2025年高考数学一轮复习讲义：指数与指数函数（解析版）

专题10指数与指数函数（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................8

【考点1】指数累的运算......................................................8

【考点2］指数函数的图象及应用..............................................12

【考点3】指数函数的性质及应用..............................................17

【分层检测】...............................................................22

【基础篇】.................................................................22

【能力篇】.................................................................29

【培优篇】.................................................................33

考试要求：

1.理解有理数指数嘉的含义，了解实数指数嘉的意义，掌握指数嘉的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.

3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.

知识梳理

1.根式的概念及性质

n

⑴概念：式子、打叫做根式,这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

⑵①负数没有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,记作诉=。.

n

③(g)"=W(〃GN*,且〃>1).

④为大于1的奇数）.

n._[a,

⑤而=|a|=《八（〃为大于1的偶数）.

—g,〃<0

2.分数指数幕

m打।----

规定：正数的正分数指数累的意义是"=应（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正数的负分数指数

m1

易的意义是相:=’~（。>0,m,〃GN*,且〃>1）；0的正分数指数易等于0；0的负分数指数累

没有意义.

3.指数幕的运算性质

实数指数累的运算性质：aras=ar+s-,（陵）$=贮；（abY=a'br,其中a>0,b>0,r,s@R.

4.指数函数及其性质

⑴概念：函数y=〃（a>0,且aWl）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

（2）指数函数的图象与性质

a>\0<a<l

二】

图象

二

i左

定义域R

值域(0,+8)

过定点（0,1）,即x=0时，y=l

性质

当x>0时，y>l；当x<0时，y>l；

2

当x<0时，0<y<l当x>0时，0<y<l

在（一8,+8）上是增函数在（一8,+8）上是减函数

丁=〃与的图象关于y轴对称

I常用结论

1.画指数函数y=〃（a>0,且aWl）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,[-1,5）.

2.指数函数丁=或0>0,且aWl）的图象和性质跟。的取值有关，要特别注意应分与0<a<l

来研究.

3.在第一象限内，指数函数丁=〃3>0,且aWl）的图象越高，底数越大.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）设函数/（*）=2中甸在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.(—0,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

2.（2。23•全国•高考真题）已知/（、）=为是偶函数’则"（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2023•全国•高考真题）已知函数/（x）=e3：记"/三,b=f%,c=f三，则（

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.(2022・全国•高考真题)已知9加=10,〃=10"—ll,b=8”—9,贝！J()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

5.(2022•全国•高考真题)设。=0.1e叫6=g,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.(2021•全国•高考真题)下列函数中最小值为4的是()

।.।4

A.y=x9+2x+4B.y=sinX\+T~.—।

z|sinx\

4

C.y=2x+229~xD.y=lnx+—

Inx

7.（2023・北京•高考真题）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（)

3

A./(尤)=-lnxB./(x)=±

2

C./(%)=--D./(%)=3I%-11

X

8.(2023•天津•高考真题)设〃=1.0产5力=1.0产6,0=0.6。5,则。也。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

参考答案：

1.D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数>=2,在R上单调递增，而函数〃X)=2MA")在区间(0,1)上单调递减，

2n

则有函数丁=*5-°)=5-当2一幺在区间((),1)上单调递减，因此21,解得。22,

242

所以。的取值范围是[2,+oo).

故选：D

2.D

【分析】

根据偶函数的定义运算求解.

【详解】

因为仆)=：为偶函数，则“X)-〃-)=圣-"=#二口=。，

e—1\\，e"_]e以—]Q—1

又因为X不恒为O可得e-e"=o,即e，=e(〃-W

则x=(a_l)x,即1=a—l,解得a=2.

故选：D.

3.A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令g(x)=-(x-l)2,则g(x)开口向下，对称轴为尤=1,

因为当一1一1-y-="丁一M(A/6+V3)2-42=9+672-16=672-7>0,

gr-pi1f1a+64nnV6G

所以----1-1-------=------------------>0,Bp------1>1--

2(2)2222

4

由二次函数性质知g件)<g(当,

因为1—1—+—42=8+4\/3—16=4\/3—8=4(^/3—2)<0,

即乎所以g(日)>g(#),

又>=6、为增函数，故.<C<〃，即6>C>4.

故选：A.

4.A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>l,再利用基本不等式，换底公式

可得机>lgH,10&9>根，然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:(指对数函数性质)

由9-0可得加-。=需>1,而lg91gH<］比詈'T等卜Li,所以悬，

即机>lgll,所以a=l(r_11>10段1_11=0.

又Ig81gio<［g8；gl。)=(等)<(lg9)2,所以皆>守,即1叫9>加,

所以匕=8"'—9<8|喻9—9=0.综上，a>Q>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9"'=10,可得根=log910w(l,1.5).

根据a，b的形式构造函数/(x)=x"'-x-l(x>l),则((尤)=欣7-1,

令/'(x)=0,解得％=加占，由根=log910e(l,1.5)知1e(0,l).

Ax)在(1,依)上单调递增，所以了(10)>/(8),即a>b,

又因为7(9)=9隰|°一10=0,所以。>0>6.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。，。的形式构造函数/(x)=W-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

5

5.C

【分析】构造函数f(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(x)=ln(l+x)—x(x>—1),因为/(x)=------1=------，

1+x1+x

当兀£(一1,0)时，f\x)>0,当%£(0,+8)时/'(x)<o,

所以函数/(%)=ln(l+X)-%在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/c1)</(0)=0,所以In弓一(<0,故］>111号=一1110.9，即6>C,

191Q--I-L1

所以了(一启)<“0)=0,所以In^+^cO,故2<ei。，所以工/。<上，

10101010109

故a<6,

设g(x)=xeX+ln(l-元)(0<x<l),则ex+—+!

令h(x)=ex(x2—1)+1,h\x)=ex(x2+2x—1),

当0<尤<忘-1时，/?'。)<0,函数/7。)=/(丁一1)+1单调递减，

当夜-1<X<1时,〃'(无)>0,函数坂》)=/。2-1)+1单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0<x<0-1时，心)<0,

所以当0<x<应-1时,g'(x)>0,函数g(尤)=xe*+ln(l-x)单调递增，

所以g(01)>g(0)=0,即0」e〃>—In0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le01,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lntz-lnZ>=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xe(0,0.1］,

1—x

贝IJf\x)=\--=--<0,

1-x1—x

故f(x)在(0,0.1］上单调递减，

可得/(0-1)</(0)=0,即］na-lnb<0,所以a<b；

(2)d!-c=O.leol+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0.1］,

6

i,/\尤％1+--1

贝mi!Jg(x)=xe+e-----=-------------,

')\-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得左(%)>左(0)>。,即g\x)>0,

所以gO)在(。。1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以

故c<a<b.

6.C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式〃一正二定三相等〃，即可得出

反。不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,^=X2+2X+4=（X+1）2+3>3,当且仅当尤=-1时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对于B,因为0<kinx|vi,y=binx|+gjN2a=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到，所以其

最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2、>0,y=2'+22T=2工+222"=4,当且仅当丁=2，即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y-Inx+-^―,函数定义域为（0,1）（1,+co）,而InxeR且InxwO,如当lnx=-l,v=-5,D不符

合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确"一正二定三相等"的意义，再结合有关函数的性

质即可解出.

7.C

【分析】

利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】

对于A,因为y=lnx在（0,+e）上单调递增，y=-x在（0,+<»）上单调递减，

所以/（x）=-lnx在（0,+8）上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2］在（0,+“）上单调递增，y=B在（0,+。）上单调递减，

7

所以"x）=：在（0,+8）上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=g在（0,+8）上单调递减，y=-％在（0,+«>）上单调递减，

所以〃无）=-^住（0,+8）上单调递增，故C正确；

对于D,因为d=39=3：=VL〃1）=扪=3。=1,〃2）=尹=3,

显然"力=3斤”在（0,+8）上不单调，D错误.

故选：C.

8.D

【分析】根据对应幕、指数函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由y=在R上递增,则“=1.0产5<匕=].0产6,

由y=尤。5在[0,+8）上递增，贝Ua=1.01。5>c=O.605.

所以6>a>c.

故选：D

卬考点突破

【考点1】指数基的运算

一、单选题

1.（2022•重庆九龙坡•模拟预测）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传

播.受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离

L=J（R+%y-R。+Q（R+h2y_R。=J2R%+q+j2K4+/if（如图），其中％为雷达天线架设高度，也为

探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km,故R远大于4,4.假

设某探测目标高度为25m,为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载

预警机的巡航高度至少约为（）

（参考数据：-2x8.4914.12）

8

雷达直视距离

A.6400mB.8100mC.9100mD.10000m

2.（2024•广东深圳一模）已知函数是定义域为R的偶函数,在区间（0,+“）上单调递增，且对任意为,三,

均有，（卒2）="芯）〃々）成立，则下列函数中符合条件的是（）

A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2忖D.J=|x|

二、多选题

3.（2023•云南曲靖・模拟预测）若实数满足2，+2阳=1，则（）

A.无<0且><TB.x+y的最大值为-3

umr的最小值为7口.［出'11卜。

4.（22-23高一上•江苏苏州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若且％+y>4,则x,y至少有一个大于2

B.V%£R,=X

C.若2<Z?<4,贝！］一2<2«—6<4

D.正+3+不的最小值为2

三、填空题

5.（2023•黑龙江齐齐哈尔•一模）请写出满足方程3,-］=log5y的一组实数对（x,y）：.

6.（2023・湖北武汉•模拟预测）已知实数。，b满足4"+2a=3,log?炳斤+6=,，贝|。+万6=

参考答案：

1.C

【分析】根据题意，列出关于"的方程，然后求解即可.

【详解】根据题意知，L=412km,R=M90km,h2=0.025km,

由乙=J（R+、）2_R2+J（R+1）2_R2=Q2R%+h；+小2桃+后,

9

因为R远大于九，h2

0412=7(8490+/?!)2-84902+7(8490+0.025)2-84902

X0x84909+72x8490x0.025«41.2x+20.6,

角军得％«9.03km,

团舰载预警机的巡航高度至少约为9100m.

故选：C

2.D

【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解.

【详解】对于A,/(^)=ln|.iqx,|=ln|jq|+ln|x2|=/(^)+/(x2),故A错误；

对于B,/(-I)=-1=故y=d不是偶函数，故B错误；

对于C,〃王)〃尤2)=卢2闻=沙+引=〃占+々)，故C错误；

对于D,/(再％)=,司=|再同=/(%)/(%),

又y=〃x)=k|定义域为全体实数，它关于原点对称，且/(r)=r|=W=〃x),

即函数F(尤)是定义域为R的偶函数，

当x＞。时，〃x)=x单调递增，满足题意.

故选：D.

3.ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断；对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可

判断

【详解】由2'+2阳=1,可得2刈=1--2x>0,2x=l-2y+1>0,所以x<0且"T,故A正确

可得12工+*4,，即2日94，=2-2,所以x+yW—3,

由2*+2V+1=1>2d2*-2-v+1=2，2*+刈，

24

当且仅当x=y+l=-l,即x=-l,y=--2时，等号成立，所以x+y的最大值为一3,故B正确;

好成佃+到32-2y2-2x1222.2无

讨）=5++5+々-=9,

72X2yVT2y

当且仅当x=y=Togz3时，等号成立,

10

所以的最小值为9,故C错误；

因为2*=1-2yM，贝U2印=2（1-）=2-4-2\

所以Q）+QT.2，+，=2，+2向=2-3-2，<2,故D正确.

故选：ABD.

4.AC

【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A,根据哥的运算性质即可判断B,根据不等式的性质即可判断C,

根据对勾函数的单调性即可判断D.

【详解】对于A,若乙》均不大于2,则x<2,y42,贝|x+y<4,故x+y>4,则x,y至少有一个大于

2为真命题，故A正确，

x,x>0

对于B,B.VxeR,=国=，故B错误,

-x,x<n0

又寸于C,由1<a<3'f导2v2a<6,由2Vz2V4彳导—4<—h<—2,以—2<2cl-Z?<4,C正确，

对于D,由于，函数y=x+!在[石,也）单调递增，故4rK+^百1473

+-r^——,D

xA/A+3A/33

错误，

故选:AC

5.[0,上）（答案不唯一）

【分析】运用对数式与指数式互化、根式与指数幕互化计算即可.

3

【详解】ffl3^-|=log5y,

冏3X--

叼=52，

国令X=0得：y=53=华，即：（°，乎）•

故答案为：（0,当）（答案不唯一）.

6.1

【分析】由log?师万+6=：可变形为*&仍叫+bg2（3b+l）=3,故考虑构造函数〃x）=2，+x,判断函数

的单调性，利用单调性化简等式，由此可求。涉.

11

【详解】因为log2班订T+6=t，化简得log2（3b+l）+（3b+l）=3.

所以2晦（3%）+卜氏（38+1）=3,又4。+2a=2?"+2a=3,

构造函数〃x）=2，+x,

因为函数y=2”,尸龙在(-»,+«)上都为增函数,

所以函数尤)在(T»,y)上为单调递增函数,

由/。）=3,02«=log2（3Z?+1）=1,

11

解得a=］，6=§，

3,,

0a+—b=l.

2

故答案为：1.

反思提升：

(1)指数幕的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用法则计算，还应注意:

①必须同底数幕相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【考点2】指数函数的图象及应用

一、单选题

V4.3T

1.(23-24高三下•山东济南•开学考试)函数〃X)=尤：二的图象大致为()

12

2.（23-24高一上•湖北•阶段练习）函数y=log.无+4+2（4>0且中1）的图象恒过定点小力），若

则见土里的最小值为（）

m+n=b-k,n>0,

mn

c95

A.9B.8C.—D.一

22

二、多选题

3.（20-21高一上•山东济南•期中）下列四个结论中，正确的结论为（）

A.函数〃x）=x与函数g⑺二正相等

B.若函数f（x）=优-。（。>0且的图象没有经过第二象限，贝必>1

C.当x«l,2）时，关于x的不等式尤2+〃优+4<0恒成立，则实数m的取值范围为旭<-5

D.若函数〃尤）=（无：?的最大值为最小值为机，则M+租=2

2

4.（2024•山东临沂一模）已知函数〃x）=k：+a（aeR）,则（）

2—1

A.的定义域为（f,0）U（0,"）

B.〃尤）的值域为R

C.当a=l时，〃尤）为奇函数

D.当4=2时，/（-x）+/（x）=2

三、填空题

5.（2024・云南曲靖•一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点AB,C分别在函数

的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2,则。点的

3

6.（2023・上海浦东新•模拟预测）设〃x）=x（一一+1.若函数y=/（x）的定义域为（—,1）（1,内），则关

于X的不等式4的解集为.

参考答案：

13

1.A

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.

qX4TOXO-X

【详解】由函数=〃f)=W^=/(x),令％2_1?o,解得犬w±l,

x—1x—1

则其定义域为{x|xH±l},关于原点对称，

所以函数在定义内为偶函数，排除c,D选项，因为/(o)=止30+3］°=-2,观察选项可知，选A.

—1

故选：A

2.B

【分析】根据指数函数与对数函数性质求得左=11=3,然后妙用〃1〃可得.

【详角军】当％=1时，y=logql+ai+2=3,

所以，函数尸1叫％+。1+2过定点(1,3),得左=1,。=3,

所以，m+n=3-l=2,

因为机>0,n>0,

.9n+m911(91V、9n1/\

所以，-----=—i——=——I——\(m+n\=-10H----1—>—110+2v9I—8,

mnmn2\mnJ2(mnJ2)

9nm

当且仅当彳—机=—n,即相=不3,几=15时，等号成立，

24乙

所以，虫”的最小值为8.

mn

故选：B

3.BD

【解析】根据两个函数的值域不同可判断选项A不正确，根据指数函数图象的特点可判断选项B,分离参数

m得机<-x-：=g(x),只需mvgG).,即可判断选项C,

f(x\=(X+.=2+1是一个奇函数加常数1,奇函数在定义域内最大值与最小值之和等于0可判断选项

D,进而可得正确选项.

【详解】对于选项A：函数〃x)=x值域为R,函数8(尤)=而值域为［。,内)，所以〃x)=x与函数

g(x)=正不是相等函数，故选项A不正确；

对于选项B：若函数〃力=/-。(。>0且"1)的图象没有经过第二象限,则［7(0)=/“<0,解得：0>1,

14

故选项B正确;

对于选项C：当xe(l,2)时，关于x的不等式尤2+皿+4<0恒成立，

—f—4-4-/、4/\

即能<------=-%__，令g(x)=-x__,贝lj〃Z<g(x)1rfJ

XXx

因为y=x+：在xe(l,2)单调递减，所以g(x)=-了-。在xe(1,2)单调递增,

所以g(x)>g⑴=-5,所以〃区-5,故选项C不正确；

对于选项D：函数/•(元)=(x+l)'=2+1，令〃(村=々则

V7%2+1x2+lx+1

“(一尤)=善[=­3)，所以"3=言是奇函数，所以〃(力而+〃(x)皿=°，

因此M+机=/?(x)1mx+l+/?(x)min+1=2,故选项D正确,

故选：BD

【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围

若不等式20(xe。)(％是实参数)恒成立，将〃x,X)N0转化为XNg(x)或；14g(x)(xeZ>)恒成

立，进而转化为4»g(x)1mx或4Wg(x)1nhi(xeO),求g(x)的最值即可.

4.ACD

【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A,再分2、-1>0、-1<2，-1<0分别求出函数值的取

值范围，即可得到函数的值域，从而判断B,根据奇偶性判断C,根据指数募的运算判断D.

2

【详解】对于函数4无)=;^—-+^(«eR),令2*-1W0,解得XWO,

所以“X)的定义域为(y,0)U(0,M),故A正确；

22

因为2”>0，当2'-1>0时彳^>。，所以k7+a〉。，

2'-12X-1

22

当_]<2》_]<0时_二<—2,所以7^~~-+a<—2+a,

2X-12X-1

综上可得“力的值域为2+Q).(〃，y)，故B错误；

当a=l时/(司=^^+1=|^，贝(一》)=|77±^=一|7±^=一/(%)，

所以/(x)=歹二j+l为奇函数，故C正确；

当“=2时〃到=7-+2=V沿-4-1+1，则V+1+i+泻+1+1=2,

Z—1z—1乙—1乙—1

故D正确.

15

故选：ACD

【分析】根据指对幕函数的图象及解析式求出A点的横坐标、C点纵坐标，即可得。点的坐标.

【详解】由题意，纵坐标都为2,则8点横坐标为8,即C点横坐标为8,

所以A点的横坐标为（3y=工，C点纵坐标为（3）8=J_,

33381

由"CD为矩形及题图知：。点的坐标是（，?

381

故答案为：（〈，上）

Jo1

6.［1,+8）

【分析】由函数〃尤）的定义域可求得实数。的值，可得出函数〃尤）的解析式，求出的值，然后利用

指数函数的单调性可解不等式/>/（«），即可得其解集.

【详解】若aWO,对任意的xeR,2'=-«>0,则函数/'（力的定义域为R,不合乎题意，

所以，a>0,由可得xwlog?。，

因为函数y=的定义域为何尤*1},所以，log2a=l,解得a=2,

所以，/（x）=x（=+gj，贝lJ/（a）=/（2）=2（=+gj=2,

由可得2，N2,解得x21.

因此，不等式。工2/（〃）的解集为［1,+8）.

故答案为：［L+℃）.

反思提升：

1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、

对称变换得到.特别地，当底数。与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【考点3】指数函数的性质及应用

一、单选题

1.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规

定：100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某

驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：

16

lg3«0.48,lg7«0.85)

A.1B.2C.3D.4

2.（2024,湖北武汉・模拟预测）如果"工〈〃，记国为区间（。力）内的所有整数.例如,如果2<%<3.5,则国=3；

11+击,则

如果1.2（尤<3.5,贝!J㈤=2或3；如果2.3<xv2.7,贝1」国不存在.已知丁=1+-----1----+-

4/2折

()

A.36B.35C.34D.33

二、多选题

3.（2024•湖南•模拟预测）已知函数/（%）是定义域为R的偶函数，g（x）是定义域为R的奇函数，且

/⑺+g（x）=2e1函数厂（x）=〃2x）-2时⑺在［0,+动上的最小值为—11,则下列结论正确的是（）

A./（x）=e^+e-xB.g（x）在实数集R单调递减

C.m=3D.根=—3.3或一

4

।>1

4.（2021•辽宁葫芦岛•二模）设函数〃x）=王r旨，则下列选项正确的是（）

A.〃x）为奇函数

B.的图象关于点（0,1）对称

C.的最小值为e+1

贝IJ1-1（左<1+工，且人工1

D.若=左有两个不等实根,

“尤)Tee

三、填空题

5.（2022•上海普陀•一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，

站内空气中的含药量y（毫克/每立方米）与时间x（o<尤<；］（小时）成正比.药物释放完毕后，y与X满足

关系y=9八*（匕常数，xzg）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到3毫克以下时，乘客方可进站，则

地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

17

6.(2021•上海松江•一模)从以下七个函数：y=x,y=',y=Y,y=2*,y=k>g,x,v=sin尤,y=cosx中选取两

x

个函数记为了(X)和ga),构成函数"x)=/(x)+g(x),若网X)的图像如图所示，则尸(无)=

参考答案:

1.D

【分析】设经过X个小时才能驾驶，贝40.6x100x(1-30%)，<20,再根据指数函数的性质及对数的运算计算

可得.

【详解】设经过尤个小时才能驾驶，则0.6x100x(1-30%)'<20即07<，

由于y=0.7,在定义域上单调递减，x>1QO1=83lg>lg3-0.480.48

So-73lg0.7lg7-l0.85-10.15

他至少经过4小时才能驾驶.

故选：D.

2.B

【分析】根据给定条件，构造函数/(x)=］4x24(x>0),利用导数的几何意义建立不等式，借助裂项相消法求

和及指数函数性质求出T的范围即可得解.

【详解】令函数/(%)=］4冗。4(兀>0),求导得:(%)=1-4-1

y[x

A2

则eN-)可视为函数/(x)=己芯4(x>0)在％〃处的切线斜率,

设A(〃,/(«)),B(n+l,f(n+1)),则直线AB的斜率=/("+1)-/(“)=f(n+1)-/(„),

n+l-n

14々々I

由导数的几何意义有广5+1)<做5<(5)，因止匕刀一<彳[(几+1)4—〃4]<

歹〃+13sjn

A333333331111

而[②_在)+(37-2区)+(4%-3%)++(82*-8P)]<-r+-7=+-7=++-j==T,

3班也也咽

4-4-42

即有r>§(824—l)>§(814—l)=1x26=34+§,

1114-222

又T=语++痼<1+那If=35+§,因此34+产<35+二

所以［乃=35.

18

故选：B

42

【点睛】思路点睛：观察题设中所给和式的结构特征，构造函数/(x)=]x4(x>0),利用导数导数的几何意

义建立不等式是解题的关键.

3.AC

【分析】

根据函数的奇偶性可得出关于/(x),g(x)的方程组，即可得/(x),g(x)的解析式，从而得选项A；结合函数

的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出厂⑺的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次

函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得徵=3,即可

判断选项C与选项D.

【详解】A,因为为偶函数，所以/(一»=因(耳,又g(x)为奇函数，所以g(-x)=-g(x),

因为〃x)+g(x)=2e'①，所以〃—x)+g(-x)=2eT,即〃%)-8(力=2尸②，

由①②得：/(x)=ex+e-\g(x)=e'-e-\所以选项A正确；

B,因为函数、=/,,=--£在R上均为增函数，

故g(x)=e「eT在R上单调递增，所以选项B错误；

C、D,因为“ZxNeZx+emXeX+eTj-Z,

所以尸⑺=(e*+b)2-2m(e，+e-x)-2,

又=e*+又N2Je，e-=2,当即x=0时等号成立，t=ex+e~xe[2,+<x>),

h(t^—t2-2mt—2=(t—m)2-m2-2(f>2),对称轴f=/〃，

当〃?>2时，函数在[2,间上为减函数，在(m,+8)上为增函数，

则的)min='(租)=一加2-2=-11,解得根=3或机=-3(舍)；

1Q

当心42时，咐在[2,+应上单调递增，砥焉=碓)=2—4a=—11,解得：加=宁>2,不符合题意.

综上加=3,所以选项C正确，D错误.

故选：AC.

4.BD

【分析】A由奇偶性定义判断正误，B判断/(-元)+f(x)=2是否成立即可，C应用特殊值法有

f(-l)=l-e<e+l,即可判断正误，D由题设方程有两个不等实根，令g(x)=("l)阴转化为当无-1>0时，

19

在x>0上/i(x)=(k-l)，-x有两个零点；当左-1<0时