2025年高考数学一轮复习讲义：两条直线的位置关系（解析版）

专题44两条直线的位置关系（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................7

【考点1］两直线的平行与垂直.................................................7

【考点2］两直线的交点与距离问题............................................13

【考点3］对称问题..........................................................16

【考点4】直线系方程的应用..................................................24

【分层检测】...............................................................28

【基础篇】.................................................................28

【能力篇】.................................................................36

【培优篇】.................................................................38

考试要求：

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

M知识梳理

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线A,h,其斜率分别为上，ki,则有/i〃/2=&三七.特别地，当直线3

/2的斜率都不存在时，与/2平行.

⑵两条直线垂直

如果两条直线/1,/2斜率都存在，设为匕，左2,则llLbOkl•k2=—l,当一条直线斜率为零，

另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系

(1)两直线的交点

点P的坐标既满足直线h的方程AIX+BIJ+CI=O＞也满足直线h的方程A2x+&y+C2=0,

Aix+&y+Ci=O,

即点P的坐标是方程组，c的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点

〔42%+3+。2=0------

坐标.

⑵两直线的位置关系

fAix+Biy+Ci=O,

方程组L的解一组无数组无解

[A2X~rB2y+Q=0

直线/1与/2的公共点的个数一个无数个零个

直线Z1与h的位置关系相交重合平行

3.距离公式

⑴两点间的距离公式

平面上任意两点P1(X1,yi),P2(X2,丫2)间的距离公式为|P1P2|=、/(X2—~X1)2+(Y2—

特别地，原点。(0,0)与任一点P(x,y)的距离I。尸l=、/G+y2.

⑵点到直线的距离公式

|Aro+5yo+C]

平面上任意一点Po(xo,yo)到直线/：Ax+Bv+C=0的距离d=

A/A2+B2

⑶两条平行线间的距离公式

Ig-Ql

一■般地，两条平行直线/i：Ar+By+Ci=0,Z2：Ax+By+C2=0间的距曷d='在十房

4.对称问题

2

(1)点P(xo,yo)关于点A(a,b)的对称点为P'(2a—xo,2b—yo).

⑵设点P（xo,yo）关于直线厂质+6的对称点为PH，办则有<,,可求出

y十加,x'十xo

口一=%•一•+"，

x',y'.

I常用结论

1."直线Aix+B\y+Ci=0,Avc+B2y+C2=0平行”的充要条件是aAiB2=A2B1且

A1C2WA2C1"，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+H1&”=0.

2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.

.L真题自测

一、单选题

1.（2024全国高考真题）已知6是4,。的等差中项，直线依+勿+C=0与圆/+）；2+43；_1=0交于4,2两点，

则|4用的最小值为（）

A.1B.2C.4D.26

2.（2024•北京•高考真题）圆元2+/一2x+6y=0的圆心到直线》->+2=0的距离为（）

A.&B.2C.3D.3A/2

3.（2024•全国•高考真题）已知直线办+勿-4+26=。与圆C：V+/+4y-1=0交于两点，贝的最

小值为（）

A.2B.3C.4D.6

二、填空题

x+2,x<-a,

4.（2023・北京•高考真题）设。>0,函数/（尤）=，而予尤W。,，给出下列四个结论：

~y[x-1,尤>a.

①/（无）在区间m-1,+刃）上单调递减；

②当时，/（X）存在最大值；

③设14abN（孙电））（巧>a）,则I初W>1；

④设可七,〃毛»（工3〈-”）。（%/（%»（七"江若IPQI存在最小值，则a的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是.

参考答案：

1.C

3

【分析】结合等差数列性质将C代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为。也C成等差数列，所以2b=o+c,c=2b-a,代入直线方程方+勿+c=0得

x-l=Ox=\

ax+by+2b-a=0,即Q(x-l)+Z?(y+2)=0,令得

7+2=0j=-2'

故直线恒过(-2),设P。,-2),圆化为标准方程得：C:炉+(y+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当时，|48|最小,

|PC|=1,\AC\=W=逐，此时\AB\=2\AP\=2A/AC2-PC2=2A/5^T=4.

2.D

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.

【详解】由题意得Y+y2-2x+6y=0,即(x-l)?+(y+3)-=10,

|1—3)+2lr—

则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线X-y+2=0的距离为=312

故选：D.

3.C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点尸(1,-2),从而可得当「。，的时，|48|的最小，结合勾股定理

代入计算，即可求解.

【详解】因为直线方+勿-。+2/?=0,即a(x—l)+b(y+2)=0,令工一1=0,

则x=l,y=-2,所以直线过定点(1,一2),设网1,一2),

将圆C：V+V+4＞一1=0化为标准式为炉+(丫+2)2=5,

所以圆心C(0,—2),半径一石，\PC\=l

当PCLA?时，|48|的最小，

4

止匕时|=2Jr2TBe2=2义行=1=4.

故选：c

4.②③

【分析】先分析/'(x)的图像，再逐一分析各结论；对于①，取。=:，结合图像即可判断；对于②，分段

讨论F5)的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取结合图像

可知此时归9存在最小值，从而得以判断.

【详解】依题意，a>0,

当x<-a时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-时，f(x)={a—,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上方的图像(即半圆)；

当时，=易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

显然，当xe—),即时，在［g,。］上单调递增，故①错误；

对于②，当时，

当工<—〃时，%)=X+2V—Q+2<1；

当-，<无时，f显然取得最大值a；

当x>〃时，于(x)=—\［x-1<—y/u_1<—2,

综上：/(%)取得最大值〃，故②正确；

对于③，结合图像，易知在玉=〃，尤2且接近于％="处，”，/(石》(石<a)，N(九2，/(%2))(%2>。)的

距离最小，

5

当否=a时，y=/(&)=o,当尤2>4且接近于x=a处，y2=f(x2)<-4a-1,

此时，|加|>%-%>6+1>1，故③正确;

因为尸（W，/（W））（W<-。）,。卜4，/（%））（々2-。），

结合图像可知，要使|尸。|取得最小值，则点尸在“x）=x+2（x〈-。上，点Q在

以小居可-如事

同时|「。|的最小值为点。到小）=了+21<-£|的距离减去半圆的半径。，

此时，因为/（尤）=〉=工+21<-*）的斜率为1,贝故直线OP的方程为丫=一x,

\y=-x\x=—\/、

联立’,解得1,则P-M）,

[y=x+2[y=l

显然尸（-1,1）在/（X）=X+2（X<-£|上，满足|PQ|取得最小值，

即a=g也满足「。|存在最小值，故.的取值范围不仅仅是]。[,故④错误.

故答案为：②③.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得"%）的图像，特别是当-aWxWa时，/（x）=J。2一元2的图像

为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.

6

考点突破

【考点1］两直线的平行与垂直

一、单选题

1.（23-24高三上■陕西西安•阶段练习）已知直线7nx+2y+〃z+2=0与直线4x+（ffi+2）y+27〃+4=0平行，

则m的值为（）

A.4B.-4C.2或TD.一2或4

2.（23-24高二上•山东•阶段练习）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、

重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知VABC的顶点若直线

/:ox+（a-3）y+l=0与VABC的欧拉线垂直，则直线/与VABC的欧拉线的交点坐标为（）

]_3J_3j__3]_3

A.B.C.，D.

5555,55-555

二、多选题

3.（2022•广东•一模）下列说法正确的是（）

A.已知直线小（左-3）x+（4-k）y+l=0与4：2（03）x-2y+3=0平行，则上的值是3

B.直线履-y-左=。与圆尤2+9=2的位置关系为相交

C.圆Y+/+2尤+4、-3=0上至IJ直线无+y+l=。的距离为&的点共有3个

D.已知AC、BO为圆O:/+>2=4的两条相互垂直的弦，垂足为后），则四边形A8CD的面积的

最大值为10

4.（23-24高三下•河南濮阳,开学考试）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥

曲线的一些性质，例如，若点A是双曲线C（4，B为C的两个焦点）上的一点，则C在点A处的切线平分

22

々他.已知双曲线的左、右焦点分别为GB，直线/为。在其上一点A（4&2正）处的切线,

则下列结论中正确的是（）

A.C的一条渐近线与直线y+3=。相互垂直

B.若点3在直线/上，且「BLAB,则|。回=2及（。为坐标原点）

C.直线’的方程为若彳_q/_4=0

延长明交C于点尸'则的内切圆圆心在直线.手上

D.

三、填空题

5.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知P,。是抛物线C:/=8x上的两个动点，A（2,4）,直线AP的斜率

7

与直线AQ的斜率之和为4,若直线P。与直线/：X-丫+1=0平行，则直线P。与/之间的距离等于.

6.(2023•海南•模拟预测)已知直线4：x-3y+l=O,直线4过点(1,0)且与直线乙相互垂直，圆

C-.x2+y2-4x-2y-3=0,若直线4与圆C交于N两点，则|肱V|=.

参考答案：

1.B

【分析】根据两直线平行得到根(根+2)=2X4,求出机的值，再检验即可.

【详角星】因为直线mx+2y+m+2=0与直线4x+(机+2)y+2机+4=。平行，

所以根("2+2)=2义4,解得力=2或徵=-4,

当帆=2时直线2x+2y+4=0与直线4x+4y+8=0重合，不符合题意;

当m=T时直线一4x+2y-2=0与直线4x—2y—4=0平行.

故选:B

2.B

【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线/方程，后可得交点坐标.

【详解】由VA5c的顶点坐标，可知其重心为

注意到心B=0,直线3。斜率不存在，则VABC为直角三角形,

11

y——x——

11

则其垂心为其直角顶点5(1,0),则VABC欧拉线方程为：-1=———X+一.

22

0——1--

33

一Q1

因其与Z:ar+(a-3)y+l=0=>y=------x---------垂直，贝【J—^-=2=>a=2.

a—3Q—3a—3

1

11x=——

y=——x+—，即交点为

则/:y=2x+l,则直线/与VA3C的欧拉线的交点坐标满足；22A3$?1}

y=2x+l

故选：B

3.BC

【分析】A由直线平行的判定求参数，注意验证是否重合；B根据直线所过的定点与圆的位置关系判断即可;

C由圆心到直线的距离与半径的关系即可判断；D设圆心0(0,0)到AC,m的距离分别为以“，则

m2+n2=1OM|2=3及=^\AC\\BD\,结合基本不等式求最大值即可判断.

【详解】A：由平行知：2(无-3)(4-k)+2/-3)=2("3)(5-k)=0,则==3或左=5,当。=3时有4：?+1=0,

6：3—2y=0满足题设，当k=5时有(：2x_y+l=0,右：4x—2y+3=0满足题设，故左=3或左=5,错误；

8

B:由丘-y-左=。过定点(1,0),而(1,0)在圆f+y2=2内，故它们的关系为相交，正确；

C：由题设知：圆的标准方程为(x+l)2+(y+2)2=8,则圆心为(T,-2),半径为2夜，所以圆心到x+y+l=0

距离为血，易知圆上点到直线距离为行的点共有3个，正确；

D：设圆心0(0,0)到AC,3D的距离分别为则疗+"=|OM|2=3,又AC,2D相互垂直，所以

AC||80=2j(4-4)(4一/)=2〃+加“2，而加+/=322加〃，即加〃W|当且仅当加=〃=当时

等号成立，故(SAB6)max=5,故错误.

故选：BC

4.ABD

【分析】根据双曲线方程即可求出渐近线可判断A,由角平分线性质可得G点坐标，求出直线/方程可判断

C,设出8点坐标由条件可判断B,假设用的内切圆圆心在直线为=逋上，由内心性质可判断D.

3

【详解】选项A：双曲线c：《-M=1的一条渐近线方程为y=—1%与后_y+3=0相互垂直，故A正

842

确；

选项BC：因为。=2«",6=2,所以C=2>/5,耳卜工(2A^,0),

\AF\=’(4肉2厨+(2扃=8亚，1=472,

所以,

又韶栩吃所以G'4)所以k「-k娟一二指2一小干一一屈§，

后(,O，__

直线/：y=X-----,即8次一百y-2=0,故C错误，

(瓜一2、瓜-2广

设B,则一小5,化简得：x=-5

(心J、-与百一忑I

所以网-6,-6)，则|。因=20,故B正确；

2⑻,

12^/3

解得=4A/3,

7

9

12732A/5

所以尸

所以直线P£:y=

因为△APG的内切圆圆心在直线直线/：>=坐x一孚］上，若又在直线尤=生叵上,

5I3J3

/厂/~、

则内切圆圆心为殍，手，圆心到直线转：疝53丁-6方=0的距离为：

岳义弋一3义堂一6小

4回，

J15+915

圆心到直线尸£:岳x+39y+6宕=0的距离为：

Ax逑+39x涯+6君「

354A/30,即4=4，

a=-------/------=----

2V15+39*215

「4C2代、「462C

所以点与，三一也在/AP片的角平分线上，即点三,三一为AAPK的内切圆

圆心，圆心在直线x=±叵上，故D正确；

3

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：充分利用角平分线的性质得出G点坐标，根据直线垂直关系及点到直线距离公式可

判断各项.

【分析】设出直线尸。的方程，联立曲线，可得与纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理转换题目条件计算可

得直线PQ所过定点，或结合直线P。与直线/：X-y+1=0平行可得具体方程，后借助平行线间的距离公式

计算即可得..

【详解】法一：

显然直线尸。的斜率不为0,故可设PQ：x=my+f,

10

,可得y2-Smy-81=0,

x=my+t

如图，设P(%i，yi),Q(x2,y2)f贝！|%+为=8九%%=一8%

所以A>0=>64m2+32/>0n2m2+，>0,

kJ_4_y「4_8&

则”占-2y；%+4,^kQA=——,

----L>2十今

所以2(%+%)+16=%%+4(%+%)+16,则%%=-2(%+%)，

即，=2〃z,直线尸Q:x=%+2相=?"(y+2),故直线尸。恒过定点(0,-2).

故当直线尸。与直线无-y+i=o平行时，

两直线之间的距离等于定点(0,-2)到直线X-y+1=0的距离，

削-2)+1|二逑

法二：

由题意，设尸Q：x-y+机=。，

,[y2=Sx

由《，得y?-8y+8m=0,

[x—y+m=0

由A=64—32相>0,解得机<2.

/2\/2A

设尸今,％,Q>,y2,则%+%=8,M%=8—又42,4),

8(%+必+8)

%+4%+4%%+4(%+%)+16m+6>

由题意，上=4,解得机=-2,故两平行直线之间的距离为艮口划=述.

11

故答案为：迈.

2

u8而

O.-------------

5

【分析】根据题意求得直线的方程为3x+y-3=0,以及圆C的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即

可求解.

【详解】由直线4：x-3y+l=O,可得斜率匕=g,

因为4,4且直线k过点。，0），所以直线4的斜率为月=-3,

所以4的方程为3x+y-3=O,

又由圆C:/+y2-4x-2y-3=0,BPC:(x-2)2+(y-l)2=8,

可得圆C的圆心坐标为C（2,D,半径为r=2A/^,

|2x3+l-3|4

则圆心C到直线4的距离为口」I,「二下，

V32+l2Vio

所以弦长\MN\=2介一/=2j（20y-（木子8M

5

故答案为：殳他.

5

反思提升：

1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情

况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还栗注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条

件.

2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

【考点2】两直线的交点与距离问题

一、单选题

1.（2023•北京东城•二模）已知三条直线4：x-2y+2=O,4：x-2=0,4：x+@=0将平面分为六个部分,

则满足条件的上的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

2.（24-25高三上•河南焦作•开学考试）已知点A12p+l,3p+；］在抛物线。:/=2外（0>0）上，则C的焦

点与点（1,2）之间的距离为（）

A.4B.75C.2D.72

二、多选题

3.（2023•河北•模拟预测）己知函数〃尤）=若直线/：>=丘+仇6>1）与函数/。）在［-1,1］

12

上有1个公共点，在（1,3］上有2个公共点，则上2+^2的值不可能为（）

654

A.1B.—C.—D.一

543

4.（2024•甘肃定西•一模）下列命题为真命题的是（）

A./尤2-4尤-8，^+^+卜-1|的最小值是2

B.QX。-4无一8，一x+4+的最小值是

C.6—4x—8Q+4+&—2x—4日+2的最小值是也

D.^/x2—4x—8A/—x+4+y/x1—2x—4y/—x+2的最小值是6

三、填空题

5.（2024・山东•二模）过直线x+y+l=0和3x—y-3=O的交点，倾斜角为45。的直线方程为.

6.（2022・江苏•模拟预测）过抛物线4=M（W<0）的焦点F作圆C®+3）2+（y+3）2=16的切线,切点为尸.

若|（?/|=后，贝！||尸尸|=,m=.

参考答案：

1.C

【分析】考虑三条直线交于一点或4与4或‘2平行时，满足条件，求出答案.

【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

（=2

联立（：尤-2y+2=0与6：尤-2=0,解得《x,

一［）=2

fx=2

贝IJ将《"代入Qx+初=。中，2左+2=0,解得上=一1,

［y=2

当4：x+⑥7=0与4：x—2>+2=。平行时，满足要求，此时左=一2,

当4：x+@=0与4：尤-2=0平行时，满足要求，此时左=0,

综上，满足条件的女的值共有3个.

故选:C

2.D

【分析】根据A在抛物线上可求P的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.

【详解】因为A在抛物线上，故（20+1）2=2°90+；］,

整理得到：4/+40+1=6/+§即202-?-1=0,

解得P=2或。=-;（舍），故焦点坐标为（0,1）,

13

故选：D.

3.AD

【分析】作出函数/(%)的图象，由直线/：y=^+AS>D与函数〃%)在［-U］上有1个公共点，可得

b2=k2+l,又在(1,3］上有2个公共点，可得蛛+人<1且女+20,计算可得人2+尸的取值范围.

【详解】作出函数“尤)=二的图象如图所示,

一2|,1<尤43

y=kx+b

-1O13个x

.直线/：y=履+仇〃>1）与函数/（X）在［-1,1］上有1个公共点,

.,./:y=fac+bS>l）与圆x?+;/=1在x轴上方的半圆相切，

\b\,

：.^===1,即〃=F+i,

收+1

.直线/：y=H+63>i）与在（L3］上有2个公共点,

2k+8v1且3左+）20,

:.k<0^.b>-3k,:.b2>9k2,:.k2+l>9k2,■-0<k2<1,

8

222

fc+h=2fc+lefl,-.

故选：AD.

4.BC

【分析】利用两点距离公式将题干中复杂式子转化为几个点间的距离，结合抛物线的定义，作出图形，数

形结合即可得解.

【详解】设4(0,2),8(-1,1),歹(一1,0),2国7^),

易知点P的轨迹是抛物线/=-4x的上半部分，

抛物线y=_4x的准线为直线X=1,P到准线的距离d=\x-l\,F为抛物线V=-4x的焦点,

14

对于AB;&-4X-8Q+4+1x-11=G+或不+d

=|PA\+d=|^A|+|PF|>|AF\=y/5,

所以"尤2—4x—81ji+4+|x—11的最小值为小，故A错误，B正确；

对于CD,y/x2-4x-8y/-x+4+\lx2-2x-4y[^x+2

=&+好不否+J(X+1)2+G/^-1)2=|PA|+|PB|>|AB|=V2-

所以Jx?—4x—8>/=^+4+Jx2—2x-4y/M+2的最小值是，故C正确，D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是转化根号内的式子，联想到两点距离公式，从而数形结合即可得

解.

5.y=x-2

【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.

【详解】联立x+y+l=O与3x-y-3=0可得尤=”1=一3.

故交点为倾斜角为45。，所以斜率为1,

31

故直线方程为>+即>=无一2,

故答案为：y=x-2

6.3a-32

【分析】利用切线长公式可得I尸可，然后利用两点间距离公式可得加.

【详解】由题可知抛物线y2=m(m<0)的焦点为歹圆心c的坐标为(-3,-3),圆C的半径厂=4,

所以|PF|=-/=3④.

S|CF|=.R+3|+(0+3>=后，

解得m=-32或相=8.

15

又加<0,所以根=—32.

故答案为：3TL-32.

反思提升：

(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线

方程.

(2)利用距离公式应注意：①点P(xo,")到直线x=a的距离d=\xo~a\,到直线y=b的距离d

=|yo-/7|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.

【考点3】对称问题

一、单选题

1.(2024•天津和平•二模)过直线>=无上的点尸作圆C：(x+3y+(y-5)2=4的两条切线4,12,当直线4，

右关于直线丫=了对称时，点尸的坐标为()

A.(1,1)

2.(2024•重庆沙坪坝•模拟预测)设直线l:x+y-l=0,一束光线从原点。出发沿射线y=kx(x^0)向

直线/射出，经/反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与丫轴交于点N.若

史，贝Ik的值为()

1126

32

A.-B.一

23

11

C.—D.—

23

二、多选题

3.(23-24高三上•重庆•阶段练习)已知圆G:(x+iy+(y-2)2=3,直线/:〃zx-"y=0(纵”eR且加,〃不同

时为0),下列说法正确的是()

A.当直线/经过(-M)时，直线/与圆G相交所得弦长为

B.当机=0时，直线/'与/关于点G对称，贝”的方程为：，=4

C.当”=0时，圆G上存在4个点到直线/的距离为血

D.过点G与/平行的直线方程为：mx-ny-m-2n=Q

4.(23-24高二上•广东东莞•期中)已知直线/：x-2y+8=0和三点A(2,0),B(-2.-4),C(2,5),过点C的直线

4与x轴、y轴的正半轴交于N两点.下列结论正确的是()

A.P在直线/上，贝“%|+归口的最小值为40

B.直线/上一点尸(12,10)使|阿一网|最大

16

UUUUlInui

C.当|CM|・|CN|最小时乙的方程是x+y—7=。

UUULUUULL

D.当||•|ON|最小时4的方程是5x+y-15=0

三、填空题

5.（2023・福建厦门•模拟预测）已知直线入3》-4丫-4=0关于直线4的对称直线为'轴，则4的方程

为

6.（23-24高二上•福建三明•阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热

情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富,

艺术性最强的一部分.唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说："白日登山望烽火，黄昏饮马傍交

河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一"将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边

饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A（2.4）,军营所在位

置为8（6,2）,河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（"将军饮马”）

的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为.

参考答案:

1.A

【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.

【详解】圆C：（x+3）2+（y-5）2=4的圆心为C（-3,5）,

直线4,4关于直线y=x对称时，CP与直线Y=x垂直,

所以直线CP的方程为＞_5=_（%+3）,尤+y_2=0,

x+y-2=0x—1/、

由解得yT，所以尸a）

y=x

故选：A.

2.B

【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求。关于直线/的对称点A,后求直线相，可得M、N两点坐

标，进而由=姮可得h

116

17

【详解】

，即A。』),

由题意知y=Ax(x»O)与直线/不平行，故无力-1,

y=kx

%+>—1=0

故直线AP的斜率为kAP=阡」=；,

--1卜

k+1

直线"的直线方程为：y-l=1(x-l),

K

令y=0得尤=1一左，故A/(l—左,0),

令x=0得y=l-:，故由对称性可得N-1],

由|MN卜手得(1一左=1|,即|上+:1-2^+|^=||,

解得%+；1=1?3,得上"2或左二3,

k632

3

若k=j,则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件.

故'=j

18

故选：B.

3.AB

【分析】对于A选项：利用直线/经过得到x+y=0,求出圆心到直线的距离，借助圆的弦长公式计

算即可；

对于B选项：利用直线关于点对称的直线的求法，求解即可；

对于C选项：借助圆心到直线的距离，半径，以及圆上的点到直线的距离的大小关系判断即可；

对于D选项：借助直线平行的相关知识，求出与之平行的直线即可.

【详解】因为圆G:(x+iy+(y_2)2=3,所以圆心为(—1,2),半径r=

对于A选项：因为直线/经过(-1,1),所以〃2+〃=0,l:x+y=O,

所以圆心到直线的距离为d=I"。=§

^12+122

直线/与圆G相交所得弦长为2〃一/=2CI,故A选项正确；

对于B选项：当机=0时，直线/：y=0,因为直线/'与/关于点G对称，所以直线，与/平行，由于G(T,2)到

/：y=0的距离为2,所以G(-1,2)到I'的距离也为2,

所以/'的方程为：y=4,故B选项正确；

对于C选项：当〃=0时，直线/:x=0,此时圆心G(-L2)到直线的距离为4=1,

由于半径厂=百，

所以在直线/：x=0的右侧：：•_〃=退-1〈应，所以在直线/:x=0的右侧不存在满足条件的点；

在直线/:x=0的左侧：r+d=G+l＞应，所以在直线/:尤=0的左侧存在满足条件的点有2个；

所以圆G上只存在2个点到直线/的距离为0,故C选项错误；

对于D选项：过点G(-l,2)与/平行的直线方程可设为：7M-利+。=0,

将点G(T,2)代入，所以T〃-2〃+C=0,BPc=m+2n,

所以过点G(-1,2)与/平行的直线方程为：mx-ny+m+2n=0,故D选项错误.

故选：AB.

19

【分析】对于A：求出点B关于直线/的对称点亚“㈤,然后通过|山+|尸耳=|图+|尸叫引"1求最小值;

对于B：通过归国当三点共线时取最大值来求解；对于C：设4：y=Mx-2)+5,左＜0,

UUU1UUUUUUUIUUUU

求出M,N坐标，表示出|CM|・|CN|,利用基本不等式求最小值；对于D：表示出|OM|.|ON|,利用基本

不等式求最小值.

【详解】对于A：设点8关于直线/的对称点为"的,〃),

n+41,

m+223836A

，解得B'

-2+m--4+n„M三

-----------2x---------+8o=0J

.".|PA|+|PB|=|PA|+|PB,|>\AB'\

当A8',P三点共线时取最小值.A错误;

对于B：归m-|到闫明，当A民尸三点共线时取最大值,

4

又：y=w（x-2）,即x-y-2=o,

x—y—2=0

联立解得％=12,y=10,

x—2y+8=0

即直线/上一点尸(12,10)使11PBl-网|最大，B正确;

20

p.

对于C：设4:丁=左(%—2)+5,左<0,

当x=O时，y=-2k+5,当y=。时，x=-^-+2,

k

即M1—7+2,O),N(O,—2%+5),

当且仅当，=产，即左=T时等号成立，

此时4：V=—(%—2)+5,即x+y—7=0,C正确;

ixumuuu*2525

对于D：|OM|・|ON|+5)=20+——+4(-k)>20+2——x4(—左)二40,

—ky—k

当且仅当彳=4(-k),即左=-：时等号成立，

KZ

止匕时小〉=_|(尤_2)+5,即5x+2y-20=0,D错误.

故选：BC.

5.,=2了_］或y=一；x—l

【分析】根据题意，求出4与轴的交点，设出直线乙的方程，根据点关于直线4的对称点在y轴上，列出

方程，即可得到结果.

【详解】

21

设直线4的方程为y=kx-\,则M关于直线k的对称点N（a,b）在y轴上,

所以0=0,则跖V的中点Q仁号在直线4上，所以/―-①，

l=b-0

又一7二一②，联立①②可得上=2或%