2025年高考数学一轮复习讲义：数列求和（解析版）

专题35数列求和（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】...............................................................13

【考点1】分组转化求和......................................................13

【考点2】裂项相消法求和....................................................17

【考点3】错位相减法求和....................................................21

【分层检测】...............................................................25

【基础篇】.................................................................25

【能力篇】.................................................................33

【培优篇】.................................................................35

考试要求：

1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式.

2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.

.知识梳理

1.特殊数列的求和公式

⑴等差数列的前〃项和公式：

nn(〃一1)

Sn~2二riai\21

(2)等比数列的前〃项和公式：

ncii9q=1,

a\—aqm(1一〃")

｛n

2.数列求和的几种常用方法

⑴分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

⑵裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

⑶错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n

项和可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法

如果一个数列｛念｝的前〃项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么

求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

|常用结论

..........................n(n+1)

1.1+2+3+4+…+〃=.

n(n+1)(2〃+1)

2.12+22+**,+n2=

3•裂项求和常用的三种变形

⑴〃(缶)

(2)(2n-l)(2n+l)=2X2n~l~2n+l)-

⑶3+扃=殖-5

4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况

2

求解.

真题自测

一、解答题

1.（2024・全国•高考真题）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且2s“=3°向-3.

⑴求｛凡｝的通项公式；

（2）求数列｛S“｝的前〃项和.

2.（2024・天津•高考真题）已知数列也,｝是公比大于0的等比数列.其前”项和为£.若q=LS2=%T.

⑴求数列｛%｝前"项和S.；

\k,n=a,

（2）设2=A>；//,丘N*,-2.

\bn_x+lk,ak<n<aM

（E）誉/22,〃=a*+i时,求证：bn_x>ak-bn；

（0）求立.

1=1

3.（2024•全国•高考真题）记S”为数列｛%｝的前〃项和，已知4s“=34+4.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）设。=（-1尸”,求数列｛么｝的前〃项和

4.（2023•全国•高考真题）设S“为数列｛%｝的前〃项和，已知出=1,25,="%.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）求数列1紫，的前w项和r”.

5.（2023•全国•高考真题）已知｛%｝为等差数列，2=，："一6二职数，记加T,分别为数列｛%｝,间的

为偶数

前"项和，邑=32,4=16.

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）证明:当〃>5时，Tn>Sn.

6.（2022•全国•高考真题）记S“为数列｛6｝的前〃项和，己知是公差为g的等差数列.

3

⑴求｛见｝的通项公式；

111c

（2）证明：—+―+•••+—<2.

7.（2022・天津•高考真题）设｛%｝是等差数列，也｝是等比数列，且％=4=%-4=。3-4=L

⑴求｛%｝与也｝的通项公式；

（2）设包｝的前n项和为最,求证：（Sn+1+an+1）bn=Sn+1bn+l-Snbn;

2n

⑶求£[4+i-（一1）"%]4・

k=l

8.（2021・全国•高考真题）设｛%｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足a=等.已知外,3电，94成等

差数列.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式；

⑵记S”和1分别为｛4｝和也｝的前”项和.证明：Tn<^~.

参考答案：

L（1）%=信『'

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；

（2）利用分组求和法即可求S”.

【详解】（1）因为2s“=3”3,故2%=3。“-3,

所以2%=3ail+1-3a„（n>2）即5a“=3aM故等比数列的公比为q=g,

故2al=3a2-3=3a｝x——3=5%—3,故q=l,故.

（2）由等比数列求和公式得$_[3,

"t_52I3J2

3

所以数列｛S.｝的前〃项和

33

7；=S+S+5+---+S=-——n

123n2

4

2.(i)5„=r-i

⑵①证明见详解；②/2=(%T)4"+1

；=19

【分析】（1）设等比数列｛4｝的公比为4>0,根据题意结合等比数列通项公式求0,再结合等比数列求和

公式分析求解；

（2）①根据题意分析可知七=2八,2=左+1,4-=左（2*-1）,利用作差法分析证明；②根据题意结合等

2*-11

差数列求和公式可得»=：［（3左-1）平-（3%-4）4"［,再结合裂项相消法分析求解.

i=2k-y9

【详解】（］）设等比数列｛%｝的公比为4>0，

因为％=1,邑=〃3-1，即+%=。3—1，

可得1整理得/_q_2=0,解得4=2或q=-1（舍去），

1-?n

所以臬:七］：2〃—1.

（2）（i）由（1）可知4=2〃T,且>£N*水之2,

..\ak=2kt<2^—l=n—1

当〃=W+i=2>4时，贝叫，即为<〃-1<ak+x

\n-\=ak+x-\<ak+x

可知久二2"T,/?〃=Z+1,

%=%+（一一/T•2左=左+2左（2。-1）=左（2J1）,

可得=左（2上_1）_（々+1）2"1=（々_1）2餐|_左22（左_1）_々=左_220,

当且仅当上=2时，等号成立，

所以%2《也;

(ii)由(1)可知：S“=2"-l=a.+i-l,

若〃=1,贝!JS]=L》]=1；

5

若〃之2,则为+]—4=2"1,

当21Vs-1时,b「b”2k,可知｛4｝为等差数列,

2k-i2k~l（2k~l-1）i

可得Z4=h2k-l+2k—'-------L=k-4i=—[（3左一1）平一（3%—4）4^],

i=2"i29

所以孕=l+g[5x4?-2x4+8*43-5x4?+…+（3〃-l）4"-（3"-4）4"[=^^^,

且〃=1,符合上式，综上所述：£a=（3"T）4”+l.

i=l9

【点睛】关键点点睛：1.分析可知当2-vi42"-1时，W2k,可知他｝为等差数列;

2.根据等差数列求和分析可得£瓦=：[（3"1）平-（3%-4）4"[.

i=2k-'9

3.⑴。“=4・（一3尸

（2）7；,=（2«-1）-3"+1

【分析】（1）利用退位法可求｛4｝的通项公式.

（2）利用错位相减法可求T”.

【详解】（1）当”=1时，4S]=44=34+4,解得q=4.

当〃22时，4s=3a“_1+4,所以4sl,-4S“_]=4a,,=3a,-3a1即an=-3a„_1,

而4=4x0,故见片0,故&=-3,

an-\

回数列｛4｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以=4•（一3）"

（2）b„=（-I）"一•〃•4•（一3）"7=4n-y-l,

所以/=4+。+63+…+2=4-3°+8-31+12-32+---+4n-3"-1

故37；=43+8・32+12・33+…+4〃・3"

所以-27；=4+43i+4-32+...+4-3,,-1-4n-3"

=4।43。一3"）3"=4+2-3・（3"T-l）-4"-3”

1-3

6

=(2-4〃>3"-2,

.-.7；=(2w-l)-3,,+l.

4.⑴%="T

(2)北=2-(2+〃)1

\S],n=l

【分析】（1）根据氏=。、。即可求出；

电Fcl，心2

（2）根据错位相减法即可解出.

【详解】（1）因为说=解,，

当〃=1时，2q=%,即〃1=0；

当〃=3时，2（l+q）=3q,即〃3=2,

当“22时,2S“_i=（"—所以2（$0—S,i）=㈣1）/_]=2凡，

化简得：（〃—2）%=（〃一1）%_1,当“23时，人=%,..=包=1,即氏=〃一1,

〃一1n-22

当"=1,2时都满足上式，所以%=〃-l（〃eN*）.

⑵因为钟啖所以7>lxg）+2xg）+3xg[+…+

^；=lxg)+2x[m+…+5-l)x1)+"

两式相减得,

=>["??]'即1=2-(2+〃)出，neN*.

5.⑴。〃=2〃+3；

⑵证明见解析.

7

【分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,用4/表示S"及T“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的结论求出斗，bn,再分奇偶结合分组求和法求出T”，并与S“作差比较作答；方

法2,利用（1）的结论求出S“，bn,再分奇偶借助等差数列前w项和公式求出T,，并与S“作差比较作答.

,、—6,n=2k—l'

【详解】⑴设等差数列｛%｝的公差为d,而〃=2；n=2k"eN'

则bx=ax-6,b2=2a2=2al+2d,b3=a3-6=ax+2d-6,

S=4q+6d=32

于是4解得q=5,d=2,=%+(〃_l)d=2〃+3,

T3=4q+4d—12=16

所以数列｛%｝的通项公式是4=2"+3.

/、、、_L,0n(5+2n+3),\2n—?>,n=2k—l*

(2)万法1：由(z1x)矢口，S=-------------=n2+4nb=\«wN*,

n2〃[4n+6,n=2^

当〃为偶数时，b〃_i+2=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6n+l)n

2222

371

当〃〉5时，7^—=(—H2+—n)—(n2+4n)=—n(n—1)>0,因此方>S〃，

3735

22

当〃为奇数时，7；=7；+1-^+1--(n+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-H-5,

当〃〉5时，4-S襄=(—n2+—n—5)—(n2+4n)=—(n+2)(〃—5)>0,因此，>S〃,

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

方法2：由（1）知，s“J5+：+3）=/+而2n—3,n=2k—l*

bn=，女wN,

4n+6,n=2k

—1+2(〃-1)—3n14+4/1+6n327

当〃为偶数时，方=（4+4+…+2―1）+电+%+…+〃）=F=—n+—n,

22---------22222

22

当〃〉5时，Tn-Sn=(―H+—H)—(M+4九)=—n(n—1)>0,因此，>,

一1+2〃―3n+114+4(〃—1)+6n—1

当〃为奇数时，若则北=31+%+…+2)+(4+"+—+%)=22~+22-

3535

=|n2+|n-5,显然工=仇=-1满足上式，因此当〃为奇数时，7；=|n2+|n-5,

351

当〃〉5时，4-Sn=(―1+—n—5)—(n2+4n)=—(n+2)(〃—5)>0,因此北>S〃，

所以当〃〉5时，Tn>Sn.

川(〃+1)

6.⑴。〃=

2

⑵见解析

8

【分析】（工）利用等差数列的通项公式求得*=1+4（”一1）=?，得至2=.+2”",利用和与项的关

系得到当〃22时，4=工-S“।=_（"+1）%，进而得：且_=",利用累乘法求得a业D,

检验对于〃=1也成立，得到｛%｝的通项公式an=当由；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到上+,+…+1=2卜-一二],进而证得.

%/an\n+1J

S,1

【详解】（1）回弓=1,0S,=a,=1,E—=1,

%

又回是公差为;的等差数列，

S1/1、n+2（n+2｝a

回£n§（"）=亍闰S"3，

回当2时，S,]=（"+1）%,

〃一13

同〃=一=5+2）"+1限

整理得：=("+l)a.T,

即台n+1

a、ci-i。何_1a”

团%=qx=x=x...x———

a\a2an-2an-\

I34nn+1n(n+\\

=lx—x—x...x------x------=-------

12n-2n-12

显然对于〃=1也成立，

回｛%｝的通项公式。，=四了;

团I=21—+------+,,--------------=21------------

4〃2an[\2)(2\nn+1J](n+1)

7.⑴%=2"T6"=2"T

⑵证明见解析

,（6〃-2）4向+8

9

【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解;

9

（2）由等比数列的性质及通项与前〃项和的关系结合分析法即可得证；

⑶先求得［的-㈠产产生/%，进而由并项求和可得再结合错

k=l

位相减法可得解.

【详解】（1）设｛4｝公差为d,也｝公比为小则4=1+（〃-1以2=尸，

fd—Q=\

由/一4=生_4=1可得,尸d=q=2（d=4=0舍去），

\\+2a-q~2=\

所以a“=2w-l也=21

⑵证明：因为%=260*0,所以要证（S-+an+l）bn=Sn+lbn+l-Snbn,

即证（J.+an+l）bn=S“j2bn-Snbn,即证Sn+l+an+l=2S„+1-S,,

即证%=S”+「S”，

而4+1=S“+1-s”显然成立,所以（s„+1+an+l）bn=Sn+l-bn+l-Snbn；

（3）因为［出上一（一1）21%1］怎.1+［。2/+1-（一1严的］怎

=（4%—1+4左一3）x2?"2+［4左+1—（4左一l）］x22"i=2k,

所以:n，+「（T）%］4=-（T产&"砥-+（-㈠产0）％］

k=\k=l

=力左4,

k=\

设7；=丑2人不

k=\

所以7；=2x4+4x4?+6x43+…+2"x4",

贝IJ47；=2X42+4X43+6X44+-+2〃X4"+I,

作差得一37；=2（4+不+43+44+…+4"）-2〃・4"+i=2X^"4'l-2nx4n+'

（2-6«）4,,+1-8

--------------，

3

所以

所以―=

k=l9

1n

8.（1）。,,=0尸，bn=--（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的性质及％得到9/-6q+l=0,解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出S"£,再作差比较即可.

10

【详解】（1）因为｛4｝是首项为1的等比数列且4,3%,9%成等差数歹U,

2

所以6%=%+9%,所以6a、q=%+9axq,

即9/_6q+l=0,解得q=g,所以。“=(；尸,

所以2=詈n

3〃

（2）［方法一］：作差后利用错位相减法求和

12n-1n

——+…+产+三'

S.1111

22

1I

S.1230--1--2n-1—

§+孕+手+•••++…+7n

22+92+4+•・•-!-----------：------1----

3°323-13"

1I

0--1--2n-1——⑧

设「2+4H-----1----------2_，

3°323"T

0--1--2n-1--

则⑨

2+城+4+­••+______2.

931333〃

33

n—n—

由⑧-⑨得gr“11113

—一+—j-H---y+…+_22

231323〃21-13"

3

3

n——

所以1n

r„-2

4x3-22x3i2x3i

nn

因此北-于

3〃2X3〃T击＜5

q

故

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1x(1-^)

证明：由（1）可得S“=

.12n-1n不

三+…+尹+F①

12n-1n

/于+…+『诃，②

11

①-②得…言

3

所以北=93(1—谕1)一『〃，

4JZ-J

LLAIES“311、n3/<1、n八

以北---——(1-----)---------------(1------)—---------<0,

〃243〃2-3"43"2-3"

所以雹吟q.

［方法三］:构造裂项法

即=3"+")1)

由(回)知,令c〃=(cm+/),且〃〃=%—%+1，一口(〃+1)+切

通过等式左右两边系数比对易得］=：，6=2,所以cTla+jm.

则<=4+%+-+或=6-。“+1下同方法二.

[方法四]:导函数法

,x(\-xn]

及/(%)=X+X2+x3H----\-Xn=-----------

1-X

x(i"),]+加"+|_]+1)发

由于

l-X(1-X)2(1-X)2

1+MY"-(〃+l)x〃

则,'(%)=1+2++3x24-----Fnx"T

(1-x)2

所以北；

=4+%+4+…+2=1+2x—+3x

3

V)-5+1)用

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数

学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，

关键是要看如何消项化简的更为简洁.

(2)的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

12

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得工工,然后证得结论，为最优解；

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造g=(cm+£)［；］,使a=c.-c用，求得l的表达式,

这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

・考点突破

【考点1】分组转化求和

一、解答题

1.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)己知数列｛%｝满足q=1,a„>0,s”是数列｛4｝的前"项和，对任意〃6N*,

有2s“=24+%-1

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设么=(T)"%”,求也｝的前100项的和.

2.(23-24高二下•河南•期中)已知数列｛%｝的首项4=3,且a同-2%+1=0.

⑴证明:1｝是等比数列；

⑵求数列(«„log2(«„-1))的前«项和T„.

3.(2024•广西•模拟预测)记数列｛%｝的前w项和为S“，对任意正整数m有s"=答-与.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)对所有正整数加,若aS+i，则在4和两项中插入4",由此得到一个新数列也｝,求也｝的前

91项和.

4.(2024•陕西三模)数列｛%｝的前"项的最大值记为此，即监=max｛%,%,…9｝;前〃项的最小值记为

mn,即令并将数列｛4｝称为｛%｝的"生成数列

⑴设数列0｝的"生成数歹!I"为｛%｝,求证：P"=4"；

(2)若a.=2"-3n,求其生成数列｛4｝的前"项和.

参考答案：

(2)-25

13

【分析】（1）根据%=S“-S,T（“22）作差得到（%+a,T）（2a“一2%_「1）=0,从而得到4「4T=，〃N2）,

结合等差数列的定义计算可得；

（2）由⑴可得勿=（T）"TX；（〃+1）,记C.=HI+4,，则g=-g，利用并项求和法计算可得.

【详解】（1）由2S/=+%—1,2s〃-1=2〃；_[+〃“_1—1（〃>2）,

—a_

两式相减得2a〃=2a；—+an-an_x,即（q+q1T）（2q^n-i1）=0,

因为%>0,所以2%-2a,i-1=0,即%一4”]=：（"22）,

故｛%｝是首项为1,公差为g的等差数列，

所以a“=—（H+1）；

（2）由（1）知6.=（-=（-1）"-'5（"+1）,

所以除T+%=W，

记cn-b2n_]+b2n,则q=一万，

「•4+〃2+……+“00=q+。2+……+Go=[一；1x5°=-25

2.⑴证明见解析

2

（2斤=（〃一1）2向+寸+2

【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；

（2）结合（1）中结论求得｛a“log2（4-l）｝的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解.

【详解】（1）因为4+1-2%+1=0,4=3,

所以。"+1-1=2（°“—1）,“一1=2,

a—1

显然见—1W0,则」、=2,

T

故｛%-1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，a“-l=2x2"T=2",所以qjog?（q-1）=（2"+：!）♦〃=分2"+〃，

贝！17；=1x21+2x2?+…+（〃-1A2"T+加2”+（1+2+...+〃），

14

=1X2*1+2X22+...+(M-1)-2"-1+M-2",

故2R“=1X22+2X23+...+(??-1)-2"+M-2,,+1,

｝+1+1

上两式相减得，-Rn=2+...+2«-'+T-n-2向=.2"=(l-w)2"-2,

所以R“=(〃-l)2向+2,

所以7；=(“_1)2向+2+(+?”=(“_1)2向+^^+2.

3.⑴=3(1).

(2)11563.

【分析】⑴利用”=1时，4=%；入12时,%=S.-S.T求解即可.

(2)先确定他,｝前91项的最后一项，然后分别对其中的。“和插入的4"进行求和.

【详解】(1)当*2时，an=Sn-Sn_l=(^-^-\^^-^^=3n-3.

\227L22

又〃=1时，得q=0,也满足上式，

故〃〃=3(1).

(2)由。%=270,所以44<%I<45,

又“87=258>4’，所以也｝前91项中有87项来自｛4｝,

月f以及+为+•••+bq[=(q+2+,,,+47)+(41+牛+4，+44)

87(4+%)4(44-1)

~~^2+-^----^=11223+340=11563•

24-1

4.(1)证明见解析

0,n=1

(2)Sn=3/-〃+4

2------------------

I2

【分析】(1)由"生成数列"的定义证明即可；

(2)由分组求和求解即可.

【详解】(1)由题意可知M向《啊，

15

所以Mn+1-mn+｝>Mn-mn,因此pm>p„,

即加,｝是单调递增数列，且p尸g=0,

由"生成数歹旷的定义可得为=P„.

（2）当“23时，q,-%_]=2"-3〃-12"1-3（〃-1）]=2"1-3>0,.

—

.♦.%>%<Q3<〃4<••,<Q,<,,•，3^%=1,〃2=—2,Q3=-1,

Pl=0,0=—1—（―2）=1，

当“之3时，pa=a"一%=2"—3”—（―2）=2"—（3/2—2）.

设数列历“｝的前«项和为s..则h=o,s?=1.

当“23时，邑=0+1+2+a+・一+0“=1+（23—7）+（24—10）+…+[2”—（3〃—2）]

=1+（23+24+---+2,,）-[7+10+---+（3«-2）]

322

2X（1-2"-）（w-2）（7+3n-2）3n-»+4

=H--------------------=2-------

1-222

0,H=1

2

又§2=1符合上式,所以S"=<13n-n+4.

2----------，〃之2

L2

反思提升：

1.若数列｛扇｝满足Cn=an±bn,且｛劣｝,｛5｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列｛C”｝

的前九项和.

Clu,n为奇数，

2.若数列｛蠢｝满足圆=,工,田的其中数列他"｝，｛从｝是等比数列或等差数列，可采用分组

｛bn,〃为偶数，

求和法求｛C.｝的前〃项和.

【考点2】裂项相消法求和

一、解答题

1.（2024・四川宜宾•模拟预测）已知数列｛4｝满足q=1,an+l=2a,+«-1,（«eN*）.

⑴证明：数列｛%+〃｝是等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式;

,1,

⑵设"=log,（%+#-数列抄也+J的前n项和为T,，若7；<7帝-根-1对于任意〃eN*恒成立，求实数加的

取值范围.

2.（2024•江苏盐城•一模）已知正项数列｛q｝中，6=；，且3。；+1+24+~“一。；=0（〃€河1）.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

16

(2也=——----eN*证明：a+b?+…+b"<；.

"〃+1+

anan+}+a„+1

3.（2024•湖北武汉•模拟预测）在等差数列｛4｝（neN*）中，^+02=11,a3=10.

⑴求｛%｝的通项公式；

,1,,1

（2）若，=--------,数列的也｝前〃项和为1，证明<大.

anan+ian+2168

4.（2024•福建泉州•二模）己知数列｛%｝和也｝的各项均为正，且％=1地，色｝是公比3的等比数列.数

歹!］｛4｝的前n项和S“满足4S“=a；+2a..

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式;

_________"〃+3_________

(2)设1=+ancosrm求数列｛c.｝的前”项和

(2+3-3)(如3-1)

参考答案：

L⑴证明见解析，an=T-n

(2)(-<»,-l]u[2,+ooj.

【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；

（2）由（1）可得6/同=!一一二，再裂项相消可知加2一〃-INI,进而求解二次不等式即可.

【详解】（1）由题可知：a„+i+n+1=2an+2n=2（an+n）,又％+l=2w。，

故｛q+科是首项为2,公比为2的等比数列，。"+"=2",即

,111,,111

（）、b=----------------=---------=——bb=-----------=-----------

nnn+

log2（^an+n）log22nn（n+l）n〃+l，

00

T=+-----1-----------7=1------7<1，且当〃趋于+时，］趋近于L

n1223nn+1n+1

所以由《<加-根-1恒成立，可知苏一加一121,解得根W.

，\1*

2.⑴4二三'neN;

⑵证明见解析

【分析】（］）由已知得3a3+24+q—d=（。用+q）（3%+「卬）=0,得到｛%｝是以;为公比的等比数列,

求出通项公式；

（2）求出么,利用裂项相消法即可求证.

17

【详解】（1）由3叱+1+2%+]%—%=（4+I+4）（3%+I—%）=。，an>0,

办1.1

侍〃〃+1=§"〃'又4=§,

则｛%｝是以;为首项，;为公比的等比数列，

所以。”=菰,«6N*.

（2）证明:因为〃=

4A+i+%+a.+i+l

=（%+1）-（凡+1+1）=

（%+1）（q+1+1）凡+1+1q+1

所以伪+白+…+2

1

金r+1444-

3.（1）。“=3"+1

⑵证明见解析

【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解;

（2）利用裂项相消法求出7；,进而可得出结论.

【详解】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,

%+%=11+d=11%=4

由,解得

4—10%+2d=10d=3

所以%=%+（〃—l）d=4+3（〃-1）=3〃+1,

所以数列｛凡｝的通项公式为例=3九+1；

11

（2）回%=3"+1,团么=

〃〃%+4+2（3〃+1）（3〃+4）（3加+7）'

711

（方法一）bn=------------

anan+ian+2（3〃+1）（3〃+4）（3〃+7）

=if_i_____i______i_____

6（3〃+13〃+43n+43n+7J

1

回北=—

〃1834+1

1----------------1--------------<1-----

回4

1686（3/j+4）（3n+7）168-

18

_________1_________1__________]

(方法二)bn=——-——

anan+ian+2(3〃+1)(3〃+4)(3九+7)―3九+4(3H+1)(3M+7)

_i1r11i_____iii)

63〃+4(3〃+l3〃+7)613〃+13〃+43〃+43n+7J

07；=-[f----V[—---—+---1---1---]—\\

〃6|_(4x77xl0j17x1010x13)(3〃+13〃+43n+43n+lJ]

-I--f---1---------1----------1----=1---1----1-----(---1-------------1----<)-1------

6(283〃+43〃+7)1686(3〃+43n+7)168

2

4.(i)〃“=2〃，bn=y-

工）+〃，当〃为偶数

3

-〃-7当〃为奇数

【分析】（1）利用递推公式可证得数列｛%｝是等差数列，可求出数列｛%｝的通项；利用等比数列的性质,

可求出｛2｝通项;

（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可;

【详解】（1）由题设，当〃=1时4H=如+2%二4=2或q=0（舍）,

aa

由4S“=a：+2an,知4sl=n-i+^n-t>

两式相减得（%+综_1）（。“-2）=0,

'-an+an-l=Q(舍)或-。,1-2=0,即。,一生1=2,

国数列｛4｝是首项为2,公差为2的等差数列，.

1,

又名=18bl=6,：.bx=-,：.bn=y-\

£+3y+1

(2)%=+(-l)"2n

闻3-3）闻3—1）

3〃11

+(-l)"2n=-,,+(—1)"2〃

2(3"-13"+1-1

111111

则一132一1++...+

32-l33-l3"-l3n+1-l

19

当〃为偶数时，一二7+”;

3

当”为奇数时,—H—

4,

当〃为偶数

当〃为奇数

反思提升：

1.用裂项相消法求和时,要对通项进行变换，如：赤了扁3），”（“I左）=2

IWO裂项后可以产生连续相互抵消的项.

2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

【考点3】错位相减法求和

一、解答题

1.（2024高三下•四川成都・专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足3=2见+2〃-l.

⑴求证：数列｛%-2｝为等比数列；

⑵已知bn=唳/）,求数列也｝的前〃项和.

2.（2024•陕西西安•模拟预测）记S,为等差数列｛4｝的前〃项和，已知$3=1