2025年高考数学一轮复习讲义：排列与组合（原卷版）

专题59排列与组合（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】排列问题..........................................................4

【考点2】组合问题..........................................................5

【考点31排列与组合的综合问题...............................................6

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

考试要求：

1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

2.能解决简单的实际问题.

知识梳理

1.排列与组合的概念

名称定义

并按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个

排列从〃个不同元素

元素中取出机个元素的一个排列

中取出m（mWn）

作为一组，叫做从n个不同元素中取出m

组合个元素

个元素的一个组合

2.排列数与组合数

（1）从n个不同元素中取出mOnW”）个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出

加个元素的排列数，用符号AT表示.

⑵从n个不同元素中取出"?（mW"）个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出

加个元素的组合数，用符号CT表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

12!

(1)A伊一〃(〃一1)(及一2>・・(〃一加十—加].

A伊n(〃-1)(〃-2)…(n—m+1)

公式⑵-A厂加

_।1一("，加£N*,且加特别地C2—1

加kn—m)!

(1)0!=1；A[="！.

性质

(2)c俄=c「m；a=c^+a-i

I常用结论

1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分类时标准应统

一,避免出现重复或遗漏.

2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.

真题自测

一、单选题

1.（2024•全国•高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

2

2.（2023•全国•高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样

调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,

则不同的抽样结果共有（）•

A.C-C器种B.C2.C或种

D.C%C北种

3.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

4.（2023•全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120

5.（2022・全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

6.（2022•全国•高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

、填空题

7.（2024•全国•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中,

则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

8.（2024•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,

每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，”为取出的三个球上数字的平均值，则加与”之差

的绝对值不大于1的概率为

2

9.（2023•全国•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

3

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

10.（2022•全国•高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为.

考点突破

【考点1］排列问题

一、单选题

1.（2023•辽宁•三模）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，

每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（）

A.36种B.30种C.24种D.12种

2.（23-24高三上•山西运城•期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，

这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛，

且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）

A.150种B.300种C.720种D.1008种

二、多选题

3.（2024•江苏•模拟预测）若相，a为正整数且场>m>1,则（）

A.C；=C；B.C号

C,m黑=5-1）以二D.A：+mA；T=A：M

4.（23-24高二上•辽宁辽阳•期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总

共4节课，下列结论正确的是（）

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

三、填空题

5.（2024・全国,模拟预测）2023年10月18日，第三届"一带一路"国际合作高峰论坛在北京举行.在“一带

一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文

化.这次晚宴菜单中有"全家福""沙葱牛肉""北京烤鸭""什锦鲜蔬""冰花锅贴""蟹黄烧麦""天鹅酥""象形枇

杷".假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则"沙葱牛肉""北京烤鸭"相邻的概率

为.

6.（2024•广西•模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为"琮琮""莲莲""宸宸"，是一组承载深厚

4

底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中"琮琮""莲莲"和"宸宸"各2

个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有.

（用数字作答）

反思提升：

排列应用问题的分类与解法

（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时

一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多

的问题可以采用间接法.

（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件

的排列问题的常用方法.

【考点2】组合问题

一、单选题

1.（2024•河南•模拟预测）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，

则不同的分配方案种数为（）

A.56B.84C.126D.210

2.（2024•河南商丘•模拟预测）若S（"）=£

————，则S(98)=()

k=0(Z+l)(k+2)

2WI102100100

A-B2-101r2-101c2"-100

1020010200~99009900

二、多选题

3.（2023•吉林•三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（）

A.若4人中男生女生各选2人，则有18种选法

B.若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法

C.若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法

D.若4人中既有男生又有女生，则有34种选法

4.（2024・河南信阳・二模）下列命题中真命题是（）

A.设一组数据玉,马,••,的平均数为"方差为$2,则⑴2

"1=1

B.将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法

C.一组数据148,149,154,155,155,156,157,158,159,161的第75百分位数为158

D.已知随机变量X的分布列为尸（X=i）=瑞j（；l,2,3,,100）,则。=粉

三、填空题

5.（2024・湖北•二模）己知x,y,zeN*,且y>2,z>3,则方程x+y+z=10的解的组数为.

6.（2024・广东•模拟预测）将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位

5

数比乙组的中位数小1,则不同的平分方法共有种.

反思提升：

组合问题常有以下两类题型变化：

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元

素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多

这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复

杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【考点3】排列与组合的综合问题

一、单选题

1.（22-23高三下•湖北•阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A,民C三

个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率

为（）

,19310025

A.B.C.-D.一

24324339

2.（22-23高三下•江苏苏州•开学考试）将六枚棋子A,B,C,D,E,尸放置在2x3的棋盘中，并用红、黄、

蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A,8的颜

色必须相同，则一共有（）种不同的放置与上色方式

A.11232B.10483C.10368D.5616

二、多选题

3.（21-22高二•全国•单元测试）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C：种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有C：C；种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C；A：种不同的放法

三、填空题

4.（202牛广东佛山•二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站

的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下

车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是.

5.（2023・广东汕头•三模）现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个

闸机都要有入经过，则有种不同的进站方式（用数字作答）

反思提升：

6

（1）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件

的排列问题的常用方法.

（2）对于分堆与分配问题应注意三点

①处理分配问题要注意先分堆再分配.

②被分配的元素是不同的.

③分堆时要注意是否均匀.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・贵州・三模）2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖

北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少

有一名同学，则不同的站法有（）种.

A.48B.64C.72D.120

2.（2024•广东深圳•二模）已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，

丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（）

A.72种B.96种C.144种D.288种

3.（2024•河北邯郸•二模）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2

个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）

A.12B.18C.20D.60.

4.（2024・山东烟台•一模）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放

2个小球，则不同放法的种数为（）

A.3B.6C.10D.15

二、多选题

5.（23-24高三上•福建厦门•期中）以下结论中，正确的是（）

A.若复数z（l—3i）=2-i,则$

B.若复数z满足|z-2i|=l,则忖的最大值为3

C.己知复数2=。+为，其中ae{—2,0,1}4€{0,1,4,9},则复数2=。+历是纯虚数的概率为；

D.A,B,C,D,E五名学生按任意次序站成一排，则A和8站两端的概率为£

6.（2023•湖北武汉•一模）已知离散型随机变量X服从二项分布3（"，P），其中〃eN*,0<p<l,记X为奇

7

数的概率为〃，X为偶数的概率为b,则下列说法中正确的有（）

A.a+b=\B.〃=5时,a=b

C.0<p<1■时，。随着”的增大而增大D.；<P<1时，a随着〃的增大而减小

7.（2024•山东青岛•一模）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,

设事件A="取出的球的数字之积为奇数"，事件3="取出的球的数字之积为偶数"，事件C="取出的球的数

字之和为偶数”，则（）

A.事件A与B是互斥事件B.事件A与8是对立事件

C.事件3与C是互斥事件D.事件8与C相互独立

三、填空题

8.（23-24高三上•甘肃兰州•阶段练习）校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会

将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承

担铅球记录工作，则不同的安排方法共有种.

9.（2024・广西•二模）智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械

进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计

划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，

则共有种不同的选择方案.

10.（2024•河南郑州•一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕.世界

5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办.本次大会以"5G变革共绘未来”为主题，以持续推

动5G不断演进创新为目标.现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高

层次、高水平交流研讨.为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作.现

从包含甲、乙的6人中选派4人参与"签到组"、"服务组"、"物料组"、"机动组”四个不同的岗位工作，每人

去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去"签到组"的选派方法共有