2025年高考数学一轮复习讲义：随机事件、频率与概率（解析版）

专题61随机事件、频率与概率（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................7

【考点1】随机事件的关系.....................................................7

【考点2】随机事件的频率与概率..............................................11

【考点3】互斥事件与对立事件的概率..........................................15

【分层检测】...............................................................19

【基础篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................25

考试要求：

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.

2.T解两个互斥事件的概率加法公式.

.知识梳理

1.概率与频率

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率加A）会

逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用

频率加4）估计概率P（A）.

2.事件的运算

定义表示法图示

事件A与事件B至少有一个发生，

并事件称这个事件为事件A与事件B的AU/或A+5)

并事件（或和事件）

事件A与事件8同时发生，称这

交事件样一个事件为事件A与事件B的AA3(或AB)

交事件（或积事件）

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件A发生，事件3一定发

包含关系生，称事件3包含事件4或事324或A^B)（O

件A包含于事件3）

如果事件A与事件3不能同时

若AnB=0,则A

互斥事件发生,称事件A与事件5互斥

与B互斥

（或互不相容）

如果事件A和事件B在任何一

若AAB=0,且

次试验中有且仅有一个发生,

对立事件AUB=Q,则A

称事件A与事件3互为对立，

与3对立

事件A的对立事件记为A

|常用结论

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

⑴几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

⑵事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补

2

集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P（AiUA2U•••UA„）=P（Ai）+P（A2）H-----PP（A„）.

■真题自测

一、单选题

1.（2024・上海•高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三

种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：

所选盒中有笔袋，则（）

A.事件A与事件8互斥B.事件A与事件8相互独立

C.事件A与事件BuC互斥D.事件A与事件3cC相互独立

2.（2022•全国•高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手

与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P”P2，P3,且P3>n>R>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

二、解答题

3.（2024・上海•高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中

抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学业成绩[0,0.5)[0,5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

⑴该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

⑵估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

⑶是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

（附：/2=7TV；K------，其中九=a+b+c+d,>3,841）^0.05.）

［a+b）［c+d）［a+c、）［/b八+d，、）v'

4.（2022•北京•高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以

上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛

成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

3

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

⑴估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

⑶在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

参考答案:

题号12

答案BD

1.B

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可.

【详解】选项A,事件A和事件8可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件A与

事件B不互斥，A错误；

选项B,：P（A）=g,P（A8）=；,

.-.P（A）P（B）=P（AB）,B正确;

选项C,事件A与事件8|JC可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；

111

选项D,VP（A）=-,P（Z?QC）=-,P（AC（8p|C））="

.•.P（A）P（BnC）^P（An（BnC））,

与BDC不独立，故D错误.

故选：B.

2.D

【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率外;该

棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率P乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率。丙.并对三者进

行比较即可解决

【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为：，

2

则此时连胜两盘的概率为P甲

4

贝I0甲=；［（1一P2）。1。3+P2P1（1—。3）］+（［（1—P3）。也+P3Pl（I-P2）］

=PNP2+P3）-2piP2P3；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，

+1

则Pz.=（1-Pl）P2P3P1P2C-ft）=P，Pl+P3）-2p、P2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙

则P丙=（1一。1）0。2+口。3（1-。2）=P3（Pl+Pi）-2PiP2P3

则。甲一。乙=。1（。2+3一2Plp203—［。2（P1+。3）-2Plp2乃］=（Pl-2）。3<°

P乙一。丙=。2（Pl+小）-2Plp2P3Tp3（Pl+0）-2Plp2P3］=（。2一。3）Pl<°

即。甲<P乙，P乙<P页，

则该棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确；选项BC判断错误;

。与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

3.(1)12500

(2)0.9h

⑶有

【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可;

（2）根据平均数的计算公式即可得到答案;

（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.

【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比———=—,

58058

25

则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为29000x^=12500.

58

（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为

10.5+1xl91+iil^xl79+^^x43+2+2.5

—X139+x28出0.9.

58022222

则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.

（3）由题列联表如下:

[L2)其他合计

5

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

提出零假设“。：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.

其中c=0.05.

2_580x(45x308-177x50)2

»3.976>3.841.

95x485x222x358

则零假设不成立,

即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.

4.（1）0.4

（2）?

⑶丙

【分析】（］）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

⑶计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.

【详解】（1）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

（2）设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件4

---------3

p（x=0）=尸（A44）=0.6X0.5X0.5=三，

p（x=i）=尸（A44）+尸（444）+嗝耳A）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

p（x=2）=P（A44）+p（a无4）+P（N44）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——，

20

P（X=3）=P（444）=0.4x0.5x0.5=.

团X的分布列为

X0123

6

3872

P

20202020

38727

团E(X)=0x——+lx——+2x——+3x——二

202020205

（3）丙夺冠概率估计值最大.

11

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为了，甲获得9.80的概率为二，

410

乙获得9.78的概率为9.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

考点突破

【考点1】随机事件的关系

一、单选题

1.（2024•宁夏银川•二模）2024年的高考数学将在6月7日下午进行，其中数学有12道单项选择题，如果

每道选择题的答案是从4B,C,。四个选项中随机生成，那么请你运用概率统计的知识，推断分析下列

哪个选项最有可能成为2024年高考数学选择题的答案分布（）

A.AAAAAAAAAAAAB.ABCDABCDABCD

C.CDABACADCBDBD.DBCCCDCDBDBD

2.（23-24高一上•广东梅州•开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频

率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（）

A.抛一枚硬币，正面朝上的概率;

B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；

C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；

D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率.

二、多选题

3.（2024•浙江•三模）已知A,B,C是一个随机试验中的三个事件，且0<P（A）<l,0<P（B）<l,下列

说法正确的是（）

A.若A与8互斥，则与百不相互独立

B.若A与8相互独立，则A与B不互斥

7

C.若P（A⑻-P（网A）=P（AB）,且尸（AB）wO,则A与B相互独立

D.若P（ABC）=P（A）.尸（3）P（C）,则A,B,C两两独立

4.（2024•江西宜春•三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件4甲骰子点数为奇数，事件8：

乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同.下列说法正确的有（）

A.事件A与事件8对立B.事件A与事件8相互独立

C.事件A与事件C相互独立D.P（C）=P（AB）

三、填空题

5.（23-24高三下•云南昆明,阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，

事件8表示"向上的点数不超过4",则P（AUB）=.

6.（2024・重庆•模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调

查了10000人，已知非吸烟者占比75%,吸烟者中患肺癌的有63人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的

概率是未吸烟者患肺癌的概率的4.2倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是.

参考答案:

题号1234

答案CDABCBC

1.C

【分析】根据随机事件的特征进行逐个判断即可.

【详解】A选项全部是A答案，很显然不正确.

B选项A,B,C,D每个有3个答案，但不具备随机性.

D选项没有A答案，也不正确.

C选项A,B,C,D每个有3个答案，具备随机性,C正确.

故选:C.

2.D

【分析】先根据频率和概率的关系得到概率为P=；,再对四个选项一一判断得到D正确.

【详解】根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率尸=；,

选项A,掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为《，故此选项不符合题意；

选项B,掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为J,故此选项不符合题意；

6

2

选项C,转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为：，故此选项不符合题意；

8

选项D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为g,

故此选项符合题意；

故选：D

3.ABC

【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,若A与3互斥，则A与B不能同时发生，即尸（AB）=O,

因为Nc5表示A与8都不发生，则AnB的对立事件为A与B至少有一个发生，

所以P（Zc国=l-P（Ac8）,

而尸（Au3）=尸（A）+尸（3）-P（AB）=尸（A）+尸（3）,

所以P（Zc国=1-P网一P（B）,

因为P（孙尸㈤=尸（2）］=1—尸⑷—尸⑻一尸（A>尸⑻

所以尸（Zc耳）#P⑷-P⑻，由此可知，入与否不相互独立，故A正确；

对于B,若A与B相互独立,则P（AB）=P（A>P（3）,因为O<P（A）<1,O<P（B）<1.

所以0<尸（A>P（3）<1,贝|P（AB）*。，所以A与3不互斥，故B正确；

对于C,若可4忸）•尸（网A）=尸（AB）,

因为P（A忸），（8闾=尢小木2=尸0钻），

因为P（AB）*O,则有尸（AB）=P（A）.P（B）,所以A与8相互独立，故C正确;

对于D,抛掷一枚质地均均的骰子，事件A表示出现点数为1,3,4,

事件B表示出现点数1,5,6,事件C表示出现点数1,2,3,5,

事件ABC表示出现点数为1,P（ABC）=1,

P（A）.P（B）.P（C）4x|x14-

满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）,

事件A3表示出现点数为1,尸（AB）=g,

1QQ1

但尸（AB）=ZXP（A），（B）=k><%=I

。oo4

9

则A,8不相互独立，故D错误.

故选：ABC.

4.BC

【分析】对于A,甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断;

对于B,计算出P(A)P(8),P(AB),根据尸(AB)=P(A)P(3)可以判定两个事件是否相互独立；对于C,计算

出尸(A)尸(C),P(AC),根据尸(AC)=P(A)尸(C)可以判定两个事件是否相互独立；对于D,由前面可知

尸(C),P(AB),即可判断是否相等.

【详解】由题意,得尸⑷=(，尸(8)=\,P(C)=^=1,

22366

对于A,当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件2不互斥，故事件A与

事件8不对立，故A错误；

对于B,由题意知P(AB)=B=7,XP(A)P(B)=1XA=A=P(AB),故事件A与事件5相互独立，故B正

C6c64224

确；

对于c,P(AC)=A=1,又P(A)P(C)=K=[=P(AC),故事件A与事件C相互独立，故C正确；

36122612

对于D,由上知，尸(C)=’<P(A8)=J,故D错误.

64

故选：BC.

5

5.-

6

【分析】根据题意可知事件AU8：点数为偶数或点数不超过4有1,2,3,4,6,结合古典概型分析求解.

【详解】由题意可知：向上的点数为1,2,3,4,5,6,

事件AUB：点数为偶数或点数不超过%有1,2,3,4,6,

所以

6

故答案为：~~.

6

6.45

【分析】设非吸烟者患肺癌的概率为元，根据题意列出方程，求出心即可得到答案

【详解】本次研究调查中，非吸烟者有7500人，吸烟者样本量有2500人，

设非吸烟者患肺癌的人数是X人，则彘=4.2x嬴，尤=45,

因此，本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数为45人.

故答案为：45.

10

反思提升：

1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时

不发生；（2）对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅

有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事

件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

【考点2】随机事件的频率与概率

一、单选题

1.（22-23高一下•福建莆田•期末）某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：

射击次数501002004001000

射中8环以上的次数4478158320800

根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（）

A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82

2.（2024•四川绵阳•模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每

天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了

下列结论，其中正确的是（）

I0l1.522k.533.544.55完成作业时间/小时

A.估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天

B.估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3

C.估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时

D.估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时

二、多选题

3.（2024•全国•模拟预测）某校高三年级有（1）,（2）,（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的

数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：

班级(1)(2)(3)

优秀率80%85%75%

11

则下列说法一定正确的是（）

A.（2）班学生的数学成绩的优秀率最高

B.（3）班的学生人数不一定最少

C.该年级全体学生数学成绩的优秀率为80%

D.若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%,则（1）班人数多于（2）班

人数

4.（2024•江苏苏州•模拟预测）为了保证掷骰子游戏的公正性，可以用正〃面体的骰子来进行游戏.下列数

字可以作为w的取值的是（）

可能用到的公式：多面体的顶点数、棱数、面数分别为匕及尸，则V-E+F=2.

A.4B.12C.16D.20

三、填空题

5.（2024•广东广州•三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择

一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱

子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便

增加中奖概率.现在已知甲选择了1号箱，用A,表示i号箱有奖品（?=1,2,3,4）,用片表示主持人打开i号箱

子（，=2,3,4）,则尸（囱4）=，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为

参考答案:

题号1234

答案CCABABD

1.C

【分析】利用频率估计概率即可求解.

【详解】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在0.8,

所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8,

故选：C.

2.C

【分析】利用频率分别直方图、频数、频率、中位数、众数直接求解.

【详解】对于A,该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的天数为：0.5x0.5x100=25天，故A错误;

对于B,估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为（0.3+0.2+0.1+0.1）x0.5=0.35,故B错误；

对于C,[1,2.5）的频率为（0.1+0.3+0.5）x0.5=0.45,[1,3）的频率为0.45+0.4x0.5=0.65,

则该学生每日完成作业时间的中位数为2.5+05"-045x0.5=2.625,故C正确；

0.2

12

对于D，估计该学生每日完成作业时间的众数为二片=2.25,故D错误;

故选:C

3.AB

【分析】由题目表格中的数据，逐一判断选项，可得答案.

【详解】选项A：显然（2）班学生的数学成绩的优秀率最高，故A正确；

选项B：只根据优秀率的大小，无法比较每个班人数的多少，故B正确；

选项C：该年级全体学生数学成绩的优秀率为全年级数学成绩优秀的学生人数与全年级学生总人数之比,

由于各班的学生人数不知道，所以不能计算该年级全体学生数学成绩的优秀率，故C错误；

选项D：设（1）班、（2）班数学成绩优秀的人数分别为无，》（1）班、（2）班人数分别为a,b,

则±=80%,；=85%,得x=80%a,y=85%6,又（1）班和（2）班放在一起统计的优秀率为83%,

ab

即±±==83%,即80%"+85%6=83%,即80a+85匕=83。+83b,得26=3。，贝故D错误.

a+ba+b

故选:AB.

4.ABD

【分析】根据题意，要保证游戏的公平性，需要正“面体每个面出现的点数的可能性要要相同，据此选出

正确选项.

【详解】第一步，根据题目，我们知道正w面体的骰子有〃个面，每个面的点数分别为1,2,n,投掷

后每个点数出现的概率相等.

第二步，为了保证游戏的公正性，我们需要保证每个点数出现的概率相等，即每个面的面积相等，这意味

着正n面体的每个面都应该是全等的正多边形.

第三步，设正〃面体的每个面都是正机边形，每个顶点连接左条棱,

V-E+n=2

kV=2Ei1111

所以co，贝!JEy_7E_+E—=1，所以7*+—=苒+力＞彳，

mn=2Ek2mkmE22

V,E,n,k,meN*

Xm>3,^>3,且见左不能同时大于3,所以机=3,左23或wiN3#=3,

m=3m=3m=3m=4m=5

解得左=3或I或左=5或k=3或

k=3

我们可以得出〃的取值应该是4（正四面体）、6（正六面体）、8（正八面体）、12（正十二面体）、20（正

二十面体）.

故选：ABD

13

13,

5.--/0.375

38

【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定尸（可4）=，分别考虑奖品在1号箱、不在1号箱的情况，根

据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.

【详解】奖品在1号箱，甲选择了1号箱，主持人可打开2,3,4号箱，则p（图A）=j

若奖品在1号箱，其概率为:，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为0;

若奖品不在1号箱，其概率为:，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的1个，

4

若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为：；

2

・•・若抽奖人更改选择，其中奖的概率为P=：1x0+3Jx1：=3"

4428

,13

故答案为：—;~.

3o

【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号

码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.

反思提升：

1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用

概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.

2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于

某一个常数，这个常数就是概率.

【考点3】互斥事件与对立事件的概率

一、单选题

1.（2024・上海•三模）在一个有限样本空间中，假设尸（A）=P（B）=P（C）=g,且A与B相互独立，A与C

互斥，以下说法中，正确的个数是（）

①P（AU8）=：②P（［A）=2P（A©③若P（C|B）+P（C|可=：,则8与C互斥

A.0B.1C.2D.3

2.（2024・山东烟台•三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不

放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（）

32123

A.—B.-C.—D.一

105255

二、多选题

11

3.（2024•云南大理•模拟预测）假设A8是两个事件，且P⑷P（B）=g,则（）

14

-1_1q]

A.P（AB）=-B.P（AB）=-C.P（A+B）=-D.P（A|B）=-

4.（2024•河南新乡•模拟预测）随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X,掷出的点

数之和为V,贝I（）

A.事件"X=2"和"V=4"相等B.事件"X=4"和"y=6"互斥

C.X为奇数的概率为gD.y<17的概率为三

854

三、填空题

5.（22-23高二下•天津•期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相

声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高

铁和大巴的概率分别为0.6和0.4,高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8,则他准点到达天津的概率

是（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率

高（分数作答）.

6.（2024•天津和平•二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动.在

最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已

知甲回答正确的概率为g,甲、丙两人都回答正确的概率是:，乙、丙两人都回答正确的概率是!.若规定

三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为;若规定三名同学

抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为:，），!，则这个问题回答正确的概率为.

263

参考答案:

题号1234

答案CDADACD

1.C

【分析】由A与8相互独立，则尸（AUB）=P（A）+P（8）-P（AB）,计算即可判断①；由条件概率公式计算

即可判断②；由「（C|B）+P（C|耳=；,可得6P（CB）+3P（C可=1,若互斥，贝lj

P[BC）=0,P（cZ）=p（c）=|,满足，可判断③.

【详解】对于①，尸（A）=p（2）=；,且A与8相互独立，贝U

P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=1+|-1x|=|,故①错误；

对于②，P{C|A）==3P（CA）,

15

,P（CA）P（CA3

P（AIC）==-P（CA\

''P（C）i'-1J2V），

故尸©A）=2尸（4©,故②正确；

对于③，P（C|B）+P（C|B）=1,

则P@E）=瑞，P（C^=有，

故半雪R,

33

即6P（C5）+3P（C4=1,

若BC互斥，则P（BC）=O,尸（C^）=P（C）=g,满足上式,

故P（3C）=0,即B与C互斥，故③正确.

故选：C.

2.D

【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可.

【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为

故选：D

3.AD

【分析】A选项，利用条件概率公式得到「（AB）=P（A）•尸（B）=gB选项，A与否相互独立，故

P（AB）=P（A）P（B）=1；C选项，根据P（A+B）=尸（A）+P（8）—P（A5）求出答案；D选项，利用条件概率

（,、P（AB）/、

得到尸（A忸）=不/=尸（4）.

【详解】A选项，因为P（8|A）=等3，P（B|A）=P（B）,P（A）=1,

产（A）23

所以P（AB）=P（A）.P（8）=4,A正确；

6

B选项，因为事件A与8相互独立，所以A与百相互独立,

所以尸（45）=尸（A）尸（为）==；x]=g,B错误;

16

1119

C选项，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=-,C错误；

2363

D选项，因为尸（4忸）=爷胃=尸网，所以P（A|2）=；,D正确.

故选：AD.

4.ACD

【分析】写出事件的所有基本事件判断A；利用相互独立事件的定义判断B；利用相互独立事件、对立事件

的概率公式计算判断CD.

【详解】对于A,事件"X=2"和"y=4"都相当于掷出两个1点和一个2点，故A正确；

对于B,事件"X=4"和"丫=6"都包含掷出两个1点和一个4点，故B错误；

对于C,X为奇数等价于"3次掷出的点数都为奇数〃，因此其概率为[g]=g,故C正确;

3

对于D,事件?<17”的对立事件为少=17或y=i8",p（y=18）=I女，尸…）=c；

1153

因此P（y<i7）=i-示—五二次，故D正确.

故选：ACD.

4311

5.——

5043

【分析】根据互斥事件的概率公式，求得他准点到达天津的概率，再结合条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】设事件A为他准点到达天津，事件B为他乘坐高铁到达天津，事件C为他乘坐大巴到达天津,

若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为P（AB）=0.6x0.9=0.54；

若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为尸（A。=04x0.8=0.32；

,、43P(AB)0.5427P(AC)0.3216

则尸A)=0.54+0.32=0.86=竺，且P(B|A)=，=—=一,P(C|A)=\，=——=一,

I，50P⑷0.8643P(A)0.8643,

11

所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高43

4311

故答案为：方电

737

6.-/0.875

72

【分析】根据题意，设甲回答正确为事件A,乙回答正确为事件8,丙回答正确为事件C,先由相互独立事

件的概率公式求出夕（⑷、P（O的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二空的

答案.

17

【详解】根据题意，设甲回答正确为事件A,乙回答正确为事件B,丙回答正确为事件C,

则P（A）=g,P（AC）=P（A）P（C）=|,尸（8C）=P（8）P（C）=:,

71

所以尸（C）=§,尸（8）=4，

若规定三名同学都回答这个问题，

则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率［=1-尸航）=「1-却力1-|，：，

若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为工，二，：，

263

111119^7

贝u这个问题回答正确的概率

22643372

,737

故答案为：-;-'-

o72

反思提升：

1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.

2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些

彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对

立事件的概率，再用公式P（A）=1—P（A）求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用

间接求法比较简便.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•江苏盐城•一模）已知随机事件A,B相互独立，且P（A）=尸仍）=；,则P（AUB）=（）

2514

A.-B.—C.-D.一

3939

2.（2024・广东•三模）。为样本空间，随机事件4、3满足P（A）=尸（2）=（P（AD8）=1,则有（）

A.AUB=QB.P（AUS）=1C.AB=0D.P（A|B）=1

3.（2024•山东荷泽•模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到A3,C三个不同的社区参加公益活动，

每个社区至少分配一名同学.设事件A="恰有两人在同一个社区"，事件3="甲同学和乙同学在同一个社区”,

事件C="丙同学和丁同学在同一个社区"，则下面说法正确的是（）

A.事件A与3相互独立B.事件A与5是互斥事件

C.事件B与C相互独立D.事件8与C是对立事件

4.（2024・山西太原•一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、。四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选