每相邻两个四边形

的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

几何特性：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行

四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥:有一种面是多边形，其他各面都是有一种公共顶点的三角形，由

这些面所围成的几何体

几何特性：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，

其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：用一种平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

几何特性：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于

原棱锥的顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其他三边旋转所成的

曲面所围成的几何体

几何特性：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径

垂

直；④侧面展开图是一种矩形。

(5)圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围

成

的几何体

几何特性：①底面是一种圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是

一种扇形。

（6）圆台：用一种平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特性：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧

面展开图是一种扇环。

（7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特性：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半

径。

1.三视图：正视图：从前去后侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

2.画三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等

|高平齐匚|

I//

I长对正I///

II______/

［一痂等1//

3.直观图画法：斜二测画法

4.斜二测画法的规定：

（1）平行于坐标轴的线仍然平行于坐标轴；

（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；

（3）画法要写好。

5.斜二测画法的环节：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

6.棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

7.圆柱的表面积S=2mi+271r2

8.圆锥的表面积S=勿7+k2

9.圆台的表面积S=mi+Tip+欣i+航

10.球的表面积S=4派2

n.柱体的体积丫=5底、/1

12.锥体的体积丫=；5底乂丸

13.台体的体积丫=；（S上+JS上S下+5下）></1

14.球体的体积V=-^?3

3

第二章直线与平面的位置关系

1.平面含义：平面是无限延展的

2.平面的画法：水平放置的平面一般画成一种平行四边形，锐角画成45°,

且横边画成邻边的2倍长（如图）?7C

3.三个公理：AB

（1）公理1:假如一条直线上的两点在一种平面内，那么这条直线在此平面

内

符号表达为AeL

BeL

}=£ua

Aea

Bea

公理1作用：判断直线与否在平面的理论根据

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一种平面。

符号表达为：A，B,C三点不共线n有且只有一种平面°,

使Aca,B&a,C&a/AB~7

o/?/

公理2作用：确定一种平面的根据。

（3）公理3：假如两个不重叠的平面有一种公共点，那么它们有且只有一条

过该点的公共直线。

B

符号表达为：p&oc(~y/3=>ac0=L,曰/GL

p

公理3作用：鉴定两个平面与否相交的根据及点共I?

线的根据

4.空间的两条直线有如下三种关系：

什,,江［相交直线：同一平面内有且只有一个公共点；

井面直线一［平行直线：同一平面内没有公共点；

异面直线:不一样在任何一种平面内，没有公共点。

5.公理4（平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表达为：设。、》、C是三条直线，a//b］

>=allc

d/b

公理4作用：判断空间两条直线平行的根据。

6.等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补

7.异面直线所成角的定义：已知异面直线Q,瓦在空间中任取一点0,过点0

分别做,bllb',则，用'所成的锐角（或直角）为异面直线所

成的角

8.直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内一一有无数个公共点

（2）直线与平面相交一一有且只有一种公共点

（3）直线与平面平行一一没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的状况统称为直线在平面外，可由来表

达

9.线面平行鉴定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直

线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。

。a。

符号表达：bua\nalla

allb

10.面面平行鉴定定理：一种平面内的两条交直线与另一种平面平行，则这两

个平面平行。

au廿

符号表达：buB

ar>b=P>=>a///3

alia

blla

11.判断两平面平行的措施有三种:

（1）用定义；（2）鉴定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

12.线线平行鉴定定理：一条直线与一种平面平行，则过这条直线的任一平面

与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。

符号表达：alia

au廿\nallb

ac/3=b

作用：运用该定理可处理直线间的平行问题。

13.定理：假如两个平面同步与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表达:

all(3

acy=a'=allb

(3cy=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

14.线面垂直定义：假如直线L与平面。内的任意一条直线都垂直，我们就

LaL-LaLoc

说直线与平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平

面

a叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做

垂足。

15.线面垂直鉴定定理：一条直线与一种平面内的两条相交直线都垂直，则该

直线与此平面垂直。

16.二面角的概念：表达从空间一直线出发的两个半平面所构成的图形

17.面面垂直鉴定定理：一种平面过另一种平面的垂线，则这两个平面垂直。

18.线线平行鉴定定理：垂直于同一种平面的两条直线平行。

19.线面垂直性质定理：两个平面垂直，则一种平面内垂直于交线的直线与另

一种平面垂直。

第三章直线与方程

1.直线倾斜角的概念：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向

与直缰向上方向之间所成的角叫做直饯的倾斜角.尤其地，当直线

与X轴平行或重叠时，规座=0".

2.倾斜角2的取值范围当直线1与X轴垂直时以=90°.

3.直线的斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,

斜率常用小写字母k表达,也就是k=tana

⑴当直线/与％轴平行或重叠时，a=0°,^=tan00=0

⑵当直线/与％轴垂直时，。=90。，左不存在

由此可知，一条直线/的倾斜角。一定存在，不过斜率k不一定存在.

4.直线的斜率公式:给定两点Pi(xi,yi),P2(x2,y2),X1WX2,用两点的坐标来表达

直线PR的斜率：4

5.两条直线均有斜率并且不重叠，假如它们平行，那么它们的斜率相等；反

之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即k1=k2

6.两条直线均有斜率，假如它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反

之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即l]_L12=k].k2=0

7.直线的点斜式方程：直线/通过点月(%,%)，且斜率为左则

y-y0=k(x-x0)

8.直线的斜截式方程：直线/的斜率为左，与y轴的交点为。力，

y=kx+b

9.直线的两点式方程：已知直线上的两点片(花,%),舄(%，%)其中

xx

y-yi_~i(玉片与丁产必)

xx

y2-yi2i

10.直线的截距式方程：已知直线/与％轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为

B(0,b))其中aw0,〉#0,±+±=i

ab

H.直线的一般式方程：Ax+By+C=0(A,B不一样步为0)

12.点到直线距离公式：点P(x0,y0)至U直线/:4%+3丁+。=0的距离为：

I------------------IAX)+By^+(j\

两点间的距离公式：|片⑷=J(%-巧)+(%-y)d=

TA+B

13.两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线4和A的一般式方程为乙：Ax+By+Cl=0,/2：

贝i"与‘2的距离为a=上上

Ax+By+(72—0

A2+B2

14.

第四章圆与方程

1.圆的原则方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为A(a,b),半径为r

2.点Ma。,%)与圆(x-a)2+(y-»2=/的关系的判断措施：

(1)(%—份2〉/，点在圆外

(2)(卜―”>+(%—炉=产，点在圆上

(3)(卜―4)2+(%—6)2〈户，点在圆内

3.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0,(D2+E2-4F>0)，圆

心半径r=，。2+七2一4/

2

4.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线/:ax+by+c-0圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆的半径为r,圆心

-马到直线的距离为d,则鉴别直线与圆的位置关系的根据有如下几

22

占•

八、、•

(1)当d>r时，直线/与圆C相离；

(2)当d=r时，直线/与圆C相切；

(3)当d<r时，直线/与圆C相交；

5.两圆的位置关系：设两圆的连心线长为/,则鉴别圆与圆的位置关系的根据

有如下几点：

(1)当/＞八+-2时，圆G与圆C2相离；

(2)当/=(+弓时，圆G与圆C2外切；

(3)当|八-「2K/＜八+r2时，圆G与圆C2相交;

(4)当时，圆G与圆C2内切；

(5)当/＜--弓［时，圆G与圆C2内含；

6.空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表

达，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记

M(x,y,z),x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫

做点M的竖坐标。

7.空间中任意一点々(X，%,Zi)到点心(Z，为/)之间的距离

公式

山叫=J(%i-％2尸+(%-为＞+G-？2尸

必修3

第一章算法初步

1.算法的特点:有限性、确定性、次序性与对的性、不唯一性、普遍性.

2.算法的三种基本逻辑构造：次序构造、条件构造、循环构造.

3.辗转相除法.也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的环节如下:

(1).用较大的数m除以较小的数n得到一种商5。和一种余数及

(2).若凡=0,则n为m,n的最大公约数；若凡老0,则用除数n除以余

数人得到一种商M和一种余数与

(3).若凡=0,则与为m,n的最大公约数；若8W0,则用除数&除以余

数凡得到一种商$2和一种余数%;依次计算直至&=0,此时所得

到的Ki即为所求的最大公约数.

4.更相减损术

(1).任意给出两个正数；判断它们与否都是偶数。若是，用2约简；若不

是，执行第二步.

(2).以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大

数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就

是所求的最大公约数.

5.秦九韶算法概念：

n

/(x)=anx++…qx+/求值问题：

尤"T+4_1尤"—2H—ajx+ao

=2+3H—a2~)x+ajx+a0

=•••=(•••(<2„x+%)x+a“_2)xH■…+ojx+aQ

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即+

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

丫2=41+4-2v3^v2x+an_3•••Vn^vn_xx+ao

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

6.进位制表达多种进位制数一般在数字右下脚加注来表达,如111001⑵表达二

进制数,34⑸表达5进制数.

(2)k进制转化为十进制公式:

（3）十进制转化为k进制：除k取余法

注：k进制数之间的转化，首先转化成十进制，再转化为其他进制数.

第二章记录

1.简朴随机抽样常用的措施：①抽签法②随机数表法

（2）抽签法环节：

①编号②制签③搅拌均匀④抽签⑤确定样本

（3）随机数表法:

①编号②从数表中定“中心”③按事先约定好的方向取数④确定样本

2.系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽

样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一种样本采用简朴随机

抽样的措施抽取.

特点：抽出的样本编号按大小次序排列时，编号之差为定值（即等距）。

3.分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有元素按照某种特性或标志（性别、年龄等）划提成

若干樊型或层次"然卮核比例在各个类型或层次中采用简朴随机抽样或系

用抽样而揶施箍取F灯祥笨「最久耨避簪辟本锹鳏嵋曲总体的样

1.最后一步商为O,

2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：

89=1011001<2>

本.

样本容量=各层样本容量

分层的比例问题：抽样比例=

个体容量—各层个体容量

4.用样本的数字特性估计总体的数字特性

①样本均值：1=1+“2+……+Z

n

②方差：=—[（%—X）2+（%—X）~H---1-（X”—X）2]

n

③样本原则差:

④众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据（可以是多种）

⑤中位数：在样本数据中，从小到大排列，最中间的那一种数据，假如最

中间有两个数据，取其平均值即为中位数.

5.观测频率分布直方图（不懂得详细数据）时求数字特性的措施：

①样本众数：直方图中最高小长方形下端中点的横坐标的值.

②中位数：在频率分布直方图中，合计频率为0.5时所对应的样本数据值

（只有一种）。详细求解环节是：

第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为

1）

第二步，确定中位数在哪个小长方形里（中位数平分面积，两边各0.5）

第三步，设中位数为x,则运用中位数平分面积，左边面积和为0.5列方

程

第四步，解方程，求出x.

③平均数：

第一步，根据直方图先求出各个小长方形的面积，（面积=频率，总面积为

1）

第二步，求出每个小长方形的底边中点的横坐标.

第三步，面积与横坐标对应相乘.

第四步，把第三步的成果相加，最终算出的数值即为平均数

6.用样本的频率分布估计总体分布

列频率分布表与画频率分布直方图的详细环节如下:

第一步：求极差，即计算最大值与最小值的差.

第二步：决定组距和组数：组数

极差e——

=wl口小-无）。,-y）0.L

极差b=3—n,a=y-bx

（注意：当磊不是整数时，-2组数二

z=l

［极差

+1.)

第三步：将数据分组；

第四步：列频率分布表：

第五步：画频率分布直方图。

（小长方形的面积=组距义翳=频率）

组距

7.两个变量的线性有关

（1）.正有关:从散点图看，点散布在从左下角到右上角的区域内.

负有关：从散点图看，点散布在从左上角到右下角的区域内.

（2）.回归直线方程：y=bx+a,其中（玉,%）,（%2，%）,,一,（七,%）为样本点,

线性回归方程夕=bx+a中系数计算公式：

8.记录案例

⑴有关系数厂是用于衡量两个变量之间的线性

-nxTjy,2-ny

有关程度的.r＞0时表达两个变量正有关；厂＜0时表达两个变量负有

关；r的绝对值越靠近1,表明两个变量间的线性有关程度越高，当

卜＞0.75时，可以认为两个变量有很强线性有关性.

nrn

汇(、-42

⑵有关指数火2=1—今---------，用来刻画回归的效果，越靠近1,

Z(…2

i=l

表明回归效果越好.

第三章概率

1.随机事件的概率及概率的意义

I.必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

2.不也许事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不也

许事件.

3.随机事件：在条件S下也许发生也也许不发生的事件，叫相对于条件S的

随机事件.

4.频数与频率：在相似的条件S下反复n次试验，观测某一事件A与否出

现，称n次试验中事件A出现的次数%为事件A出现的频数；称事件A出

现的比例力(A)=以为事件A出现的频率。(频率=频数+样本总数)

n

5.当试验的次数越多时，频率就越靠近一种稳定值，这个稳定值我们称之为

“概

率”，即频率可当作概率的近似值.

6.概率的基本性质

(1)必然事件概率为1,不也许事件概率为0,因此OWP(A)W1

(2)事件的关系有：包括、并事件、交事件、相等事件.

(3)若AAB为不也许事件，即AAB=0,那么称事件A与事件B互斥；

(4)若AAB为不也许事件，AUB为必然事件，那么称事件A与事件B互

为对立事件；因此，对立事件一定是互斥事件，反之否则.

(5)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若某事

件的成果有k种也许，则这k种也许的概率之和为1.

若事件A与B为对立事件，则AUB为必然事件，因此P(AUB)=P(A)+

P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).

7.基本领件：基本领件是在一次试验中所有也许发生的基本成果中的一种，

一次试验的所有也许的成果一一列出，列出时做到不反复、不遗漏即可得

出所有的基本领件。(列出时可以画树状图，也可以按照一定规则和秩序

一一列出)

8.基本领件的特点：①任何两个基本领件是互斥的；②任何事件(除不也许事

件外)都可以表到达基本领件的和.

9.古典概型

(1)古典概型的条件：

①试验中所有也许出现的基本领件只有有限个.

②每个基本领件出现的也许性相等.

(2)古典概型的解题环节：

①求出总的基本领件数.

②求出事件A所包括的基本领件数，然后运用公式

=A所包含的基本事件的个数

—总的基本事件个数一

10：几何概型

(1)几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度

(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.

(2)几何概型的概率

=构成事件A的区域长度(面积或体积)

P一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

（3）几何概型的特点：

①试验中所有也许出现的成果（基本领件）有无限多种.

②每个基本领件出现的也许性相等.

必修4

第一章三角函数

"正角：按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角V负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2.角a的顶点与原点重叠，角的始边与左轴的非负半轴重叠，终边落在第几

象限，则称夕为第几象限角.

3.与角a终边相似的角的集合为{尸忸=*360+a,左eZ}

4.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5.半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角a的弧度数的绝对值是

囤J

6.弧度制与角度制的换算公式：2/r=360,1=—,l=f—«57.3.

180{J

7.若扇形的圆心角为a（c为弧度制），半径为广，弧长为/,周长为C,面积为

S,贝1]/=r同，C=2r+l,S=hr=^\a\r2.

8.设。是一种任意大小的角，。的终边上任意一点P的坐

标是它与原点的距离是已卜=Jd+f>o卜则

sma=—,cosa=—,tana=—lx^0）.

rrx

9.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正,

第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

10.三角函数线：sinc=MP,cosa-OM,tana=AT.

n.三角角函数的基本关系

兀

(1)sin2a+cos2a-\\(QU/,%£Z)

12.函数的诱导公式:

(1)sin(2k7i+a^=sina，cos(2k7i+cif)=cosa，tan(2左"+a)=tana(kwZ).

(2)sin(万+0=—sina,cos(^+6Z)=-cosa,tan(万+e)=tana.

(3)sin(-a)=-sindf,cos(-cif)=coscif，tan(—a)=-tana.

(4)sin(万一a)=sina,cos(7r-a)=-cosa,tan(»_0=_tana.

n

（5）sin~~a=cosa,

小sina

(2)-------=tana

71cosa

cos~~a=sina.

71

（6）sin—Fa=cosa,cosP+«=-sma.

212

口诀：奇变偶不变，符号看象限.

13.y=Asin（s+9）图象的变换

由y=sinx的图象变换得到〉=45足（5：+夕）（其中A>0,①>0）的图象

（1）先平移后伸缩（2）先伸缩后平移

易误提醒（1）要注意平移前后两个函数的名称与否一致，若不一致，应先

运用诱导公式化为同名函数.（2）由）；=Asincox的图象得到y=Asin（©x+9）的

图象时，需平移的单位数应为2,而不是|夕|.

0)

14.函数y=Asin(oa+0)(A>O,ft>>O)的性质:

①振幅:A；

T2〃

②周期:1=—;

,1G

③频率:J=—=

T271

④相位:o）x+（p；

⑤初相:(P•

15.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

y=sin犬y=cosxy=tanx

i

yy

等M,

图象

04vyx01JXT4Y-

定义域\%%W左〃+工,左£Z

RR1121

值域[T』[T』R

当％=2左）（左wZ）时1

当x=2k兀+£（攵£Z）1）Nmax=1

；当

时，小=1；当既无最大值也无最

最值x=2k兀+兀

x=2kn~—小值

2（kcZ）时,

际刃时y=-1

minKlin=-1•

周期性2»27171

奇偶性奇函数偶函数奇函数

在2k7r--,2k7r+—

L22_在［2左乃一万,2人》］（%eZ）上不已

在［丘WY；

二£Z）上是增函

增函数；在

单调性数；在

（keZ）上是增上

1冗…3万［2k7i,2k兀+7i\

2K71—,2仁兀----

22_

数.

：£Z）上是减函（丘z）上是减函数.

数

对称中心

>寸称中心对称中足、

（左肛0）（左wZ）

左〃■+］）（）［加（

对称性,0keZ%£Z）无

对称轴[

>寸称轴X=左乃（左£Z）

%=左ez）对称轴

第二章平面向量

16.向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

平行向量（共线向量）：方向相似或相反的非零向量.零向量与任历来量平

行.

相等向量：长度相等且方向相似的

向量..

17.向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连._________________________

a+i=AB+BC=ACa+Z>=AB+AZ?=AC

⑵平行四边形法则的特点：共起

点.

⑶三角形不等式：弧卜忖卜卜+方卜回+阵

⑷运算性质：①互换律：a+b=b+a；

②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）；（3）

a-b=AC-AB=BC

。+0=0+〃=a.

⑸坐标运算：设a=&，x）,b=（%2,y2）-则a+Z?=&+%2，X+%）•

18.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设a=&，x）,b=（x2,y2）,贝Ijd-/?=（5-％2，X-%）•

设A（%,%）、B（尤2,%）则^=（%—%，%—%）•

19.向量数乘运算：

⑴实数X与向量a的积是一种向量的运算叫做向量的数乘，记作2a.

①］羽=风向；

②当;1>0时，/la的方向与a的方向相似；当2<0时，/la的方向与a的方向

相反；当;1=0时，2a=0.

⑵运算律：①X（"）=（M）a；（2）（2+//）a=2a+//a；③

A^a+bj=Aa+Ab.

⑶坐标运算：设d=(羽y),则/la=7i(x,y)=(Xx,/ly).

20.向量共线定理：加心储手o)ob=&.

21.平面向量基本定理：假如e「02是同一平面内的两个不共线向量，那么对

于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数4、%,使

a=\ex+^e2.(不共线的向量q、e2作为这一平面内所有向量的一组基

底)

22.平面向量的数量积：

Wa-b=|a||z?|cos6*(«O,b0,0<8<180).

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①G，boa6=0.

②当之与方同向时,同忖；

当a与匕反向时，a-b=-|«||^|;a•a=a2=|a『或同=JaV.

⑶运算律：

@a-b-b-a；②(2a)/=2(a-Z?)=a«/l》)；®[a+b^-c=a-c+b-c.

J

⑷坐标运算：设两个非零向量a=(%],yj,b=(%2,j2)则。必=玉%2+%%.

若a=(x,y),则依『=/+’2,或同=Jf+y2.设a=(%,%),

匕=(无2，%)，则a0%犬2+%%=0.

设a、6都是非零向量，a=(%,yj,人=(%2，%)，。是a与人的夹角，贝I

cos"整＞卒2+产

第三章三角恒等变换

23.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

(1)cos(er-yff)=cosacos/3+sinasin[3；⑵cos(a+夕)=cosacosp一sinasin/?；

(3)sin(cr-/?)=sinorcosP-cosasin/?；(4)sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?；

⑸tan(a-/?)=色士㈣2n

1+tanatanD

(tan畿一tan/?=tan(a一/)(l+tanatan'))；

(6)tan…Jna+ta”

1-tantan0

(tana+tan/?=tan(a+〃)(l-tanatan〃)).

24.二倍角的正弦、余弦和正切公式：

(Dsin2a=2sinacos。・

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

0降募公式cos2«=COs2q：+1,.21-cosla

sina=-------------

2

2tana

tanla=

1一tan2a

必修5

第一章解三角形

1.正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、。的对边，R为

AABC的外接圆的半径，则有—^=—^=」^=2尺.

sinAsinBsinC

2.正弦定理的变形公式:

①a=2RsinA,b=2HsinB,c=2RsinC；

②sinA=,sinB=,sinC=，-；

2R2R2R

③a:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

④a+b+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

3.三角形面积公式：S=—besinA=—absinC=—acsinB.

AAABACBr222

4.余弦定理：在AABC中，有

a=b2+c2-2Z?ccosA,b1=a1+c2-2accosB,c2=a2+Z?2-2abcosC.

5.余弦定理的推论：

6.设〃、屋。是AABC的角A、B、C的对边，贝Ij：

①若〃2+/=/,贝|jc=90；

②若贝.

③若则c>90.

第二章数列

S],(ji=1)

L数列中明与S〃之间的关系：4=二。(注意通项能否合并)。

5„-S„_p(n>2).

2.等差数列：

⑴定义：假如一种数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一种常

数,即/一a"_i=d,(n22,n©N+),那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列oA=@[

⑶通项公式：an=%+(n-l)d

⑷前〃项和公式：3="%+心二。〃=返土3）

22

⑸等差数列的常用性质：

①若m+n=p+qQn,n,p,qwN）,则am+an=ap+aq.

②在等差数列中，间隔相似的项取出一列数，仍构成等差数列；

③数列｛2%+”（几力为常数）仍为等差数列；

④单调性：｛%｝的公差为d,贝U：

i）d>0o｛4｝为递增数列；

ii）d<0o｛%｝为递减数列；

iii）d=0o｛/J为常数列；

⑤数列｛6｝为等差数列=+q（P,q是常数）

⑥若等差数列｛%｝的前几项和S“，则，、S2k-Sk,S”-…是等差数

列。

3.等比数列

⑴定义：假如一种数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一种常

数，那么这个数列就叫做等比数列。

⑵等比中项：若三数a、G、〃成等比数列nG2=",即G=±而，（而同

号）。反之不一定成立。

⑶通项公式：

nax(q=1)

⑷前几项和公式:

⑸等比数列的常用性质

①若根+"=p+"(m,n,p,qeN+),贝|金=%，/；

②

③在等比数列中，间隔相似的项取出一列数，仍构成等比数列;

④若｛%｝是等比数列，则｛%｝,｛a“2｝,工，｛a：｝（reZ）是等比数列。

[an）

⑤若等比数列｛%｝的前〃项和S“，则