2025年高考数学一轮复习讲义：指数与指数函数（原卷版）

专题10指数与指数函数（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】指数累的运算......................................................4

【考点2】指数函数的图象及应用..............................................5

【考点3】指数函数的性质及应用...............................................7

【分层检测】................................................................9

【基础篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................11

【培优篇】.................................................................12

考试要求：

1.理解有理数指数嘉的含义，了解实数指数嘉的意义，掌握指数嘉的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.

知识梳理

1.根式的概念及性质

n

⑴概念：式子、打叫做根式,这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

⑵①负数没有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,记作诉=。.

n

③(g)"=W(〃GN*,且〃>1).

④为大于1的奇数）.

n._[a,

⑤而=|a|=《八（〃为大于1的偶数）.

—g,〃<0

2.分数指数幕

m打।----

规定：正数的正分数指数累的意义是"=应（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正数的负分数指数

m1

易的意义是相:=’~（。>0,m,〃GN*,且〃>1）；0的正分数指数易等于0；0的负分数指数累

没有意义.

3.指数幕的运算性质

实数指数累的运算性质：aras=ar+s-,（陵）$=贮；（abY=a'br,其中a>0,b>0,r,s@R.

4.指数函数及其性质

⑴概念：函数y=〃（a>0,且aWl）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

（2）指数函数的图象与性质

a>\0<a<l

二】

图象

二

i左

定义域R

值域(0,+8)

过定点（0,1）,即x=0时，y=l

性质

当x>0时，y>l；当x<0时，y>l；

2

当x<0时，0<y<l当x>0时，0<y<l

在（一8,+8）上是增函数在（一8,+8）上是减函数

丁=〃与的图象关于y轴对称

常用结论

1.画指数函数y=〃（a>0,且aWl）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,f-1,\

2.指数函数丁=炉3>0,且。#1）的图象和性质跟。的取值有关，要特别注意应分。>1与0<a<l

来研究.

3.在第一象限内，指数函数丁=〃3>0,且aWl）的图象越高，底数越大.

*真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）设函数〃%）=2+甸在区间（0,1）上单调递减，则a的取值范围是（）

A.(-00,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

已知,叱为是偶函数’则）

2.（2023•全国•高考真题）

A.-2B.-1C.1D.2

已知函数/（））记。=/座、

3.（2023,全国考真题）■x=e-g2.2J,b=I2J，贝IJ()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（2022•全国•|Wj考真题）已知9加=10,〃=10加一ll,b=8”一9,贝！J)

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

5.（2022•全国•高考真题）设Q=0.1e°i/c=—ln0.9,则(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.（2021•全国•高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

।.।4

A.=x2+2x+4B.

C.y=2"+22TD.y=lnx+—

Inx

7.（2023•北京•高考真题）下列函数中，在区间（0,y）上单调递增的是()

3

A./（尤）=-lnxB.y（x）=：

c./（%）=--D./（X）=3M

尤

8.（2023•天津•高考真题）设。=1.01。5,6=1。1。6,。=0.6°5,则a,6,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

.考点突破

【考点1】指数幕的运算

一、单选题

1.（2022•重庆九龙坡•模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传

播.受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离

L=｛（R+%y-R2+&R+生）_笛=8%+h；+个2瓯+片（如图），其中4为雷达天线架设高度，区为

探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km,故R远大于九，%.假

设某探测目标高度为25m,为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载

预警机的巡航高度至少约为（）

（参考数据：,2x8.49合4.12）

雷达直视距离

A.6400mB.8100mC.9100mD.10000m

2.（2024•广东深圳•一模）已知函数是定义域为R的偶函数,在区间（0,+“）上单调递增，且对任意为,三,

均有〃平成立，则下列函数中符合条件的是（）

A.'=1巾B.y=x3C.y=2忖D.J=|x|

二、多选题

3.（2023•云南曲靖•模拟预测）若实数MV满足2,+2>J1，则（）

4

A.xvO且yv-lB.x+y的最大值为-3

y-1

c.的最小值为7D.”<2

4.（22-23高一上•江苏苏州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若％,且％+y>4,则x,y至少有一个大于2

B.VxeR,正=x

C.若2Vbe4,贝！］一2<%一/?<4

D.dx2+3+j2+3的最小值为2

三、填空题

3

5.（2023•黑龙江齐齐哈尔•一模）请写出满足方程3,-：=log5y的一组实数对（尤,y）：

______O3

6.（2023•湖北武汉•模拟预测）已知实数。，6满足4"+2a=3,log2^3^71+&=-,贝此+：6=

反思提升：

（1）指数露的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幕相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【考点2】指数函数的图象及应用

一、单选题

3无+3r

1.（23-24高三下•山东济南•开学考试）函数=的图象大致为（）

5

2.（23-24高一上•湖北•阶段练习）函数y=log.无+4+2（4>0且中1）的图象恒过定点小力），若

On+rn

m+n=b-k,n>0,则-----的最小值为（）

mn

95

A.9B.8C.—D.一

22

二、多选题

3.（20-21高一上•山东济南•期中）下列四个结论中，正确的结论为（）

A.函数〃x）=x与函数g（x）=jm相等

B.若函数f（x）=优-。（。>0且的图象没有经过第二象限，贝必>1

C.当x«l,2）时，关于x的不等式尤2+〃优+4<0恒成立，则实数m的取值范围为旭<-5

D.若函数的最大值为最小值为机，则M+租=2

2

4.（2024•山东临沂一模）已知函数〃x）=k：+a（aeR）,则（）

2—1

A.的定义域为（f,0）U（0,"）

B.〃尤）的值域为R

C.当a=l时，〃尤）为奇函数

D.当a=2时，/（-x）+/（x）=2

三、填空题

5.（2024・云南曲靖•一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点AB,C分别在函数

|的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2,则D点的

11

6.（2023・上海浦东新•模拟预测）设〃x）=x；2x-a+2.若函数y=〃力的定义域为（—,I）U（LE），则关

于x的不等式a-的解集为

反思提升：

6

L对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、

对称变换得到.特别地，当底数。与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【考点3】指数函数的性质及应用

一、单选题

L（2024•黑龙江哈尔滨•一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规

定：100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某

驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：

lg3«0.48,lg7^0.85）

A.1B.2C.3D.4

222024•湖北武汉•模拟预测）如果a<x<6,记国为区间（哂内的所有整数.例如，如果2Vx<3.5,则［x］=3；

如果1.2<x<3.5,则国=2或3；如果2.3<x<2.7,贝打可不存在.已知丁=1+5+A+…+1

，则［r=

婀

()

A.36B.35C.34D.33

二、多选题

3.（2024・湖南•模拟预测）己知函数"力是定义域为R的偶函数，g（x）是定义域为R的奇函数，且

〃x）+g（x）=2e［函数*耳=/（2耳-2〃矿（同在［0,+8）上的最小值为_11,则下列结论正确的是（）

A./（力=6'+/B.g（x）在实数集R单调递减

C.m=3D.根=—3.3或—

4

।>1

4.（2021•辽宁葫芦岛•二模）设函数〃司=r王手，则下列选项正确的是（）

A./（力为奇函数

B.“X）的图象关于点（0,1）对称

C./（X）的最小值为e+1

则1-』<左<1+^，且左片1

D.若=上有两个不等实根,

“尤)Tee

三、填空题

5.（2022•上海普陀•一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中,

7

站内空气中的含药量y（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，y与x满足

关系y=9"r（b常数，X»g）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到g毫克以下时，乘客方可进站，则

地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

6.（2021・上海松江•一模）从以下七个函数：>=羽>=',>=元2,'=2",'=108，%>=$也尤,、=8$》中选取两

X

个函数记为了（X）和8（尤），构成函数/（尤）=/（x）+g（x）,若尸（x）的图像如图所示，则尸（x）=___.

1.比较指数式的大小的方法是：（1）能化成同底数的先化成同底数幕，再利用单调性比较大小；

（2）不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉

及值域、单调区间、最值等问题时，都栗借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数。与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

.分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）在等差数列也,｝中，已知生与佝是方程2/-%+〃?=0的两根，则

人当儿等C.乎

8

2.(2。24・全国•模拟预测)已知小)=二丁；广，是定义在R上的偶函数，则…二()

A.-4B.0C.2D.4

3.(2024・天津•二模)已知函数y=/(x)的部分图象如图所示，则〃x)的解析式可能为().

X

A.“止*B・小)=|三D./(%)=

4.(2。23・贵州毕节・模拟预测)已知函数八")=£,则对任意非零实数x,有()

A./(-x)-/(x)=OB.

C./(-x)+/(x)=lD./(-%)+/(%)=-!

二、多选题

5.(2023・全国•模拟预测)对函数〃尤)，g(x)公共定义域内的任意无，若存在常数MeR,使得

，(x)-g(x)归”恒成立，则称和g⑺是"―伴侣函数，则下列说法正确的是()

A.存在常数"eR,使得〃x)=log2(5x)与g(x)=log］是伴侣函数

B.存在常数MeR,使得〃尤)=3可与g(x)=3i是加―伴侣函数

C.，(尤)=lnx与g(x)=x+2是1一伴侣函数

D.若/㈣=g(x),则存在常数MeR,使得与g(尤)是"-伴侣函数

6.(2023•广东广州•模拟预测)下歹［J是。>b>c(a,b,g0)的必要条件的是()

A.aobcB.(ac)2>0c)~

C.T~c>T~bD.7"b>代c

7.(2022•全国•模拟预测)在下列四个图形中，二次函数”苏+法与指数函数y=的图象可能是(

9

三、填空题

8.(2021•山东荷泽•二模)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数

①当占尤2»。时，/(x1+x2)=/(%1)/(x2)；②“X)为偶函数

9.(23-24高一上•江苏宿迁•期末)若命题"he；,+8,2*-加＜0"是假命题，则加的取值范围为.

10.(2024•宁夏银川一模)已知定义在R上的偶函数满足〃X)=/(2T),当xe[0,l]时，f(x)=2x.

函数g(x)=(T＜尤＜3),则/(%)与g(尤)的图象所有交点的横坐标之和为.

四、解答题

11.(2021•四川遂宁•模拟预测)已知函数＞=/(%)定义在H上有/(r)=-/(%)恒成立，且当时，

/W=-(1r+(|r.

(1)求〃-1)的值及函数/(X)的解析式；

(2)求函数/(x)的值域.

12.(21-22高一上•陕西铜川•期末)已知函数〃元)=(片-3°+3”，是指数函数.

⑴求/(X)的解析式;

(2)若log.(l-x)＞log.(x+2),求尤的取值范围.

【能力篇】

一、单选题

1.(2024•宁夏石嘴山三模)定义在R上的偶函数满足〃l+x)=/(l-x),且当xe[0,l]时,〃x)=e，-l,

10

若关于X的方程〃x)=M(x+l)(加>0)恰有5个实数解，则实数机的取值范围为()

二、多选题

2.(22-23高三上•江苏南通•开学考试)若实数x,>满足2工+2川=1,m=x+y,〃=+gj，贝卜)

A.尤<0且y<TB.机的最小值为一3

C.〃的最小值为7D.n-2m<2

三、填空题