2025年高考数学一轮复习讲义：定值问题（原卷版）

专题52定值问题（新高考专用）

目录

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................2

【考点1】长度或距离为定值...................................................2

【考点2】斜率或其表达式为定值..............................................4

【考点3］几何图形的面积为定值..............................................6

【分层检测】................................................................7

【基础篇】..................................................................7

【能力篇】.................................................................10

【培优篇】.................................................................10

真题自测

一、解答题

L(2024•全国•高考真题)已知椭圆C：5+，=l(a>6>0)的右焦点为尸，点在C上，且MF口轴.

⑴求C的方程；

⑵过点尸(4,0)的直线交C于A3两点，N为线段万的中点，直线N3交直线初尸于点。，证明：轴.

2.(2023•全国•高考真题)已知椭圆C:£+==l(a>b>0)的离心率是好，点A(-2,0)在C上.

ab3

⑴求C的方程；

⑵过点(-2,3)的直线交C于尸,。两点，直线AP,A。与y轴的交点分别为M,N,证明：线段MN的中点为定

点.

3.(2023•北京・高考真题)己知椭圆E：1+，=l(a>6>0)的离心率为冬A、C分别是E的上、下顶点，

B,。分别是E的左、右顶点，14cl=4.

⑴求E的方程；

(2)设尸为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点直线出与直线、=-2交于点N.求证:

MN//CD.

4.(2022•全国•高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为R点。(p,0),过尸的直线交C于跖N

两点.当直线垂直于x轴时，\MF\^3.

⑴求C的方程；

(2)设直线M2ND与C的另一个交点分别为A,8,记直线的倾斜角分别为名当a-6取得最大

值时，求直线AB的方程.

考点突破

【考点1】长度或距离为定值

一、解答题

1.(24-25高三上•江西九江•开学考试)已知椭圆C：「+4=l(a>b>0)的离心率为5，右焦点为F,点、

(4当在

⑴求C的方程；

⑵已知。为坐标原点，点A在直线/：、=履+%(左二。)上，若直线/与C相切，且E4，/,求山的值.

22

2.(24-25高三上•江西・开学考试)已知双曲线C:]-}=l(a>0,b>0)其左、右焦点分别为居，不，若

阳闾=12,点居到其渐近线的距离为4立.

2

⑴求双曲线C的标准方程;

(2)设过点F2的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，且|前|=忸用，若|隹明，忸闾成等

比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为"黄金双曲线”，并说明理由.

3.(24-25高三上・青海西宁•开学考试)已知椭圆石：5+/=1(°>6>0)的离心率为半，点尸在椭圆E上

运动，且,P月工面积的最大值为百.

⑴求椭圆E的方程；

⑵设A,8分别是椭圆E的右顶点和上顶点，不过原点的直线/与直线AB平行，且与x轴，'轴分别交于

点M,N,与椭圆E相交于点C,D,。为坐标原点.

(0)求一OCM与△<?用的面积之比；

(回)证明：为定值.

4.(24-25高三上•山东德州•开学考试)已知双曲线E焦点在x轴上，离心率为耳，且过点(0,4),直线乙

与双曲线E交于M,N两点，乙的斜率存在且不为0,直线4与双曲线E交于只。两点.

⑴若的中点为直线的斜率分别为左他,。为坐标原点，求发出；

1\TP\TN

(2)若直线《与直线4的交点T在直线x=巳上，且直线4与直线4的斜率和为0,证明：lM=.

22

5.(24-25高三上•安徽•开学考试)已知椭圆C:1r+}=l(a>b>0)的左右顶点分别为A、B,R是椭圆C上异

于A、8的动点，满足当R为上顶点时，八旬尺的面积为8.

⑴求椭圆C的标准方程;

⑵过点2)的直线与椭圆C交于不同的两点(D,E与A、B不重合)，直线AP,AE分别与直线

x=-6交于RQ两点，求的值.

6.(24-25高三上•广西阶段练习)椭圆及]+，=l(a>b>0)的离心率为半，过点尸(。⑼的直线/与

椭圆E交于M,N两点.当直线/过坐标原点。时，|MN|=2巡.

⑴求椭圆E的方程.

(2)设A,2分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作无轴的平行线分别与直线AB,交于C,。两点.试

探究。，C,M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由.

反思提升：

探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段

3

表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系

式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.

【考点2】斜率或其表达式为定值

一、解答题

r221

1.(24-25高三上•北京•开学考试)已知椭圆C:5+「v=l(a>6>0)的离心率为二，左、右顶点分别为A、

ab2

B,左、右焦点分别为月、F2.过右焦点尸2的直线/交椭圆于点V、N,且△片"N的周长为16.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)记直线AM、BN的斜率分别为。k2,证明：?为定值.

22

2.(24-25高三上•陕西•开学考试)已知双曲线C:1—}=1.>0/>0)的左焦点为尸，左顶点为E,虚轴

的上端点为尸,且忸同=3,|尸耳=右.

⑴求双曲线C的标准方程；

(2)设M、N是双曲线C上不同的两点，。是线段脑V的中点，。是原点，直线MN、的斜率分别为《、"

证明：々「心为定值.

229

3.(24-25高三上•辽宁鞍山•开学考试)已知椭圆C：A+与=l(a>b>0),右焦点为网2,0)且离心率为彳，

ab3

直线/：x=6,椭圆c的左右顶点分别为A、4，P为/上任意一点，且不在X轴上，PA与椭圆C的另一个交点

为闻,尸&与椭圆c的另一个交点为N.

⑴直线MAt和直线MA的斜率分别记为kM^kMAi,求证：34•为定值;

(2)求证：直线MN过定点.

4

22

4.（23-24高二上•云南昆明•阶段练习）已知双曲线C:鼻-2=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为

片（-石,0）,巴（右,0）,左、右顶点分别为M,N,且经过点尸［向,！

⑴求C的方程；

（2）动点A在圆/+产=02上，动点B在双曲线c上，设直线AM,MB的斜率分别为勺,网,若N,A,B=

点共线，试探索勺,质之间的关系.

5.（2024高二上•江苏•专题练习）已知圆C的圆心坐标为C（3,0）,且该圆经过点A（0,4）.

（2）直线相交圆C于M,N两点，若直线AM,AN的斜率之和为0,求证：直线式的斜率是定值，并求出该

定值.

22

6.（2024・广东佛山•模拟预测）已知双曲线C:5-2=l（a>0,6>0）的离心率为近,右焦点到双曲线C的

ab

一条渐近线的距离为1,两动点在双曲线C上，线段的中点为M（2〃?,77Z）（77件0）.

（1）证明：直线A3的斜率后为定值；

2

（2）。为坐标原点，若△OA3的面积为求直线A3的方程.

反思提升：

第一步求圆锥曲线的方程

第二步特殊情况分类讨论

第三步联立直线和圆锥曲线的方程

第四步应用根与系数的关系用参数表示点的坐标

第五步根据相关条件计算推证

第六步明确结论

【考点3］几何图形的面积为定值

一、解答题

22

1.（2024高二上•江苏・专题练习）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆C：A+当=1（。>6>0）的左顶点为A,

ab

上顶点为5,右焦点为死连接8厂并延长交椭圆。于点椭圆P.

5

⑴若尸|I，-竽）|BP|=y,求椭圆C的方程；

s

⑵若直线42与直线AP的斜率之比是-2,证明：产为定值，并求出定值.

»APF

22

2.（2024•江苏苏州•模拟预测）已知椭圆？:三+2=1（。>6>0）,7与圆产+产=房一炉在第一、第二象

ab

jr

限分别交于0、P两点，且满足ZPOQ=~,PQ=\,

⑴求椭圆》的标准方程；

（2）4是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦BC使得OA//BC,OA=BC,求证:四边形OABC的面积为定值.

3.（23-24高二上•福建泉州•期中）已知圆A：（X+1）2+/=16,直线1过点4（1,0）且与圆A交于点8,C,

BC中点为。，过&C中点£且平行于4。的直线交AC于点P,记P的轨迹为「

⑴求r的方程；

（2）坐标原点。关于4,4的对称点分别为耳，层，点4,4关于直线y=x的对称点分别为G，c2,过4

的直线4与r交于点M,N,直线4M,与N相交于点。.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证

明.

①△℃的面积是定值；②B耳星的面积是定值；③△QGCz的面积是定值.

4.（2024・全国•模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过4（-2,0）,B（T,3）两

点.

⑴求C的方程；

（2）设P,M,N三点在C的右支上，BM//AP,AN//BP,证明：

（回）存在常数X,满足OM+ON=XOP;

（回）一MNP的面积为定值.

22

5.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C：n=l，A，4分别为椭圆C的左、右顶点，斗鸟分别为椭圆C的

左、右焦点，斜率存在的直线/交椭圆c于p,Q两点，记直线AP，尸4,AQ,Q\的斜率分别为%、月上3，院.

r3

⑴证明：k3a=-“

（2）若勺+&=g（左2+&），求S^PQ的取值范围.

22

+

6.（2024jWj三,全国,专题练习）如图所不，已知椭圆系方程。〃：［+4=〃（6/>Z?>0,MGN）,K、F2

ab

是椭圆的焦点，A（跖⑹是椭圆上一点，且月=0.

6

⑴求C"的离心率，求出C1的方程.

（2）尸为椭圆C3上任意一点，过尸且与椭圆g相切的直线/与椭圆C6交于M、N两点，点尸关于原点的对称

点为。求证：-QMN的面积为定值.

反思提升：

探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式

（如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解）把要探求的几何图形的面积表示出来,

然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入

几何图形的面积表达式中，化简即可.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

22

1.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C：讶+|r=i（a>b>0）的上、下顶点分别为A，4,P是椭圆c上

异于A，劣的一点，直线24和尸&的斜率分别为尢，k2,则满足左#2=-3的椭圆c的方程是（）

八％2y2□光2y2C.」=1D.3=1

A.—+—=1B.—+—=1

36456284

2

2.（2024•江西鹰潭•二模）双曲线E：/-21=1的左，右顶点分别为A3,曲线E上的一点C关于X轴的

3

对称点为。，若直线AC的斜率为根，直线5。的斜率为〃，则相〃=（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

3.（23-24高三上•湖北•期末）抛物线C的方程为无2=4%过点尸（0,2）的直线交C于42两点，记直线

的斜率分别为匕,&，则上色的值为（）

11

A.-2B.—1C.—D.

24

22

4.（23-24高三上•四川内江・期末）椭圆土+匕=1的焦点为瓦、工，点M在椭圆上且班，九轴，则耳到

43一

直线8M的距离为（）

7

611J7

A.—B.3C.—D.3

5311

二、多选题

5.（22-23高三上•湖北咸宁•阶段练习）过抛物线y2=2/（p>0）的焦点尸的一条直线交抛物线于AQ,M,

3（%,%）两点，则下列结论正确的是（）

A.>「必为定值

B.若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C,则〃了轴

C.存在这样的抛物线和直线A8,使得。4团。8（。为坐标原点）

D.若直线与x轴垂直，则|AB|=2p

6.（22-23高二下•河南•阶段练习）已知椭圆C:；+丁=1（。>1）的两个焦点为片,且，尸是椭圆C上的动点，

a

且4尸耳鸟的面积最大值是否，则下列结论中正确的是（）

A.椭圆C的离心率是:

B.若AB是左，右端点，则1pli+|尸目的最大值为2行

C.若尸点坐标是pf],则过尸的C的切线方程是x+2&y-3=0

D.若过原点的直线交C于两点，则⑥

2222

7.（22-23高二上•江苏泰州•期中）已知椭圆£:工+与=1（%>4>0）与双曲线C,J-2=1（%>0,6,>0）

ax%b?

有公共的焦点K，F2,设尸是G，G的一个交点，C与。2的离心率分别是%则下列结论正确的有

（）

A.|所卜|尸阊=厅+fB.4的面积5=她

兀12）ZFPKb

C.若/RPF2r则F+==4D.tan^^=U2

3G与，"i

三、填空题

22

8.（22-23高二上•全国•期中）若双曲线C:土-匕=1的左、右顶点分别为A,B,尸是。上的点（异于A,

43

B）,则直线R4与依的斜率乘积等于.

9.（23-24高二上•广西南宁•期中）已知抛物线C:/=8x,过抛物线焦点产的直线与抛物线交于

4（%,,%）,3（%2，%），贝I]%尤2=.

8

22

10.（22-23高三下•辽宁本溪•阶段练习）如图，已知椭圆C工+上=1的左、右顶点分别为A,8,点尸

1612

是直线x=-8上的一点，直线P8交C于另外一点记直线抬，AM的斜率分别为尤，k2,则派2=.

22

11.（24-25高三上•云南大理•开学考试）已知椭圆C:=+2=l（a>b>0）过点P（3,l）,焦距为4点，斜率

ab

为的直线I与椭圆C相交于异于点尸的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直.

⑴求椭圆C的方程.

（2）记直线PM的斜率为K，直线PN的斜率为k2,证明:左色为定值.

⑶若|MN|=厢,A为椭圆C的上顶点，求AMN的面积.

12.（20-21高三上•西藏日喀则•阶段练习）设抛物线C:y2=4x,尸为C的焦点，过尸的直线/与C交于4

B两点.

⑴若/的斜率为2,求|明的值;

⑵求证：0408为定值.

【能力篇】

一、单选题

22

1.（2024高二上,江苏•专题练习）已知椭圆E：1r+%•=：!（.>6>0）经过点（2,码,右焦点为“2,0）,A,

8分别为椭圆E的上顶点和下顶点，若过（0」）且斜率存在的直线/与椭圆E交于CD两点，直线3。与直线

AC的斜率分别为尢和自，则勺的值为（）

2

A.1B.3C.2D.-

3

二、多选题

2.（24-25高三上•江苏南京•开学考试）抛物线C:/=2py的焦点为£尸为抛物线上一动点，当尸运动到a2）

时，|尸耳=4,直线/与抛物线相交于A3两点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为：f=8y

B.抛物线的准线方程为：V=-4

C.当直线/过焦点产时，以AF为直径的圆与x轴相切

9

D.当直线/过焦点/时，以为直径的圆与准线相切

三、填空题

3.（2024高三•全国•专题练习）已知曲线C的方程为X2-E=1（X21）,设点T