2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷3（新高考专用）解析版

2025年高考数学一轮复习讲义之模拟检测卷03（新高考专用）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（2024•广东•二模）已知集合4={加11（尤一1）20},集合3={#2-3尤<0},则4"=（）

A.（0,2]B.[2,3）C.（0,+e）D.

2.（2024•浙江温州•一模）设复数z对应的点在第四象限，则复数对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2023•全国•高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作

文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

5211

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023•北京东城・二模）已知点在圆。:X2+、2=机上，过〃作圆。的切线/,则/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.（22-23高一下•河南洛阳•阶段练习）已知私〃表示两条直线，。，氏7表示平面，下列命题中正确的有（）

①若cp|7=八尸Pl7="，且加//〃，则。//月；

②若佻〃相交且都在平面。，方外，mlla.mlIp.nlla.nlIp,则a//力；

③若根//。,根//月,则。//£；

④若机///〃//月,且小〃"，则。//.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.（23-24高一上•辽宁大连•期末）已知％,y为正实数，且无+y=l,贝、一+6y+3的最小值为（）

孙

A.24B.25C.6+472D.6近-3

7.（2024•浙江宁波•二模）已知数歹（]{%}满足?=加2-〃，对任意题w{l,2,3}都有4用，且对任意

都有为<4+1，则实数几的取值范围是（）

-11

A，[五加B-启4uIMD-K

8.（2021•全国•模拟预测）已知向量&,5满足忖+方|=3,小5=0,若（:=/1%+（1-2成（4€1t）,且一£=/石，

则同的最大值为（）

13

A.3B.2C.-D.-

22

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.（2024・重庆•二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，

强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核

心要素：国民收入y,国民消费c和国民投资/,假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：

=a+°y.其中常数。。表示房租、水电等固定消费，。（④1）为国民"边际消费倾向”.则（）

A.若固定/且/..0,则国民收入越高，"边际消费倾向“越大

B.若固定y且匕.0,则"边际消费倾向"越大，国民投资越高

C.若。=］，则收入增长量是投资增长量的5倍

D.若。==4，则收入增长量是投资增长量的玄1

10.（24-25高三上•江苏•开学考试）关于函数/（x）=sin（2x+］）+cos（2无+今，其中正确命题是（）

66

A.y=/（x）是以兀为最小正周期的周期函数

B.y=/（x）的最大值为&

C.将函数yn应cosZx的图象向左平移点个单位后，将与已知函数的图象重合

D.y=/a）在区间（9TT,子137r）上单调递减

2424

11.（23-24高二下•四川绵阳•期中）等比数列｛4｝的公比为式q<0）,且。,MS成等差数列，则下列说法正

确的是（）

A.q=—2B.右*q=1,贝!Ja2a8=256

C.若52=-1,则$4=-4D.善言=-2

%一事

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）

12.（2023•天津北辰•三模）直线/经过点以2,-3）,与圆（7:炉+/+2尤+2>-14=0相交截得的弦长为2巾，

则直线/的方程为.

13.（2024•广东江苏•高考真题）若曲线y=e'+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+l）+a的切线，则

14.（2024•江苏南通•二模）若正四棱锥的棱长均为2,则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为

该十面体的外接球的表面积为.

2

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（13分）（2024•安徽•模拟预测）如图，在平面四边形ABC。中，AB^AD=4,BC=6.

⑴若A=g,C=-1,求sin/皮）C的值；

（2）若CD=2,cosA=3cosC,求四边形ABC。的面积.

16.（15分）（2024•河南三门峡•模拟预测）2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.

为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛

⑴初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王

在初赛中答对的题目个数为X,求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

（2）M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已

进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360

元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为且每次是否中奖相互独

立.

（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为7（。），求的极大值；

（ii）M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，

试求此时P的取值范围.

17.（15分）（2024•江苏•模拟预测）已知椭圆C：T+多=1（。＞匕＞0）的离心率为不4民。分别为椭圆C的

ab2

左，右顶点和坐标原点，点P为椭圆C上异于42的一动点，面积的最大值为2月.

⑴求C的方程；

⑵过椭圆C的右焦点厂的直线/与C交于两点，记AODE的面积为S,过线段DE的中点G作直线x=4

的垂线，垂足为N,设直线DN,EN的斜率分别为左,％.

①求S的取值范围；

S

②求证：仅不为定值,

18.（17分）（23-24高三上•辽宁沈阳•期末）如图，在平行六面体-中，AB=AD=AAX=1,

3

_____.1

ZDAB=90°cos<>=--,cos<AAi,AD>=~,点M为3D中点.

2

(1)证明：用M〃平面AG。；

(2)求二面角的正弦值.

19.(17分)(2024•山东•一模)已知函数/(x)=lnx+gq(无一1)2.

⑴当。=-g时，求函数f(x)的单调区间；

3

(2)若函数g(x)=/(x)-2x+l有两个极值点引,々，且8(玉)+8(尤2)2-1-「，求a的取值范围.

参考答案:

题号12345678910

答案cBADABCDACABD

题号11

答案AB

1.C

【分析】先求出集合A3,由并集的定义求解即可.

【详解】由ln(x-l)20可得：x>2,所以A=[2,+e),

由Y-3X<0可得：0<x<3,所以3=(0,3),

所以AU3=(0,+8).

故选：C.

2.B

【分析】由i的周期性化简(1+牙°°,计算后判断所求复数对应点的象限.

【详解】

由复数z-a+if0对应的点在第四象限，

则设z=a+bi(a>0,Z?<0),

10025050505050250

由(1+i)=[(l+i)]=(2i)=2i=2i=-2

4

得z-(l+if°=—25°(。+万)=—25%—25°历，

由-25%<0,-25°6>0,

得复数z-(l+if°对应的点在第二象限.

故选：B.

3.A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用工，2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

123456

甲

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(L6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(LD,(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P=930=95

366

故选：A

4.D

【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】圆心为(0,0),所以自„=石，所以过M的切线/的斜率为-5=-日,

设倾斜角为。，贝han。=-且，

3

由于，e[0,7i),故6=—,

6

故选：D

5

5.A

【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.

【详解】对于①，^a［\7=m,p^Y=n,且加〃〃，则。〃口或相交，故①错误；

对于③和④，。与夕也可能相交，均错误；

对于②，设加，“相交确定平面/，根据线面平行的判定定理知a〃/，4〃7,根据平行平面的传递性得知

a11P.

故选：A.

6.B

【分析】把x一+6v2—+3变为9一+4一,然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.

孙^y

【详解】因为X,y为正实数，且x+y=l,所以x+”+3=x+6y+3(x+y)=9±2z=2+«

xyxyxyy

(94Yx1,9y_[9y__4x__

=—I—(x+y)=13H------1>13+2/—x—=25,

1%1y\Xy

9y_4x3

当且仅当〈工一7即<:时，等号成立，所以x+6y+3的最小值为25.

2xy

尤+y=1

5

故选：B

7.C

【分析】由题意可得数列｛%｝在［L3］上是递减数列，数列｛%｝在［7,+功上是递增数列，再根据二次函数的

单调性即可得解.

【详解】因为对任意｛1,2,3｝都有an>an+i,

所以数列｛%｝在［L3］上是递减数列，

因为对任意〃€N7,〃eN｝都有“"<a„+1,

所以数列｛%｝在［7,+e)上是递增数列，

|21>0

一

明以711

|22>—，解得

乙1D/

I-L

15

I22<——

2

所以实数2的取值范围是

6

故选：c.

8.D

【分析】令Z=W，b=MB=AN,根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到衣，丽，然后数

形结合求同的最大值.

【详解】如图:令3=b=MB=AN,则Z+B=丽+施=近，故网=3.

因为&0=0,所以说,府，记A3的中点为。，所以点M在以A3为直径的圆。上.

设"=/，连接MN,因为1=%+（1-痴，所以点C在直线MV上.

因为=所以"•（£一方）=0,即而.收=0，所以就_1.说.

结合图形可知，当标，通时，|就|即同取得最大值，J.|?L=|AO|=|.

故选：D

【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何

中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的

解集、方程有解等问题.

9.AC

【分析】利用已知可得。=1-色可判断A；由/=丫-八。-。。，可判断B；若可得¥=54+5/，

由导数的意义可判断C；同理可判断D.

\Y=C+I

【详解】由题意可得固定/且/20,又「V，所以¥=%+〃+/,

[C=a0+ai

所以。=1-4」，由于％，/为定值，所以可得y增大时（国民收入越高），

。增大（"边际消费倾向"越大），故A正确；

由上可得/=y-y•。-4,4,卜为定值，故。增大，/减小（投资越小），故B错误；

7

4

若〃=W，由丫=%+。丫+/,可得y=5%+5/,

由导数的定义可得鼻Ay=5,所以可得收入增长量是投资增长量的5倍，故C正确；

A/

45

同C项讨论可得若。=-w，可得9y=5%+5/,因此收入增长量是投资增长量的1倍，故D错误.

故选：AC.

10.ABD

【分析】先化简函数/(x)=V^sin(2x+总，接着即可由函数性质直接得出函数的最小正周期和最值，进而可

判断AB；对于C,由平移变换知识求得y=0cos2x变换之后的解析式为y=后sin(2x+*)即可判断；对

于D,由xe吟，野得2》+浮吟呼)，进而结合正弦函数性质即可判断.

【详解1由题得/(尤)=sin(2x+—)+cos(2x+-)=拒]^^sin(2x+—)+~^cos(2x+—)

=sin(2x+£+：)=夜sin(2x+,

2兀

对于A,函数最小正周期为丁=71,故A正确；

对于B,函数最大值为&,故B正确；

对于C,将函数y=0cos2x的图象向左平移2个单位可得到函数解析式为

y=^2cos2Jx+g]=V2cos(2x+—)=V2sin(2x+—+—)=A/2sin(2x+—),

124J1212212

所以该函数图象不会与已知函数的图象重合，故c错误；

对于D,当xe(去詈)，2x+||e(p^),因为正弦函数y=sinx在区间伶,当)上单调递减，

TV13冗

所以函数y=/(x)在区间(三,年)上单调递减，故D正确.

2424

故选：ABD.

11.AB

【分析】根据等比数列的%，%，%成等差数列，求出q的值，再根据等比数列的性质逐项判断即可.

【详解】因为双，%，%成等差数列，

2

所以2a3=a4+a5,即2a3=a3q+a3q,

又因为名片°，所以2=q+q2,解得q=l或q=-2,

而q<0,所以〃=-2,故A正确；

对于B,因为q=1,所以/。8=尺=回4")2=28=256,故B正确；

8

对于C,因为邑=一1,所以$2=q+出=-1，

所以=%+4+。3+。4=(1+/)S2=—5,故C错误;

〃7+。8+"93o

对于D,=q=­y,故D错误.

〃4+。5+a6

故选：AB.

12.5元-12y-46=0或x=2

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存

在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.

【详解】圆C:V+_/+2x+2y-14=0,即(x+l[+(y+l『=16,圆心为半径牛=4,

因为直线与圆相交截得的弦长为2近,

所以圆心到直线的距离d=肉”）2=3，

若直线的斜率不存在，此时直线方程为x=2,满足圆心到直线x=2的距离为3,符合题意;

若直线的斜率存在，设斜率为左，则直线方程为y+3=Mx-2）,即依-、-2左-3=0,

，解得无=［，所以直线方程为＞+3=［（x-2）,即5x-1246=0,

则

综上可得直线方程为5x-12y-46=0或尤=2.

故答案为：5%-12丁一46=°或%=2

13.In2

【分析】先求出曲线y=e，+x在（0,1）的切线方程，再设曲线y=ln（x+l）+。的切点为（飞,山（飞+1）+4）,求

出了',利用公切线斜率相等求出％,表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

【详解】由y=1+尤得y'=e*+l,yix=0=e°+l=2,

故曲线y=在（0,1）处的切线方程为y=2x+l；

由y=ln（x+l）+〃得y=---,

x+1

设切线与曲线）=ln（x+l）+a相切的切点为（%0，山（%（）+1）+々），

由两曲线有公切线得丫'=二=2,解得/=-:，则切点为

玉）十工2I22

切线方程为y=2fx+—j+d!+ln—=2x+l+d!—In2,

9

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

14.4兀

66

【分析】根据给定条件，利用割补法，结合锥体体积公式计算体积；建立空间直角坐标系，求出外接球半

径即可求出表面积.

【详解】正四棱锥P-A3CD的所有棱长为2,点4',",(7,。,£尸,”,双是所在棱的中点，如图，

^PB2+PD2=8=BD2,即有P3_LPD,则正四棱锥尸—ABCD的高为夜，

xx

于是％ABCD=—x4x^2=4④,%A'B'CD'=­l-^-=，

r—/VDClJcc>r—t\L>cC(

j332。

句"?。了到平面4IW的距离d考以“gX**,

所以所求十面体的体积为V=Vp_ABC0一吟.ABCD一4vA-AMN=^^一¥一4*£=^^；

Jo12o

^-AC[}BD=O,以直线0A02,0P分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(>/2,0,0),P(0,0,应),2(0,72,0),0(0，-0,0),则A吟,0,1),B'(0,与冬,

M也，显，0),N成，一旦，0),设外接球球心O'(x,y,z),半径R,

z22

(X+-R

\

正

0

x-

O'A'=R2尸222

++-R0

y-

(Z-立

O'B'=R解0

则因此＜(Z交-z-

O'M=R'z222-

!Xyz-R

\一2R2

O'N=R

&2

)+22

!zXy+ZR

\2-)2+-

所以十面体的外接球的表面积为S=47t.

10

故答案为：述；4兀

6

【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是

关键.

3

15.⑴了

4

⑵160+8方

【分析】(1)中求出8D,在△■BCD中，由正弦定理求出sin/BDC的值;

(2)和△BCD中，由余弦定理求出cosA和cosC,得sinA和sinC,进而可求四边形ABC。的面积.

冗

【详解】(1)在中，AB=AD=4,A=石,贝(JNAD8=—,

6

BD=2A£)cosZADB=2x4xcos^=4G,

6

BCBD

在△及»中，由正弦定理得

sinZBDCsinC

6sin—

BCsinC3.

sinZBDC=____3

BD464

(2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得

B£>2=AB2+A£>2-2AB-ADCOSA=42+42-2X4X4XCOSA=32-32COSA,

B£>2=CB2+CD2-2CBCDCOSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

得4cosA-3cosc=-l,又cosA=3cosC,得cosA=-2,cosC=-,，

则sinA=逑，sinC=逋，

39

四边形ABC。的面积5=山加+%cL；ABSDsinA+：CHC»sinC

「x4x4x逑+、6x2x越J6忘+8/

23293

44

16.(1)E(X)=-,-

⑵⑴晨4°°「日13、

【分析】(1)6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可.

(2)由/(p)=3p3-6p2+3p[o<p<,),运用导数研究其极大值即可.

(3)分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望E(F),解不等式9E(y"1120即可.

11

【详解】(1)由题意知，X的可能取值为。,1,2,

0002i

则尸(x=o)=『E

p(x=i)=管］，

C2co2

尸(X=2)=*|,

故X的分布列为

X012

182

p

1515?

1QOA

贝ljE(X)=Ox—+lx—+2x—=—

v7151553

记事件A：小王己经答对一题，事件B：小王未进入决赛,

,,、n(AB)C'C*4x2_4

则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率P(川4)=^7^="二2~W~1'

〃(AJC4c2+。4

(2)(i)由题意知，/(p)=C；p(l-p)2=3/-6/?+3。［。<,

则八p)=3(3p—l)(p-l),

令/'(P)=O,解得或P=1(舍)，

当pe,,£|时，f\p)>0,当寸，尸(0<0,

所以在区间［o,m内单调递增,在区间内单调递减,

所以当〃寸，“P)有极大值，且“P)的极大值为，j

(口)由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量y,

则y的可能取值为60,120,180,360,

尸(丫=60)=(1-03,

p(y=i20)=c；p(i-p)2,

2

F(y=18O)=C^(l-Jp),

P(Y=360)=p3,

所以颐y)=60(1-p)3+120C；p(l-p)2+180C；p2(1-p)+360p3=60(2p3+3p+1),

12

所以9E（y）21120,

BP540(/2^3+3/7+1\)>1120,整理得2/+30一2^91M,

经观察可知P=］i是方程2P，+3p—噂79=0的根，

故小3p一||=2"f/W："+|p+D

因为2P2+9/+亍9Q>0恒成立，

2911

所以由2/+3p—为20可得p—：之0,解得得

又0<p<3=,所以P的取值范「围13为、.

4|_34J

17.⑴工+匚1

43

3-

-;②证明见解析

,炉2

【分析】（1）根据离心率以及△上4B面积的最大值，构造方程解方程可得C的方程为土+二=1;

43

（2）①联立椭圆与直线方程得出△”>£的面积S的表达式，利用对勾函数单调性即可求得S的取值范围为

H］；

②利用中点坐标公式求得G［藐占，91N［4,肃］），得出斜率表达式即可得

生一网|」'3%"?'可得标闪=5为定值•

“2=从+才

C1

【详解】（1）由题意知一=7

a2

—x2ab=

12

22

所以。的方程为土+匕=1；

43

（2）①易知尸（1,0）,

设直线OE方程为％=阳+1,。（石,乂）,石（%2，%），6（%0，%）,如下图所示:

13

所以△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+l)>0,

6m9

且%+%=一——9-----，X%=------9-----

3m2+4123m2+4

2

可得S=S0=g1.|%—y2kg，(％+%>-4丫通=1-6Jm+1

3m2+4

令d病+l=t,tNl，

S_-6t-61

可得一3r+1一3'+1,由对勾函数性质可得y=3，+i在,21时单调递增;

3

S=-<---^=

所以可得2-12

JlH—3+-

1

即S的取值范围为（o，T

-3m214

②易知％--7---^]=--5---

23m+43m2+43m2+4

—r,口，4-3m、-3m

可侍G[3/+4'3加+4)

3m2+4

3m3m

X-I------5-----%+3»?+4]|%+3ff?+4%2-----5-----

所以|匕-勾=“3疗+43疗+4

再一4x2-4myx-3my,-3

-3Hg-3)卜+工]

（冲1-3）（租%-3）

lj^4+31%r)3m2

+3(%-%)

3m2+4

二%%-3租(％+%)+9-9m218m2八

5——+5——+9

3m2+43m2+4

回一%|_2s

33

14

S3

因此为定值.

18.⑴证明见详解

⑵逅

3

【分析】⑴依次证得四边形网DQ与四边形与NDW是平行四边形，得到甲W//N，再利用线面平行的

判定定理即可得证;

（2）依题意建立空间直角坐标系，利用待定系数法求得点A的坐标，进而求得平面历见与平面明。的法

向量，再利用空间向量法即可得解.

【详解】（1）连结42，交AG于点N,连结。N,

在平行六面体ABC。-A4GR中，DD\UBB.DD\=BB\,N是BQ的中点,

所以四边形88QD是平行四边形，又点M为3D中点，

则B.N=M。且B、NHMD,

所以四边形耳NDM是平行四边形，从而4M//M）,

因为81Mtz平面4G。，DNuAQD,所以qM//平面AG。.

（2）以A为原点建立如图所示的坐标系，

则4(0,0,0),8(1,0,0),£>(0,l,0),C(l,l,0),设点。为(x,y,z),其中z>0,

则瓯=(无,y,z),通=(1,0,0),砺=(0,1,0),

因为A4=l,cos<A4,AB>=—,cos<醺■，而>=；,

22

肥

222x=----

|M|=ix+y+z=12

X^2y1

所以•▼="，即w=T'解得.y二一

网•网22

y_11

A\AD1z=一

ixi-22

同|同2

15