2025年高考数学一轮复习讲义：平面向量基本定理及坐标表示（解析版）

专题29平面向量基本定理及坐标表示（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................5

【考点1】平面向量基本定理的应用............................................5

【考点2］平面向量的坐标运算................................................11

【考点3］平面向量共线的坐标表示............................................16

【分层检测】...............................................................19

【基础篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................26

【培优篇】.................................................................30

考试要求：

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

；知识梳理

L平面向量的基本定理

条件ei,e2是同一平面内的两个不共线向量

对于这〜平面内的任一向量a,有且只有一对实数/U,初，使〃=区经

结论

+22£2

若ei,e2不共线,我们把｛ei,02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个

基底

基底

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

⑴向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设。=(尤1,yi),b=(X2,yi),则

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z>=(XLX2,yi—y2),几a=(尢n,7vi),|a|='/君+y?.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),3(x2,,2),则AB=(X2—xi,y2-yi),|AB|=、/"(一―xi)2+(丫2-yi)

4.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,灰Z>WO)共线的充要条件是人\21x2券=0.

|常用结论

1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.

2.若a与〃不共线，2a+〃方=0,则/l=〃=0.

3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起

点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

.真题自测

一、单选题

1.(2023・全国•高考真题)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则反•诙=()

A.y/5B.3C.2A/5D.5

2

2.(2023•全国•高考真题)已知向量£=(1,1),B=(1,T),若(Z+砌邛+闷,则()

A.X+"=lB.彳+4=—1

C.4〃=1D.%〃=—1

3.(2022•全国•高考真题)已知向量£=(3,4)方=(1,0),£=£+后,若<£,">=<瓦2>,则力=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.(2022•全国•高考真题)已知向量£=(2,1)石=(-2,4),则()

A.2B.3C.4D.5

5.(2022•全国•高考真题)在"RC中，点。在边AB上，BD=2DA.记逐=用①=为,则瓦=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3庆+2为D.2m+3n

二、填空题

6.(2021•全国・高考真题)已知向量a=(1,3),石=(3,4),若(〃-4)则—=.

参考答案：

1.B

(-------►--------ULULULUL

【分析】方法一：以｛AB,A。｝为基底向量表示EC,ED,再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

,___.iUiBi||UUtti|uunuum

【详解】方法一：以｛ABk,A。｝为基底向量，可知卜@=卜。|=2,48.40=0,

uumuuruuniuunuumuunuuruumiuunuum

贝lj£C=£5+5C=—A5+AD,EQ=EA+AD=——AB+AD,

22

UUDuun(iuunWSL\(\uunuum、iULmuum

所以EC£D=/A3+AO[-/AB+AO=-[A52+AD2=—1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

LIL1UU11U

则E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),£D=(-1,2),

uuuuuu

所以ECm=-1+4=3；

方法二：由题意可得：ED=EC=5/5,CD=2,

DE2+CE?-DC?5+5-43

在ACDE中,由余弦定理可得cosNDEC=

2DECE2x五x逐5

uunuuniULKi||Uun|

所以四印cosZDEC=&也x《=3.

故选：B.

3

y

2.D

【分析】根据向量的坐标运算求出Z+加，z+而，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为％==,所以£+%3=(1+41-4),2+〃1=。+〃」一〃)，

由(〃+%石)_L(〃+可得，(。+彳石),(〃+从B)=o,

即(1+为(1+〃)+(1_4)(1_//)=0,整理得：=—1.

故选：D.

3.C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

9+3,+163+/

【详解】解：c=(3+r,4),cos(a,c)=cos(Z?,c),gp二何，解得f=5,

故选：C

4.D

【分析】先求得£-人然后求得自一〃

【详解】因为Z-B=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以［2叫=,42+(-3)2=5.

故选：D

5.B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边上，BD=2DA,所以丽=2次，即前一瓦=2(希一团,

4

所以瓦=31一2瓦=3石一2正=-2碗+3万.

故选：B.

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为Z-%=（l,3）-〃3,4）=（1-343-42）,所以由（2-万），B可得，

3（1-32）+4（3-42）=0,解得％=

3

故答案为：—.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设£=（不弘）］=（々,%），

a±b<^>a-b=O<^>XyX2+yxy2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

考点突破

【考点11平面向量基本定理的应用

一、单选题

1.（21-22高一下•重庆北陪•阶段练习）设,、晟是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向

量的一个基底的是（）

A.6+02和61-02B.G+202和.+261

e

C.3e1-2e2和4e2-6e1D.g和％+i

2.（2024•全国•模拟预测）如图所示，在边长为2的等边AABC中，点E为中线8。的三等分点（靠近点3）,

点尸为3C的中点，贝！jRg.丽=（）

二、多选题

3.（2024•广西•二模）已知△ABC内角ABC的对边分别为。，"G。为AABC的重心，cosA=g,AO=2,则

)

5

A-而三通七记B-福尼43

C.AABC的面积的最大值为3#D.。的最小值为26

luuni

4.（2022•广东惠州•一模）如图，点。是正八边形ABCOEFG”的中心，且„=1,贝I］（）

FE

•O

H\zc

AB

A.而与E能构成一组基底B.OAOC=0

C.OA+OC=>/2OBD.AC-CD=-^-

三、填空题

5.（2024・天津红桥•二模）太极图被称为"中华第一图"，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼

太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆。和两个对称的半圆弧组成的，线段过点。且两端点

N分别在两个半圆上，点尸是大圆上一动点，令丽=£,PN=b>若所=4£+4九则4=；a-b

的最小值为.

6.（2024•天津•二模）在AABC中，AM=2MB<P是MC的中点，延长转交BC于点£>.设福%,AC=b，

_3

则正可用a，B表不为，若4。=木，cos/B4c=《,则AABC面积的最大值为.

参考答案：

1.C

【分析】根据基底的知识确定正确答案.

【详解】依题意，章最不共线，

A选项，不存在；leR使1+最=2「-初，

所以4+区和，-晟可以组成基底.

B选项，不存在;leR使q+2e2=X（e2+2eJ,

6

所以4+2•和£+2冢可以组成基底.

C选项，4e2—6et=—2(3q—2e2j,

所以嘉-21和461不能构成基底.

D选项，不存在2eR使e?=2.2+ej,

所以可和工+1可以组成基底.

故选：C

2.D

【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.

【详解】由己知有|丽|=2,|起|=2,ZABC=60°,

所以丽^=|丽||就|COSNABC=2X2XL=2.

2

已知。是AC的中点，则丽=!(而+配)，BE=-BD=-(BA+BC\BF=FC=-BC,

2362

所以庵=屁-乔」(丽+就)-工交」希-」就，

6263

贝!|丽・丽=(：丽呵卜;呵=一卷丽.而+：济=_\x2+：x4=g.

故选：D.

3.BC

­.1—.1—.

【分析】利用重心性质及向量线性运算得A0=§A3+§AC,即可判断A,此式平方后结合基本不等式，向

量的数量积的定义可求得冷.泥，|福||近|的最大值，直接判断B,再结合三角形面积公式、余弦定理判

断CD.

【详解】。是AASC的重心，延长49交BC于点。，则。是BC中点，

—.2—.21—►—.1—.1—.

AO=-AD=-x-(AB+AC)=-AB+-ACfA错；

—.1.1.

由A0=§A3+§AC得48+就=3而，所以

9AO2=(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB-AC>2|AB||AC|+2AB-AC,

又通./=|通1码8$4=曰同|明,BP|AB||AC|=5AB-AC

所以2X5丽•恁+2丽・ZDV9X22,所以丽•衣V3，当且仅当|西=|恁|时等号成立，B正确；

7

ABA

\^-\AC\='^<15,当且仅当|而|=IM时等号成立，sinA=Vl-cos2

S.ABC=|||AC|sinA<|x15x=376,C正确；

由9而2=（荏+府）2=通2+荔;2+2通.记得网2+国2=36—2超尼=36一|网国，

2222

所以/=/7+C-2Z?CCOSA=|A5|+|AC|-2|AB|-|AC|COSA=36-||AB||AC|>36-1X15=24,

a>246,当且仅当|希卜|明时等号成立，所以。的最小值是2而，D错.

故选：BC.

【分析】对A,由正八边形性质可证而与屈平行，即可由基底定义判断；

对B,由正八边形性质可证Q4LOC,即可由向量数量积与向量垂直的关系判断;

对C,由O4LOC,利用平行四边形法则即可计算；

对D,由恁.①=丽・历+前.历，即可根据向量数量积定义计算

连接BG,CF,由正八边形的性质可知，AH//BG,CF//BG,所以AH〃CF,所以而与方是共线向

量，所以正与前不能构成一组基底，A项错误；

17T____

ZA0C--x2^=-,所以。4_LOC,所以瓦.芯=0，B项正确；

42

因为反_L反，由平行四边形法则可知，OA+OC=y/2OB>C项正确;

13

正八边形的每一个内角为；；x（8-Zjx/ru7Tr，ABLCD,

8v4

所以IS.而=（荏+前）•丽=荏.函+前.丽=|胴『D项错误（或者从正八边形的

8

性质可知衣与①的夹角为锐角，则有尼•①>0可判断D错误）.

故选：BC

5.-/O.50

2

【分析】第一空结合图形由向量的线性运算可得；第二空先由向量的线性运算得到7B=4-场■?，再当两

取得最大值时计算可得.

【详解】由圆的对称性可得。为的中点，

所以甫=丽+而=5+（丽7两■-网=

22

Z/=回+两）.国+网，

因为碗=-丽，

所以79=（而+两）•（而—丽）=丽2_02=4_加\

所以当两取得最大值2时，的最小值为0,;

故答案为：g；0.

—1-1r25

6.AP——ciH—b,—

328

【分析】根据几何关系，表示向量/；设存=彳而，再利用平面向量基本定理表示而，即可求解4,再

根据AD=6,以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.

【详解】由点P是MC的中点，

则衣=；（说+=南+正）=；@+3万；

____k.ULULULU

设丽=4而，BD=JLLBC，

贝丽=；闹+丽卜;（/_南_；矶=；3_+,

^P=~^P-^B=XAD-AB=A（BD-BA）-AB,

=A^JLIBC+=^JLLAC-JLIAB+AB^-AB,

—4〃AC+（4-1——入fdb+（2-1—a,

\1

Au——

所以2，，得4=*5,〃=]3,

9

»5.6>23—

所以AP=—AO,^AD=-AP=-a+-b,

6555

因为4)=太，

_3丫49.2124_29.236山田

所以—a+—br=-a1-\--b2H----a-b=-a2Hb2T----同网，

155J25252525251251111

22x$x同网+:x同忖=慝同代，

即:同中6,即同归卜亮，当|同=纲时，即同=胴=率时等号成立,

11251125425

所以AABC面积的最大值为，£sinNB4C=，£x三=与.

__.1175

故答案为：丽="+花；

32o

反思提升：

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、

减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同

的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

【考点2】平面向量的坐标运算

一、单选题

1.(12-13高一上•黑龙江牡丹江•期末)已知2=(1,1),5=(2,5),2=(3,x),若(82-分2=30,则X=()

A.6B.5C.4D.3

2.(2024•湖南邵阳•一模)如图所示，四边形ABC。是正方形，Af,N分别BC,。。的中点，若

AB=AAM+x/MA,//eR,则22-〃的值为()

10

D.

~3

10

二、多选题

3.（2022•湖北十堰•模拟预测）已知向量薪=（3,4）,1三⑵」一）,则下列结论正确的是（）

A.当f=l时，\m+n\=44i

B.当/>-2时，向量而与向量百的夹角为锐角

C.存在/<0,使得机〃自

D.若而_1_日，贝！|r=-2

4.（2023・全国•模拟预测）如图1是一款家居装饰物一一博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于

书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博

古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1,则下列结论正确的是（）

A.BQLOJ

__,__,___,3

B.^AY=xDV+yHM,贝！］1+>=-5

C.（AY+OjyBQ+2DV-HM=0

'9'

D.设Z为线段AK上任意一点，则应•应的取值范围是--,40

三、填空题

5.（2022・湖南岳阳•三模）设点尸在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动（包含2，C两个端点），0BAC

6.（2020•山西•三模）如图，在回ABC中，AD=2DC,点尸是线段3。上的一个动点.»=根通+〃正，则

m,“满足的等式是.

11

A

参考答案：

1.c

【分析】根据平面向量坐标的线性运算即可求解.

【详解】因为2=(1,1)出=(2,5),"=(3㈤,

所以8Z—石=(8,8)—(2,5)=(6,3),

又(8a-5)-c=3O,c=(3,x),

所以18+3x=30,解得x=4.

故选：C.

2.D

-.4___►2-►

【分析】由平面向量的线性运算可得=即可求出/1,〃，进而求出2力-〃的值.

【详解】AB=AM+MB=AM+CM=AM+^DA

=加+；(丽+网=血+；(；通-病)，

3.1__..4___►2__>

所以一A3=AM--AN,所以A3=—AM--AN,

4233

4?

所以X=§,〃=_§,

,8210

2/1—u=—i—=—.

333

故选：D.

3.AD

【分析】对A,将1代入公式计算即可，对B,利用求向量夹角公式可知要判断夹角性质只需要验证而工结

果，

对C,利用共线向量性质可得，对D,由向量垂直可得.

【详解】当，=1时，m+n=(5,4),所以|而+〃|="T,故A项正确；

3_-

加•〃=6%+4—4%=2才+4,当，>—2时，m-n>0，但当£=77时，向量加与向量〃同向，夹角为。°,故B项

错误;

12

3

若拓〃＞贝h故C项错误；

若说_1_五，贝!J石.胃=0,BP3x2f+4(1—f)=0,解得/=—2,故D项正确.

故选：AD.

4.AD

【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件,

结合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解.

【详解】以A为坐标原点，AD,AJ所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

A选项:易知3(3,0),0(5,4),0(4,8),J(0,10),所以的=(2,4),值7=(-4,2),

贝U丽•少7=2X(T)+4X2=0,所以丽，57,所以A正确.

B选项:易知4(0,0,0),7(7,7),0(12,0),1(10,5),

“(7,0),Af(2,4),所以X?=(7,7),W=(-2,5),W=(-5,-6),

__,__,___,f—2x—5y—774956

所以AY=xZ)V+yHM,得乙，解得％=一y-»所以％+>=一=，所以B错误.

[5x-6y=/n373737

c选项：由选项A,B知ZT+彷=(3,9),贝”行+))•丽=2x3+9x4=42,

©V-W=-5x(-2)+(-6)x5=-20,^AY+Oj\BQ+2DV-HM=2,所以c错误.

D选项:易知K(0,8),U(8,5),设Z(0j)(0W8),则应=(-8,-5),冠=(0j-8),

所以应•立=。一5)。一8)=〃一⑶+40=1-葭)一，因为0<Y8,所以当公当时，匠.我取得最小值

9「9一

一；当/=0时，应.应取得最大值40.所以应•贬的取值范围是--,40,所以D正确.

4L4」

故选：AD.

5.[1,2]

13

【分析】建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标公式，结合辅助角公式和正弦型函数的性质进行

求解即可.

【详解】建立如图所示的直角坐标系,

争),

所以丽=(1,0),正=(一：,乎)，因此有x通+、！??=(丈一gy,

因为AP=(cos6,sin。)，AP=xAB+yAC,

41

cos0^x--y

所以有=>cos6+Gsin6=x+y,

.A6

sin0=——y

2

于是有x+y=cos+^3sin=2sin(0+—),

6

因为同0刍，所以。+2屋，当，所以sin(d+刍品,1],

3o6662

gp(x+j)e[l,2],

故答案为：口,2]

【点睛】关键点睛：建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示公式是题的关键.

6.2m+3n=2

____.1____.____,_____3____»

【分析】由AD=2DC可得AC=5而，结合条件知Q=〃?通+5〃砺，又8、P、。三点共线即可得机，n

的等量关系

一，，一UUIUUUUL,-------►3--------

【详解】ElAr)=2r>C，有AC=]A。

又福=加湿+〃/，即万=相通访

鼬、P、。三点共线

3

团m+—〃=1,即2m+3n=2

2

故答案为：2m+3"=2

【点睛】本题考查了向量的几何应用，结合定比分点-三点共线求参数的等量关系，属于简单题

14

反思提升：

平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主票是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段

两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

（2）解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解.

【考点3】平面向量共线的坐标表示

一、单选题

1.（23-24高二上•四川绵阳•期末）直线2元-3y+l=0的一个方向向量是（）

A.（3,2）B.（2,3）C.（3,-2）D.（2,-3）

2.（2024•河北秦皇岛•二模）己知向量Z=（/”,2"2+3）,B=（l,4加+1）,则=是"£与B共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

二、多选题

3.（2024•山东聊城•二模）已知向量2=（-1,2）石=（1"）,若B在3上的投影向量为Z，则（）

A.A=3B.a//b

c.alp-a）D.Z与B的夹角为45。

4.（2024・甘肃张掖•一模）下列命题错误的是（）

A.对空间任意一点。与不共线的三点A&C,若加=x函+y砺+z灵，其中x,y,zeR且x+y+z=l,

则尸,A3,C四点共面

B.已知方=（1,-1）,5=3,1）,3与5的夹角为钝角，则d的取值范围是4<1

c.若心5共线，则同第=归+目

D.若5共线，则一定存在实数4使得日=瓶

三、填空题

5.（22-23高三上•广西贵港•阶段练习）已知向量与=（3,2机-4）,正=（2,4）,若A,B,C三点共线，则

m=.

6.（2024・江西鹰潭・模拟预测）的三内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,设向量万=（a+c,b）,

q=（b+c,a-c）,若向量万与向量£共线，则角A=.

参考答案：

1.A

15

【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量Z,再求与Z共线的向量即可.

【详解】直线2x-3y+l=o的斜率为G=|,贝IJ直线2x-3y+l=0的一个方向向量。=”,g

对于A,因3x|-1x2=0,即向量（3,2）与［1,|］共线，A是；

对于B,因2x|-1x3/0,即向量（2,3）与不共线，B不是；

对于C,H3x|-lx（-2）^0,即向量（3,—2）与“,gj不共线，C不是；

对于D,因2x|-1x（-3）片0,即向量（2,-3）与［1,1］不共线，D不是.

故选：A.

2.A

【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出加的值，判断得解.

【详解】向量〃=（m,2机+3）,B=加+1）,

若Z与B共线，则加（4加+1）-（2根+3）=0.解得根=一］或根=1,

3

所以，，冽=—［〃是，q与石共线〃的充分不必要条件，

4

故选：A.

3.ACD

【分析】根据投影向量的公式求出力的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.

（1•h。—

【详解】对于A,因为加在Z上的投影向量为Z,即3，•二=。,

l«l\a\

所以十,-1+22

二1

即(舟，解得4=3,故A正确;

对于B,Z=(-l,2)3=(1,3),所以(-1)x3-2xlw0,故B错误；

对于CZ.仅一£)二(一1,2).(2,1)=-2+2=0,所以£J_倒一£),故C正确;

cos<Z,B>=£^=所以Z与B的夹角为45。，故D正确.

对于D,

\a\\b\75x7102

故选:ACD.

4.BCD

【分析】根据空间向量基本定理判断A,根据数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示判断B,利用特

殊值判断C、D.

16

【详解】对于A：因为x+y+z=l,贝i|z=l-x-y,

所以丽=龙次+,历+(l_x—y)玄，^OP-OC=xOA-xOC+yOB-yOC,

所以屈=xE+y而，所以尸,AB,C四点共面，故A正确；

对于B：因为商=(1,T),b=(d,l),。与B的夹角为钝角，

所以无5<0且商与B不共线反向，

若落5<0,则d-lxl<0,解得d<l；

若G与方共线，则lxl=-lxd,解得］=一1,

综上可得d<-l或故B错误；

对于C：若入坂同向且，/,此时曰+q=同+忖，

即问-不成立，故c错误；

对于D：若£=6，］/，显然日与B共线，但是不存在4使得B=2商，故D错误.

故选：BCD

5.5

【分析】由向量共线的坐标表示求解.

【详解】由A,B,C三点共线知荏///，则3x4=(2〃-4)x2,解得根=5.

故答案为：5.

2兀

6.—

3

【分析】由向量共线的坐标运算，na2-c2=b2+bc,利用余弦定理求出cosA,可得角A.

【详解】因为向量万=(。+。力)，Z=S+c,a—c)共线，所以(a+c)(a—c)=b仅+c),

BPa2-c2=b2+be^rb1+C1—a1=—be，

在"IBC中，由余弦定理得，cos'J十:一J』

2bc2

2兀

X0<A<7T,所以A=q.

2兀

故答案为：y.

反思提升：

1.两平面向量共线的充票条件有两种形式：(1)若a=(xi,yi),b=(x2,"),则a〃Z>的充要条件

是xiy2-X2y\=0;

(2)若a〃/方W0),贝尻

17

2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,

也可以利用坐标对应成比例来求解.

.分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•黑龙江•模拟预测）已知在梯形A3C。中，且满足荏=2虎，E为AC中点，尸为线段A3上

靠近点2的三等分点，设初=a,而=6，则访=（）.

21r315111-

A.—a——bB.—a——brC.—a——brD.-a——b

324612226

2.（2023•广东•模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜

蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用

率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则荏=（）

3—.5—.5—-3—.

A.——CE+-DEB.——CE+-DE

2662

2―■5-.5-.2--

C.——CE+-DED.——CE+-DE

3663

3.（2024•陕西•模拟预测）已知两个向量4=（2,-1）,B=（出,m），且（苕+方），（万-5）,则m的值为（）

A.±1B.+^/2C.+2D.+2,y/3

4.(2024•浙江温州•三模)平面向量£=(祖,2)3=(-2,4),若£〃(£-3),贝股"=()

A.-1B.1C.-2D.2

二、多选题

5.（2021・全国•模拟预测）在AABC中，D,E,产分别是边BC,CA,AB的中点，AD,BE,CF交于

点G,贝U()

--1-.1-.

A.EF=-CA--BCB.BE=——AB+-BC

2222

C.AD+BE=FCD.GA+GB+GC=Q

6.（21-22高三上•福建福州•期中）已知平面向量西、OB＞反为三个单位向量，且K•历=0，若

18

OC=xOA+yOB（x,yeR）,则x+y的可能取值为（）

A.0B.1C.0D.2

7.（2023•广东•二模）若平面向量1=5,2）,（1,772-1）,其中〃，加eR,则下列说法正确的是（）

A.若2,+5=(2,6),则洲区

B.若&=-25,则与3同向的单位向量为q^-今

c.若”=1,且G与5的夹角为锐角，则实数机的取值范围为

D.若a/6，则Z=2"+4"*的最小值为4

三、填空题

8.（2024•贵州贵阳,模拟预测）已知向量2=（-1,2）,方=（八T）,则0-2可〃田可,则实数小=.

9.（2024•黑龙江•二模）已知向量4=（1,优），石=（",6）,若5=36，则=.

10.（2023•河南•模拟预测）在平行四边形A3CD中，AD=2AB=2,89_LDC,点M为线段8的中点，

则MAMB=-

四、解答题

11.（23-24高三上•江苏徐州•阶段练习）在AABC中，E为AC的中点，。为边BC上靠近点B的三等分点.

⑴分别用向量福，莅表示向量衣，BE;

（2）若点N满足4丽+2通=3/，证明：B,N,E三点共线.

12.（2023,湖南永州•二模）已知AABC的内角A&C的对边分别为a,b,c,且向量历=（26-a,c）与向量

n=(cosA,cosC)共线.

⑴求C；

（2）若c=6,△ABC的面积为止，求a+6的直

2

参考答案:

1.C

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】如图所示，

AFB

19

由题意可得/=诟+觉=通+工通=万+1万，

22

—.—.—.1—.2—►1，一1'25

而EF=EA+AF=—CA+—AB=——b+—a\+—a=——a—b.

23212J3122

故选：c.

2.B

【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本

定理即得.

【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设AD=2,则8（5,5⑹，D（0,0）,E（9,百），C（0,473）,

故福=（6,4@,CE=（9,-3A/3）,DE=（9,73）,

6=9x+9y

T^AB=xCE+yDE,则

4若=-3氐+岛，

5

x=——

6

解得

3

y=—

2

—.5--3—►

所以AB=——CE+-DE.

62

故选：B.

3.B

【分析】利用垂直关系的向量表示，结合模的坐标表示求解即得.

【详解】由（且+5），（万一5）,得（&+B>（"5）=0,则乐=庐，即村|=>|,

因此"2?+（-1）2=«厨+后,所以仙=±0.

故选：B

4.A

20

【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.

【详解】a-b=(m+2,-2),由于£〃仅-可，所以一2〃?=2(m+2),解得力=T,

故选：A

5.BCD

【分析】由向量的数乘运算判断A；由平行四边形法则判断B；根据向量的加减法以及数乘运算判断C；由

重心的性质结合数乘以及平行四边形法则判断D.

—,1-,1―,

【详解】因为E,F分别是边BC,CA,A3的中点，所以取=彳C3=-；2C,故A错误；

22

—.1—,1—,1—.1—.

由平行四边形法则可知，BE=-BC+-BA^--AB+-BC,故B正确；

2222

FC=^C-