2025年高考数学专项复习：集合与常用逻辑用语（原卷版+解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对集合的考查，重点是集合间的2022•新高考I卷，1

基本运算，主要考查集合的交、并、补2023•新高考I卷,1

交集的运算

运算，常与一元二次不等式解法、一元2024•新高考I卷，1

一次不等式解法、分式不等式解法、指2022•新高考n卷,1

数、对数不等式解法结合.根据集合的包含关系求参数2023•新高考II卷，2

2.高考对常用逻辑用语的考查重点关注充分必要条件的判定2023•新高考I卷，7

如下两点：

(1)集合与充分必要条件相结合问题

的解题方法；

全称、存在量词命题真假的判断2024•新高考n卷，2

(2)全称命题与存在命题的否定和以

全称命题与存在命题为条件，求参数的

范围问题.

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考n卷未考查集合，I卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑用语在新高考II卷中考查

了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住

知识点和数学核心素养是关键！集合和常用逻辑用语考查应关注：(1)集合的基本运算和充要条件；(2)

集合与简单的不等式、函数的定义域、值域的联系。预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

试题精讲

1.（2024新高考I卷T）已知集合4=口-5<1<5},5={-3,-1,0,2,3},则4nB=（）

A.{一1,0}B.{2,3}C.{-3,-1.0}D.{-1,0,2）

2.（2024新局考n卷・2）已知命题p：VxwR,+命题q：3x>0,x3=x9则（）

A.p和q都是真命题B.〜和q都是真命题

C.p和F7都是真命题D.R和「4都是真命题

近年真题精选

1.（2022新高考I卷T）若集合M={x|q<4},N={x|3x21},则初'cN=（）

A.{x|0<x<2）B.jx|-j<x<C.{x|3Mx<16}D.jx|y<x<161

2.（2023新高考I卷T）已知集合Af={-2,-1,0,L2},2V=|x|x2-x-6>o|,则AfcN=（）

A.{-2,-1,0,1}B,{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.（2022新高考II卷—1）已知集合4={-1,1,2,4},8=卜卜一1|41},则4nB=（）

A.{-1.2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.（2023新高考II卷2）设集合4={0,-。},8={1,。-2,2。-2},若4=8,贝lja=（）.

A.2B.1C.—D.-1

5.（2023新高考I卷7）记S“为数列{4}的前〃项和，设甲：{凡}为等差数列；乙：{1}为等差数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

必备知识速记

一、元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其

他对象.

2、集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.

（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作aeA）和不属于（记作aeA）两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NM或也ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合工、8,如果集合4中任意一个元素都是集合8中的元素，我们就说这

两个集合有包含关系，称集合4为集合5的子集，记作4GB（或52月），读作“Z包含于8”（或“5包

含Z”）■

（2）真子集：对于两个集合4与8，若AqB,且存在但6gN，则集合4是集合5的真子集，记

作4拿8（或5割）.读作“4真包含于5”或"8真包含4

（3）相等：对于两个集合4与8，如果4a5,同时那么集合4与8相等，记作4=5.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合/且属于集合5的元素组成的集合，叫做4与8的交集，记作NcB,即

4c5={x|xe4且xeB].

（2）并集：由所有属于集合Z或属于集合B的元素组成的集合，叫做4与5的并集，记作4^8,即

4u8={x|xe4蝴e8}.

（3）补集：对于一个集合4,由全集。中不属于集合Z的所有元素组成的集合称为集合4相对于全集。

的补集，简称为集合Z的补集，记作Q2,即Q，4={x|xeU,_&x£4}.

四、集合的运算性质

⑴ARA=A>AD0=0>408=804，AnB^B-

（2）AL）A=A，4U0=4，4U8=BlM，AqAuB，BcAuB.

（3）4rl（q/）=0,4U（C/）=。，CU（CUA）=A■

⑷Ar>B=A<^>A\JB-B<^>Ac.Boc（^Ao4c1.3=0

【集合常用结论】

（1）若有限集4中有〃个元素，则/的子集有7个，真子集有2"_1个，非空子集有2"一1个，非空真子集

有2"-2个・

（2）空集是任何集合z的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）AQB0AnB=A0A\jB=B0CVBQCVA-

（4）q（4n3）=（Cd）U（q3）,q（/U3）=（q4）fl{CVB）.

五、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若P，则4”为真(记作png),则p是g的充分条件；同时q是p的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若。=>4且,则p是q的充分不必要条件；

(2)若p弁«且,则p是《的必要不充分条件；

(3)若pnq且q=>p,则p是4的的充要条件(也说p和g等价)；

(4)若且g弁p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

六、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表

示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题”对M中的任意一个X,有p(x)成立''可用符号

简记为“VxeAf,p(x)”,读作”对任意x属于Af,有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

叼”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题，存在M中的一个天,使p(x0)成立"可用

符号简记为“三”€劝,尸(吃)”，读作“存在M中元素玉,使p(x0)成立"(存在量词命题也叫存在性命题).

七、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题的否定r?为玉eAf,-^P(x0).

(2)存在量词命题p：肛)eM,p(x0)的否定“为VxeKnP(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用逻辑用语常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看

设4={x|p(x)},8={x|q(x)}.

(1)若则p是g的充分条件(png),«是p的必要条件；若工室因,则p是q的充分不必要条

件，q是p的必要不充分条件，即且

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=>大

(2)若BqN,则p是q的必要条件，g是p的充分条件;

(3)若A=B,则p与g互为充要条件.

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一、单选题

1.(2024•河南•三模)命题“玉•>032+*-1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-l<0

C.3.r<0,x2+x-l>0D.3x<0,x2+x-l<0

2.(2024•湖南长沙•三模)己知集合”=何忖(2}0="|111丫<1},则A/cN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024•河北衡水•三模)己知集合/={1,2,3,4,5},B=|x|-l<lg(x-l)<|j,则()

A.j.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.1x|^<x<aj

4.(2024•陕西•三模)已知集合4={丫|-1〈丫42}.8={*|-/+3r>0},则4=8=()

A.RB.(0,2]C.[-L0)D.[-13)

5.(2024•安徽•三模)己知集合/={x卜54X41},B={x|x>-2},则图中所示的阴影部分的集合可以表示

B.{.r|-2<x<l)

D.{x|-5<x<-2)

6.(2024・湖南长沙•三模)己知直线+后=0,圆。:/+式=1,则“斤<1”是“直线/上存在点P,

使点P在圆。内”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.(2024•湖北荆州•三模)已知集合4=卜|2.丫-./40},B^A,其中R是实数集，集合C=(-力,1],则

BcC=()

A.(-8,0]B.(0.1]C.(-8,0)D.(0,1)

8.(2024•北京•三模)己知集合Z={x网<1},若。石4,则。可能是()

1

A.-B.1C.2D.3

e

9.(2024•河北衡水•三模)已知函数/(x)=(2'+,〃.2-3sinx,则“〃尸=1”是“函数/(x)是奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

10.（2024•内蒙古・三模）设尸是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且=/贝卜加/〃”是

“7"///且加//a”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

11.（2024•北京•三模）已知/={x|log2（x_l）Vl},5={x||x-3|>2},则/D8=（）

A.空集B.{x|xW3或x>5}

C.{x|xW3或x>5且x*l}D.以上都不对

12.（2024•四川•三模）己知集合/={0,3,5},5={x|x（x-2）=0）,则』-8=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024・重庆•三模）己知集合/=卜€耳/-》一2<0},3=}|了=2，"6/},则/口3=（）

A.（T4）B.［卜］C.g，2）

14.（2024•北京•三模）"AA8C为锐角三角形”是“sin/>cos3,sin5>cosC,sinC>cos/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2024・上海•三模）设集合/={1,。/},集合8=xy+j,x,y,对于集合8有

下列两个结论：①存在。和6,使得集合8中恰有5个元素；②存在。和b,使得集合2中恰有4个元

素.则下列判断正确的是（）

A.①②都正确B.①②都错误C.①错误，②正确D.①正确，②错误

二、多选题

16.（2024-江西南昌•三模）下列结论正确的是（）

A.若{x|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,则a的取值范围是"-3

B.若{小+3>0}c{小-a<O}=0,则0的取值范围是aV-3

C.若{小+3>0}。{布-0<0}=11,则。的取值范围是02-3

D.若{x|x+3>0}u{Hx-a<0}=R,则。的取值范围是a>—3

17.（2024•辽宁•三模）已知max"”/，…,毛}表示再应,…,x“这〃个数中最大的数.能说明命题“V”,6,c,

（ZeR,11^{凡6}+0^{<7,4211^{4也<:,1}"是假命题的对应的一组整数0,b,c,d值的选项有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,—1,—2,—3D.5,3,0,—1

18.（2024•重庆•三模）命题“存在x>0,使得机/+2工_1〉0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.m>-2B.m>-\C.m>0D.m>1

19.（2024•黑龙江齐齐哈尔•三模）已知。力>0,则使得“a>6”成立的一个充分条件可以是（）

A.B.\a-2\>\b-2\C.a2b-ab2>a—bD.ln（a"+1）>Ine?+1）

20.（2024•安徽安庆三模）已知集合/={xeZ*-2x-8<0},集合8={司9工>3"',加eR,xeR},若4cB

有且仅有3个不同元素，则实数加的值可以为（）

A.0B.1C.2D.3

三、填空题

21.（2024・湖南长沙•三模）已知集合/={1,2,4},B={a,a2},若=则。=.

22.（2024・上海•三模）已知集合/={0,1,2},S={x|x3-3x<1},则

23.（2024•湖南衡阳•三模）已知集合4={。,。+1},集合8={xeN|x2-x-240},若A=B,则

Q_.

24.（2024・湖南邵阳•三模）^={xeN|log2（x-3）<2）,S=jx||^|<oj,则/门8=.

25.（2024・安徽•三模）已知集合/={尢2,-1},8=b|y=,若的所有元素之和为12,则实

数人..

26.（2024•山东聊城•三模）已知集合”={1,5,/},3={1,3+2。},且/口3=/,则实数。的值为.

27.（2024•重庆三模）已知集合/={无k2-5x+6=0},2=卜卜1<x<5”N},则满足/［CUB的集合

C的个数为.

28.（2024・天津•三模）己知全集。="^^］》47},集合/={1,2,3,6},集合8={尤eZ］恸<5},则

（。/“台=，A<JB=，

29.（2024•山东泰安•三模）已知集合/=（工三^^0

S={x|log2x>a},若则。的取值范围

是.

30.（2024•宁夏银川•三模）已知命题?：关于x的方程/一办+4=0有实根；命题q：关于x的函数

y=logs（2x2+ax+3）在［3,+⑹上单调递增，若，》或“，，是真命题，，》且《，是假命题，则实数。的取值范围

是

专题01集合与常用逻辑用语

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对集合的考查，重点是集合间的2022•新高考I卷，1

基本运算，主要考查集合的交、并、补2023•新高考I卷,1

交集的运算

运算，常与一元二次不等式解法、一元2024•新高考I卷，1

一次不等式解法、分式不等式解法、指2022•新高考n卷,1

数、对数不等式解法结合.根据集合的包含关系求参数2023•新高考II卷，2

2.高考对常用逻辑用语的考查重点关注充分必要条件的判定2023•新高考I卷，7

如下两点：

(1)集合与充分必要条件相结合问题

的解题方法；

全称、存在量词命题真假的判断2024•新高考n卷，2

(2)全称命题与存在命题的否定和以

全称命题与存在命题为条件，求参数的

范围问题.

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考II卷未考查集合，I卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑用语在新高考II卷中考查

了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住

知识点和数学核心素养是关键！集合和常用逻辑用语考查应关注：(1)集合的基本运算和充要条件；(2)

集合与简单的不等式、函数的定义域、值域的联系。预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

试题精讲

1.(2024新高考I卷1)已知集合/=便一5＜1＜5},8={-3,-1,0,2,3},则4nB=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{T-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为4=卜|-将＜》＜码,8={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈指＜2,

从而4nB={-1,0}.

故选：A.

2.(2024新局考II卷2)已知命题p：VxwR,|x+11>1；命题q：3x>0,x3=x,则()

A.p和q都是真命题B.nP和q都是真命题

C.p和-19都是真命题D.R和「4都是真命题

【答案】B

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于P而言，取尸-1,则有卜+1|=0<1,故P是假命题，R是真命题，

对于,而言，取x=l,贝IJ有％3=F=I=X,故夕是真命题，是假命题，

综上，R和q都是真命题.

故选：B.

近年真题精选

1.(2022新高考I卷T)若集合M={X|V7<4},N={X|3X21},则AfcN=()

A.{x|0<x<2}B.jxkx<2：C.{.r|3<x<16)D.jx||<x<16j

【答案】D

【分析】求出集合M.N后可求McN.

【详解】M={x|0<x<16},^={x|x>|},故四门"=[卜》<16},

故选：D

2.(2023新高考I卷7)已知集合M={-2,-l,0,1.2},7=卜--x-6wo},则AfcN=()

A.{-2-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合”中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N=k|x2-x-620}=(y,-2]33,+e),而“={-2,-1,0,1,2},

所以初'cN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M=0」.2},将-2「L(M,2代入不等式只有-2使不等式成立，所以

McN={-2}.

故选：C.

3.(2022新高考II卷-1)已知集合4={-1,1,2.4},8=卜k-1归1},则/C|8=()

A.{-1.2}B.{L2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合5后可求ZcB.

【详解】［方法一］:直接法

因为5={x|04x42},故4nB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

户-1代入集合5={“X-1|41},可得241,不满足，排除A、D；

x=4代入集合8={耶-1田},可得341,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法：

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

4.(2023新高考II卷2)设集合4={0,-a},B=^a-2.2a-2},若4=5,则。=().

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【分析】根据包含关系分。-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为4=5,则有：

若。一2=0,解得a=2,此时4={0,-2},£={1,0,2},不符合题意：

若2“一2=0,解得〃=1,此时4={0,-1},8={1,-1,0},符合题意；

综上所述：々=1.

故选:B.

5.(2023新高考I卷-7)记S,为数列{。“}的前”项和，设甲：{&}为等差数列；乙：{1}为等差数列，则

()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判

断作答.，

【详解】方法1,甲：｛&｝为等差数列，设其首项为4,公差为“，

,»(«-1),Sn-l,ddS..S"d

贝!]$“=〃％+—-—d,-^n=a+--d=-n+a--,^n---^=-,

2nx22x2w+1n2

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即='电用；(：?》“二〃。二：为常数,设为,，

即")+1："=/,则s.=(+]T.〃(〃+l),有Si=(〃-1)(T〃(〃-1),〃22,

两式相减得：an^na„+1-(n-Y)a„-2tn,即-4,=2f,对〃=1也成立，

因此也“｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛%｝为等差数列，设数列｛d｝的首项％,公差为小即5.=〃4+吗』乙

则'=。1+纥2"=(〃+《一(，因此｛3｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222〃

cccc

反之，乙：｛%｝为等差数列，即--2=DZ=S]+(〃—1)。，

即Sn=〃S]+n(n—T)D,SR=(〃-1)S1+(〃一1)(〃一2)D,

当”22时，上两式相减得：S.-Si=S1+2(〃_l)。，当〃=1时，上式成立，

于是q=4+2(〃-1)。,又。,+1一凡=%+2«0-[%+2(〃-1)切=2。为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

必备知识速记

一、元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其

他对象.

2、集合元素的特征

(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.

(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作a&A）和不属于（记作。eA）两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合4、8,如果集合N中任意一个元素都是集合8中的元素，我们就说这

两个集合有包含关系，称集合N为集合8的子集，记作（或32/），读作”/包含于8”（或“8包

含N”）.

（2）真子集：对于两个集合力与8，若N[8，且存在6e8，但6e/，则集合/是集合8的真子集，记

作/$5（或）.读作“工真包含于8”或“2真包含/

（3）相等：对于两个集合/与8，如果/R8，同时那么集合4与8相等，记作N=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合/且属于集合8的元素组成的集合，叫做/与2的交集，记作ZcB,即

/c8={x|xe/且尤e8}.

（2）并集：由所有属于集合/或属于集合8的元素组成的集合，叫做/与8的并集，记作NuB,即

/U8={xIX€/或X68}.

（3）补集：对于一个集合/,由全集U中不属于集合/的所有元素组成的集合称为集合/相对于全集。

的补集，简称为集合N的补集，记作C。/,即4/=&|苫€。,且工e/}.

四、集合的运算性质

⑴AC\A=A>4n0=0，/n3=8n/，4cB=4,AcB=B.

⑵A\JA=A^/U0=/，A\JB=B\JA^，B=AuB.

（3）/n（Q/）=0，/U（Q/）=。，CU（CUA）=A.

（4）Ar}B=A^>AuB=B<^>AcB^>CvB^CLrA^AnCLr£=0

【集合常用结论】

（1）若有限集/中有〃个元素，则4的子集有2"个，真子集有才-1个，非空子集有2"-1个，非空真子集

有2'-2个・

(2)空集是任何集合力的子集，是任何非空集合5的真子集.

⑶AQBOA(}B=AOA\3B=BOCVBQCVA•

(4)q(Nn3)=(Q⑷u(CVB),q(zU8)=(Cd)n(c®.

五、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若P，则g”为真(记作png),则p是q的充分条件：同时g是p的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若pnq且g弁p,则p是q的充分不必要条件：

(2)若p今g且g=>p,则p是q的必要不充分条件；

(3)若p=q且q=p,则p是q的的充要条件(也说p和q等价)：

(4)若且q弁p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

六、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、"任意一个''在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表

示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对河中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号

简记为“VxeALp(x)”,读作”对任意x属于Af,有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个''在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

叼”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在”中的一个％,使p(x0)成立”可用

符号简记为“次初•，尸(X。)“，读作”存在M中元素%,使以%)成立”(存在量词命题也叫存在性命题).

七、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:Txe",p(x)的否定-ip为玉•(,eAf,-：p(x0).

(2)存在量词命题p:3.r0eMpCq)的否定力为.

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用逻辑用语常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看

设4={x|p(x)},5={x|q(x)}.

(1)若则p是q的充分条件(p=>q),q是p的必要条件；若4室18,则p是g的充分不必要条

件，q是p的必要不充分条件，即且g》p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若则p是q的必要条件，q是p的充分条件:

(3)若4=8,则p与g互为充要条件.

名校模拟探源

集合三模题

一、单选题

1.(2024•河南•三模)命题“去>0户2+》-1>0”的否定是()

A.Vx>Q,x2+x-l>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.3.x<0,x2+x-l>0D.3.r<0,x2+x-l<0

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，

即命题“玉:>0,x?+x-1>0”的否定为“Vx>0,x?+x-140

故选：B.

2.(2024•湖南长沙•三模)己知集合”={Xk区2}川=*|11吠<1},则AfcN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N,根据交集运算求解即可.

【详解】因为M=[—2,2],N=(O,e),

所以MnN=(0,2].

故选：D.

3.(2024•河北衡水•三模)己知集合4={L2,3*4.5},5=|x|-l<lg(x-l)<||,则4|"|8=()

A.j.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.1x|^<x<aj

【答案】B

【分析】求得B=+可求

【详解】B=1x|-l<lg(x-l)<|p|.r|^<x<>/io+lj,

又4={1,2,3,4,5},故4nB={2,3,4},

故选：B.

4.(2024・陕西•三模)已知集合4={乂-14*42},8=卜|-/+3》>0},则4口8=()

A.RB.(0,2]C.[-1,0)D.[-1,3)

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合B,再根据集合并集定义计算即可.

【详解】由-X2+3X＞0,解得0＜X＜3,所以集合5={X[0＜X＜3},

所以4uB={x|—1MX＜3},所以ZuB=[—l,3）.

故选：D.

5.（2024•安徽•三模）已知集合4={V-5VXVl},8={x|x＞-2},则图中所示的阴影部分的集合可以表示

B.{x|-2<x<1}

D.{.r|-5<x<-2}

【答案】C

【分析】图中所示的阴影部分的集合为结合集合的运算即可得解.

【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为

而4="卜5-41},B={x|x>-2},则Q5={X|X4-2},

得c4={x卜54x4-2},

故所求集合为{x卜54XM-2}.

故选：C.

6.（2024•湖南长沙•三模）己知直线/:依-y+&《=0,圆则“斤＜1”是“直线/上存在点P,

使点P在圆。内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由直线与圆相交可求得则通过判断-1＜上＜1与左＜1的关系可得答案.

【详解】由直线/上存在点P,使点P在圆。内，得直线/与圆O相交，即

解得一1〈无＜1,即后e（T,l）,

因为才＜1不一定能得到-1＜上＜1,而-1〈k＜1可推出左＜1,

所以“后＜1”是“直线/上存在点P,使点P在圆。内”的必要不充分条件.

故选：B

7.（2024・湖北荆州•三模）已知集合4={对2'-/<0},B^A,其中R是实数集，集合。=（一*1],则

BcC=（）

A.（-8.0]B.（0.1]C.（-=0,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.

【详解】由ZX-YMO可得awo或xN2,贝!]8=Q/={x[0<x<2},

又C=（y,l],故BcC=（O』.

故选：B.

8.（2024・北京•三模）已知集合4={*小<1},若则。可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解对数不等式化简集合A,进而求出。的取值集合即得.

【详解】由得0<x<e,则4={x[0<x<e},[R4={X|X40或Ne},

由得aeQZ,显然选项ABC不满足，D满足.

故选：D

9.（2024•河北衡水•三模）己知函数/（*）=（2'+"2-工卜111》，则=1”是“函数f（x）是奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【分析】由函数/（X）是奇函数，可求得力=1,可得结论.

【详解】若函数/（X）是奇函数，

则“X）+/（-x）=（2、7”•2-x、inx-（2"+加•2工x=（1-⑼（2、-2-*）sinx=0恒成立，即汨=1,

而"『=1,得m=±1.

故“m2=1”是“函数〃x）是奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

10.（2024•内蒙古•三模）设a,夕是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且an〃=/则“加/〃”是

“洲//月且?”〃a”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求

【详解】当时，冽可能在a内或者/内，故不能推出小〃户且加〃a,所以充分性不成立：

当加〃尸且〃〃/a时，设存在直线〃ua,"乞)，且〃〃"I,

因为所以力〃)，根据直线与平面平行的性质定理，可知〃〃/,

所以〃”〃，即必要性成立，故“阳〃/”是“加〃夕且〃"/c”的必要不充分条件.

故选：C.

11.(2024•北京•三模)已知4={x|log2(x-l)Ml},5={x||x-3|>2),则/CIB=()

A.空集B.卜卜43或x>5}

C.{x|xv3或x>5且xwl}D.以上都不对

【答案】A

【分析】先求出集合48,再由交集的定义求解即可.

【详解】A=卜卜呜(.Y-1)<log,2}={x|0<x-142}={x|l<x<3},

5={#-3>2或工-3〈-2}={小<1或%>5},

所以ZcB=0.

故选:A

12.(2024•四川•三模)己知集合4={0,3,5},5=卜卜。-2)=。},则4nB=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】将集合B化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.

【详解】由题意5={小(丫-2)=0}={0,2},所以/nB={0,3,5}n{0,2}={0}.

故选：B.

13.(2024・重庆•三模)已知集合4=1€郎2-*-2<0},5={>0=2，”月},则4nB=()

A.(T4)B.C,朋D.(；,2)

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根据指数函数单调性求解值域得集合B,然后利用交集运算求解

即可.

【详解】^-{.reR|x2-x-2<0}={xeR|(x-2)(x+l)<0}-{xeR|-l<x<2}=(-l,2),

则8={y|y=2、,xe(T,2)}

所以4n2）.

故选：D

14.（2024・北京•三模）”"3C为锐角三角形”是"sin4>cosB,sin5>cosC,sinC>cos4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】充分性：

因为“3C为锐角三角形，

所以4+8>乌，即¥>4>4-8>0,

222

所以sin4>sin]"1-B]=cosB,

同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,

故充分性得证；

必要性：

因为sin4>cosB,所以sin/>sin[^-s],

因为0cB<兀，所以<力

222

若则

22

若4嗓则」>>，所以

综上，4+5>；,

同理•B+C>',4+C>“,

22

所以“BC为锐角三角形，

必要性得证，

综上所述，为充分必要条件.

故选：C.

15.（2024・上海・三模）设<6,集合4={1,。8},集合8={«=町，+5,x,yc4xW，，对于集合5有

下列两个结论：①存在。和人使得集合8中恰有5个元素；②存在。和人使得集合8中恰有4个元

素.则下列判断正确的是（）

A.①②都正确B.①②都错误C.①错误，②正确D.①正确，②错误

【答案】A

【分析】由题意可知2。<264+工<.b-\—<ab4—<abH—,对于①举例分析判断即可，对于②，若

abba

L,1

2a=b+一

b，贝帅+)=2掂，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理可确定出小，从而可进行判断.

2b=abSb

b

【详解】当x=l,y=a时，t=x)^—=a+a=2a

x9

v

当x=Ly=b时，t=xy+-=b-\-b=2b,

当x=a,y=l时,

当x=dy=6时，t=xy+—=ab+—,

"xa

y1

当x=bj=l时，Z=xv+-=Z>+-,

xb

ya

当x=b,y=4时，t=xy+—=ab+—,

"xb

因为1<4vb,所以2i<2/\4+1<力+,<46+@vib+2,

abba

当a=),b=6时，2a=3,2b=2y/3,a+—=—+—=—,/>+—=VJ+-j==,

2<7236b*733

ab+一舟衿为