2025年高考数学一轮复习讲义：定点问题（解析版）

专题51定点问题（新高考专用）

2

5

【考点1】直线过定点问题....................................................5

【考点2］其它曲线过定点问题...............................................16

【分层检测】...............................................................28

【基础篇】.................................................................28

【能力篇】.................................................................42

【培优篇】.................................................................48

真题自测

一、解答题

1.（2022•全国•高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

A（0,-2）,唱-11两点.

⑴求E的方程；

⑵设过点尸。,-2）的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,

点、H满足MT=TH.证明：直线"N过定点.

22

2.（202”全国•高考真题）已知椭圆C的方程为二+斗=1（。＞6＞0）,右焦点为尸（虚,0）,

ab

且离心率为逅.

3

（1）求椭圆C的方程；

（2）设N是椭圆C上的两点，直线与曲线/+9=62（尤＞0）相切.证明：乂,N,

厂三点共线的充要条件是IMN|=V3.

参考答案:

1.(1)21+—=1

43

(2)(0,-2)

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可;

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解】（1）解：设椭圆E的方程为加2+•2=1,过4(0,-2),2(|,-1

4n=1

则＜91，解得根=:，几=2,

14

22

所以椭圆E的方程为：匕+土=1.

43

32

（2）A（0,-2）,B（-,-l）,所以AB:y+2=§尤，

①若过点尸（1，-2）的直线斜率不存在，直线％=1.代入：+£=1,

可得知（1,-孚），N（l,平），代入方程y=gx-2,可得

7（+3,-寺），由MT=7W得到"（一2"+5,-孚）.求得HN方程:

＞=（2+地）无一2,过点（0,-2）.

②若过点尸（L-2）的直线斜率存在，设履-y-（k+2）=0,M（%％）,N（%,%）.

2

"_y_（左+2）=0

联立《了22，得（3兀？+4）尤2—6左（2+左）尤+3左（左+4）=0,

——+—=1

I34

6人（2+%）一8（2+左）

x,+x2=——-----

123公+4

可得

3%（4+无）4（4+4k-2k2）'

%%=3r+4

口-24k…、

且％%+WX=3左2+J）

y=y3

联立2c，可得T（T+3,%）,"（3%+6-玉,%）.

y=-x-22

3

可求得此时"M'f=3y*二-

将（0,-2）,代入整理得2（%+々）-6（%+%）+%1y2+尤2%-3%%-12=。,

X等（*）代入，得24k+nk2+96+48左-24k-48-48左+24^2-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点（0,-2）.

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2.（1）—+/=1；（2）证明见解析.

3-

【分析】（1）由离心率公式可得0=进而可得及，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|政V|=6；

充分性：设直线=，（加<0）,由直线与圆相切得病=人?十］,联立直线与椭圆

方程结合弦长公式可得VTTI7.叵£=百，进而可得左=±1,即可得解.

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c=夜且e=£=亚，所以°=力,

a3

^b2=a2-c2=l,所以椭圆方程为《+尸=1；

3'

（2）由（1）得，曲线为尤2+>=i（x>o）,

当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意；

3

当直线肱V的斜率存在时，设M（冷X）,N（%2，%）,

必要性：

若M,N,尸三点共线，可设直线施V：y=Mx-&）即日一y-回=0,

由直线肱V与曲线/+y2=i（x>0）相切可得^1=1，解得及=±1,

>=±卜-@

3y_3

联立i2可得4/一6\/5%+3=0，所以％+W=三一，芯F

X,-

—+y2=14

L3­

所\MN\=Vl+l-J（及+%2）~-4占・尤2=6，

所以必要性成立;

充分性：设直线MN:y=fcr+m,（万九<0）即kx-y+m=0,

由直线肱V与曲线无2+y2=l（x>0）相切可得7^=1,所以■=r+1,

42+1

y=kx+m

2

联立x2可得（1+3左2）/+6^7nx+3m2一3=°,

丁'-

6km3疗一3

所以玉+超=—l+3k2，X,'X2~l+3k2

22

26km1,3m-3

所以|MN]|=\Jl+k-J（阳+xj-4xj-x

21+3左2

1+3公

化简得3（如-1）2=0,所以人士1,

k=1k=-l_

所以_或V厂，所以直线MN:y=x—0或y=-冗+0,

m=一四m=yJ2

所以直线MN过点尸（形,0）,M,N,尸三点共线，充分性成立;

所以M,N,尸三点共线的充要条件是|MN|=道.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的

重中之重.

4

M考点突破

【考点1】直线过定点问题

一、解答题

2

1.(2024,湖南邵阳•三模)已知椭圆C：1/+方v=1(。＞6＞0)的离心率为1右顶点。与C

的上，下顶点所围成的三角形面积为26.

(1)求C的方程.

(2)不过点。的动直线/与C交于A,3两点，直线QA与。B的斜率之积恒为;.

(i)证明：直线/过定点；

(ii)求—面积的最大值.

2.(2024•陕西•模拟预测)已知动圆M经过定点耳(-6,0),1M与圆为:(x-6)2+/=16内

切.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

⑵设轨迹C与无轴从左到右的交点为点42,点尸为轨迹C上异于A,B的动点，设直线

交直线x=4于点T,连接AT交轨迹C于点Q直线AP,AQ的斜率分别为七户，kAQ.

(i)求证:以p,一。为定值;

(ii)设直线尸。：无="+〃，证明：直线尸。过定点.

3.(2024•广东广州•模拟预测)已知4(-1,0),3(1,0),平面上有动点P,且直线钎的斜率

与直线3P的斜率之积为1.

(1)求动点尸的轨迹。的方程.

⑵过点A的直线与。交于点M在第一象限)，过点8的直线与O交于点N(N在第三

象限)，记直线AM,3N的斜率分别为％,k2,且左=4七.试判断..AAW与二的面积

之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

4.(2024•江西宜春•三模)已知以点/为圆心的动圆经过点耳(-3,0),且与圆心为工的圆

(x-3)2+9=12相切，记点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵若动直线/与曲线C交于A®,%),3(3,%)两点(其中弘％＞。)，点A关于x轴对称的

点为A',且直线54经过点P(-L,0).

5

(0)求证：直线/过定点；

(0)若IPAI+I尸8|=4上，求直线/的方程.

5.(23-24高二下•福建泉州•期中)已知抛物线C：V=2px(0<p<3),其焦点为厂，点

。向,2力)在抛物线C上，且|。叫=4.

(1)求抛物线C的方程；

⑵。为坐标原点，A2为抛物线上不同的两点，且。4_LO3,

(i)求证直线A3过定点；

(ii)求VAFO与二ABO面积之和的最小值.

6.(2024•江苏盐城•模拟预测)已知抛物线C：d=2Q(p>0),动直线/与抛物线C交于A,

B两点,分别过点A、点3作抛物线C的切线人和心直线4与x轴交于点直线4与无轴

交于点N4和4相交于点。.当点。为寸，△MNQ的外接圆的面积是47r.

⑴求抛物线C的方程；

3

⑵若直线/的方程是y=x+],点尸是抛物线C上在A,8两点之间的动点(异于点A,B),

求尸4尸2的取值范围；

⑶设厂为抛物线C的焦点，证明：若|凡2|=]〃叫恒成立，则直线/过定点

反思提升：

圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化

的量与参数何时没有关系，找到定点.

⑵特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变

量无关.

参考答案:

(2)⑴证明见解析…)

【分析】(1)根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.

(2)(i)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得;

(ii)由(i)的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.

6

1-21C1

【详解】（1）令椭圆C:二+与=1的半焦距为C,由离心率为:，得上=；，解得

ab2a2

a—2c,b—yc^—c*23=\f3c，

由三角形面积为2括，得ab=,则c=l，a=2,b=邪,

所以C的方程是二+M=1.

43

（2）（i）由（1）知，点。（2,0）,设直线/的方程为x=2y+〃，设A（X],%）,8（孙为）,

x=my+n

由消去得:(3m2+4)y2+6mny+3??2—12=0,

3尤2+4y2=12X

6mn3n2-12

则%+%=--9—，y%=——；—

3m2+4123m2+4

%

直线QA与QB的斜率分别为kQA=皆^,kQB

X2-2

于是

k°A"^QB22

(myl+n-2)(my2+〃-2)m^j2+m(n-2)(%+%)+(〃-2)

3万—12

3加2+4

苏•一—/(〃-〉

26mn+(〃-2『

3m2+4173m2+4

??r~12=-,整理得1+2"_8=0,解得“=-4或〃=2,

4/-16〃+164

当〃=2时，直线％=切＞+2过点。，不符合题意，因此〃=—4,

直线/：%4恒过定点尸(T,0).

zx.x,24m36

(ii)由⑴知，-+%=&=&2：，

3m+43m+4

576加2_144_12，/一4

(3m2+4)23m2+43m2+4

36y/m2—436

sp

因此©AB的面积QAB=-\Q\\yl-y21=

3(Vm2-4)2+163J疗-4+、

{m2—4

二景除当且仅当3E=3'即心土率时取等号'

7

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横（纵）

截距、图形上动点的横（纵）坐标为变量，建立函数关系求解作答.

2.呜+9=1;

（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求出轨迹C的方程.

（2）（i）设出点P,Q,T的坐标，利用斜率坐标公式计算即得；（ii）联立直线PQ与轨迹C的

方程，利用韦达定理结合（i）的结论计算即得.

【详解】（1）设动圆的半径为广，圆B：（x—6）2+/=16的圆心片（相,0）,半径R=4,

显然点E（-指,0）在圆F?内，贝（叫卜氏一「=4—|峥

于是|肛|+|血耳|=4>2点=|百巴

因此动点M的轨迹C是以弓，F?为焦点，长轴长为4的椭圆,

长半轴长a=2,半焦距c=g,则短半轴长6二/=1，

所以轨迹C的方程为反+/=1.

4

(2)(i)设尸(为,%)，Q(x2,y2),T(4,m),由(1)知A(-2,0),8(2,0),

m-0mm2yl

4-(-2)-6'而二"BT一。

xx—2

y机_必又.+y；=l,即犬=:（4一X；）,

玉+26石+23(玉-2)3(%；-4)'

所以1,为定值.

^AP-Ml。3(x；-4)-12

x=ty+n

(ii)由消去x得(»+4)y2+2tny+«2-4=0,

A=4t2n2-4(r2+4)(/-4)=16(？+4-n2)>0,

8

由（i）得%+%=一言1，%%又上",&。=一：

r十今IIT-工乙

nM.%=________2122________=_____________义______________

人再+2x2+2{tyx+n+2)(Zy2+n+2)+("+2)(%+%)+(〃+2)2

n2-4

»+4n2-4一］，解得〃=1,满足A＞。,

2n2-42/〃(〃+2)4/+16〃+16

+(〃+2『

y+4〃+4

因此直线PQ的方程为x=ty+1,

所以直线尸。过定点（1,0）.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

①''特殊探路，一般证明J即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般

性证明；

②〃一般推理，特殊求解〃：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或

曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐

标的点即为所求点;

③求证直线过定点（为,%）,常利用直线的点斜式方程y-yQ=k（x-x^或截距式y=kx+b

来证明.

3.（l）x2-/=l（x^±l）

（2）是，定值为;

【分析】（1）设P（x,y）,根据题意结合斜率公式分析运算即可；

（2）分析可知kBN-kBM^,设直线MN和相关点，联立方程结合韦达定理分析可得直线MN

过定点进而可得面积之比.

【详解】（1）设P（x,y）,x^+1,

2

由题意可得：Z"•原.=上•上=1^=1，整理得尤2-产=1,

APBPx+lx-lx2-l

故求动点p的轨迹方程为X?-y2=i（x丰±1）.

（2）由题意可知：-^BM=1，且^AM=41CBN,可得kBN-kBM=~,

9

显然直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为尤=叩+/。*±1),M(xi，%),yV(x2,y2),

联立方程，;2个：；，消去x得(m2-1)/+2机少+产一1=0,

2mt

x+%=--r—r

则Wwl,A>O,可得2，

t-1

Im-1

则^BMx2-\项一1(mjj+r-l)(mj2+r-l)4'

整理可得"_4)y%+加(I)®+%)+(I)2=0，

则回二曰一四也』+(.1)2=0,

m2-lm2-lI)

因为六士1,则/IwO,可得(〃;一4)(r+l)_2mlt+(f_i)=0,

m2—1m2—1

3

整理可得，=-g,

所以直线MN方程为x=my-|,即直线MN过定点T,g,O)

3232

则|47|=-1+1=],|37|=1+(=(,

此时SAMN=—yj，SBMN=—-\yM-|,

q一后AT=；为定值.

所以

、BMNBT

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

<1）设直线方程，设交点坐标为（玉,丹）,（々，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，注意△的判断;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为西+尤2、%%（或乂+%、％%）的形式；

10

（5）代入韦达定理求解.

4.(Dy-f=1

(2)(0)证明见解析；(0)x土y+3=0

【分析】（1）根据动圆M与圆尸?相切，由Ilf|-|噌||=26<|百居|=6,利用双曲线的定

义求解；

22

（2）（团）设直线/的方程为冗=玫尸/（显然/与x轴不平行），与土-乙=1联立，由

36

12Hz12

L+L=°求解；（0）由（团）知，当/=一3时，%+%=c2,，X%=c,,>°，然

2m-12m-1

后由|%|+|尸3旨同'|+|尸3=|43|求解.

【详解】（1）圆（尤-31+）=12的圆心坐标为每（3,0）,半径“2石.

动圆M与圆F?相切有两种情况，即内切或外切，

所以||岬|一|摩||=2指<|耳耳|=6,

所以点M在以与，骂为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为2a=2百，2c=6,

所以/二寸—[2=6,

r2v2

所以曲线C的方程是上-2=1.

36

（2）（团）设直线/的方程为x=加>+/（显然/与了轴不平行），

22

与^--匕=1联立，（2m2-l）y2+4mty+2r2-6=0,

36

由题意知，|相|〉受，A=16m2t2-（8m2-4）（2?-6）>0,即6/3>0,

2

士士、曰-4mr2t2-6八

由韦达定理得%+%=丁丁7，%%=c2।

2m-12m-1

因为点A与4关于1轴对称，不妨设A,8分别在第一、二象限，如图所示.

%,%_%(m%+，+1)+%(M%+，+1)

即nnI——u

西+1x2+1(myx+/+l)(my2+。+1)

化为2my1%+Q+1)(%+%)=0，

即2〃?•二---HQ+1）----——=0,化为一3根=;加，

2m—2m*2-*1

当机变化时，该式恒成立，

所以7=-3,故直线/过定点（-3,0）.

（0）由（回）知，当，=-3时，%+%=

2m-12m-

^\PA\^\PB\=\PA,\-^\PB\=\A,B\,

=-%2)2+(一%一%)2,

=J(冲।-3-my?+3)2+(%+%了，

2r,12m.12、，12m“r—

m-[(---x)2-4x---]+(---)x2=4.15,

2m2-12m2-12m2-1

化为19m4-24m2+5=0,解得m2=1或m2=—<（舍去）,

19

故〃i=±l,

此时直线/的方程为x土y+3=0.

【点睛】关键点点睛：本题（回）的关键是由直线84经过点P（T,0）,结合点A关于x轴对

称的点为A',得到1PAi=|PA］，从而将|PA|+|PB|=4岳，转化为

\PA\+\PB\=\PA'\+\PB|=|A'B\,结合韦达定理而得解.

5.(l)y2=4x

（2）（i）证明见解析；（ii）8A/5

【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.

（2）（i）设出x=q+t,利用给定条件建立方程求出t=4,最后得到定点即可.

（ii）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.

【详解】（1）抛物线C:y2=2px（0<p<3）,

其焦点为pg。］,准线方程为》=，，

可得尸|=加+5=4,且2"?=12,

解得。=2（另一个根舍去），m=3,

12

则抛物线的方程为/=4x；

(2)

如图，设A3的方程为*=$'+，，A（X]，M）,8（物%）,

[x=sy+tc

联立,:，可得/一4sy-4f=0,

[y=4x

则16s2+16/>0,又「=（»%）=产，

16

由。4_LOB,可得占％+%/=产-书=0,解得/=4（另一个根舍去）,

所以直线A3恒过定点N（4,0）；

（ii）由上小问可得%%<0,不妨设必<。，%>。，

则VAFO与ABO面积之和为S=1|y1|-|OF|+1|y1-y2|-|ON|,

=_/M+2（%-%）=2y2_万/22y/-5yiy2=2,20t=8下,

当且仅当必=-乎，%=2.时，上式取得等号，

则Y4FO与面积之和的最小值为86.

6.(1)x2=2y

27八

⑵二°

⑶证明见解析

【分析】（1）设△MN0外接圆的半径为R,ZNMQ=0,由己知可得R=2,在△MN。中

可得tan26=7,设直线4：y=缶-（，与抛物线方程联立根据直线与曲线只有一个交点即

13

可求解；

(2)直线/的方程与抛物线方程联立可得A,3坐标，设P(x,y),-l<x<3,可得P4PB，

TS^(X)=X3-3X-2=(X+1)2(X-2)(-1<X<3),通过求导判断函数的单调性求最值即可求

解；

(3)设4BO2,%)，由导数的几何意义可得4，4的方程，联立可得。的坐标，由

叫=|M2V|得占％=T,设直线/的方程为广质+6,与f=2y联立得%苫2=-26,即可求

解.

贝(1兀尺2=4,R=2,

在△MNQ中有A/Q=^—,=2R=4,MQ=NQ,

2sin6sin。

77

则赢T*sin/、即—kQM=士币>

设直线Z[:y=y/lx~^,与x。=2py联立得x?-2\/7px+1p=0,

令A=28p2—28p=0,又p>0,得P=L

所以抛物线方程为-=2y；

3

y—xH—

(2)联立2,整理得_?一2苫-3=0,解得x=3或-1,

无2=2y

不妨设

设P(%,y),-l<x<3,贝!jPA=1—l-x,g-y"=3"|-y,

所以尸AJ3=(x+l)(x-3)+1y-；

433

又炉=2>,PAPB=-r----尤2-2*――，-1<<3,

-424%

14

4

r3

设夕（耳=彳一］/—1vxv3,

则0'(x)=x3-3x-2=(x+l)~(x-2)(-l<x<3),

故0（x）在（-1,2）上单调递减，在（2,3）上单调递增,

故。（x）min=。（2）=一］，而。（—1）="（3）=0,

故尸4尸8的取值范围是一.，q；

（3）由y=J元2得y'=x,设4（>i，yi）,B（x2,y2^

直线4：y-y=%（%—玉），M=5'即/=百工一］，

令y=。，得与=5,同理，4=三,

所以MN=玉户,

*一百+,

直线4：y=-1与直线4：y=-［两方程联立解得<一2

以

-2

得《安

又尸卜力，由川=［跖v［得］弋上［+二］=［五千

得=-1，

设直线/的方程为>"与-=2y联立得f―2日-2人=0,

则xxx2=-2b,

所以6=；,则直线/过定点（0,g］.

X1+x

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键利用导数得到切线方程，从而求出。2

2

再计算出占％=-1,再设直线方程，将其与抛物线联立，得到不％=-26,从而解出6值,

得到定点坐标.

【考点2】其它曲线过定点问题

一、解答题

1.（2024・西藏拉萨•二模）已知抛物线C:x2=2py5>0）上的两点A,B的横坐标分别为

15

-4,8,|AB|=6石.

（1）求抛物线c的方程；

（2）若过点Q（0,8）的直线/与抛物线C交于点MN,问：以MN为直径的圆是否过定点？若

过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

2.（2024•山东泰安•模拟预测）已知抛物线E:x2=2py（p>0）,焦点为尸,点C（2,l）在石上，

直线/闻》=区+1（上40）与E相交于两点，过A2分别向E的准线/作垂线，垂足分别为

A，%

⑴设码库.E4A，”期的面积分别为席邑，邑，求证：S^=4S2-S3；

（2）若直线AC,分别与/相交于试证明以MN为直径的圆过定点P,并求出点尸的

坐标.

3.（2024•新疆喀什•三模）已知双曲线£：V—3丁=3的左、右焦点分别为耳，F2,A是直

线/：y=-=x（其中〃是实半轴长，。是半焦距）上不同于原点。的一个动点，斜率为匕的

a

直线4月与双曲线E交于N两点，斜率为网的直线AE与双曲线E交于P,。两点.

11

（1）求丁+厂的值；

⑵若直线OM,ON,OP,。。的斜率分别为kOM，G，kop,女°。，问是否存在点A,满

足自M+%ON++%OQ=。，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.

22

4.（2024•福建泉州•模拟预测）已知双曲线C:斗-A=l（。>0,b>0）的实轴长为2,离心率

ab

为2,右焦点为F,P为C上的一个动点，

（1）若点P在双曲线C右支上，在无轴的负半轴上是否存在定点M.使得=

若存在，求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）过尸作圆（?:/+/=；的两条切线4、4,若切线卜4分别与C相交于另外的两点E、G,

证明：E、。、G三点共线.

221

5.（2024•福建福州•模拟预测）已知椭圆卬云+齐=1伍”>0）的离心率为-,且过点（2,0）.

（1）求W的方程；

（2）直线X-冲+1=0（"?W0）交W于A2两点.

16

(i)点A关于原点的对称点为C,直线BC的斜率为后，证明：上为定值；

m

(ii)若W上存在点尸使得AP,PB在AB上的投影向量相等，且」PLB的重心在V轴上，求直

线AB的方程.

22

6.(2024・天津和平•二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆1r+%=l(a>b>0)的右焦点为

点、F,椭圆上顶点为点a,右顶点为点8,且满足

(1)求椭圆的离心率；

(2)是否存在过原点。的直线/,使得直线/与椭圆在第三象限的交点为点C,且与直线AF

交于点D,满足3Gl阳|=2|cqsin/£)O3,若存在，求出直线/的方程，若不存在，请说

明理由.

参考答案:

1.(l)x2=8y

⑵过定点，定点为原点

【分析】(1)设出两点，运用两点间距离公式构造方程求解即可；

(2)过点。(0,8)的直线/的方程为y=Ax+8,直线0MoN的斜率分别为心”,心可.联立抛

物线，运用韦达定理，得到/”京.=-1,则OMLON,即可证明.

【详解】(1)因为点42的横坐标分别为T8,所以4卜4,皆,«8,£),

贝1J|AB卜1(-4-8)2+|^--—=6A/5，解得P=4,

所以抛物线C的方程为无z=8%

(2)由题意，知直线/的斜率存在，设/&,%)小(%,%)，过点Q(。,8)的直线/的方程为

y=kx+8,直线OM,ON的斜率分别为生”,无w.

当％=0时，Af(―8,8),N(8,8),

因为•心N=T，所以以"N为直径的圆过原点。.

17

以下证明当上wo时，以MN为直径的圆过原点O.

[%2=8

由《,消去V,得尤2—8日-64=0,A>0,

[y="+8

由根与系数的关系，得%+%2=弘,石%2=-64,

_必%_（-+8）（5+8）

KOM'KON==

Wx2xrx2

—左2%％2+8左（玉+々）+64_72,8MM+z）（64_,2,8k¥k_64

——KI=K-\I

占尤2%尤2-64-64

所以OMLON,所以以MN为直径的圆过原点0.

综上，以为直径的圆过原点。.

2.①证明见解析

（2）证明见解析,尸（0,1）和尸（0,-3）

【分析】（1）将点C（2,D代入得抛物线方程为V=4y,设（4T），&（龙2，-1），

联立直线与抛物线方程，韦达定理，然后用坐标表示三个三角形的面积，化简即可证明.

（2）先求出直线AC的方程，令>=-1得点”的坐标，同理得点N的坐标，从而求出以MN

为直径的圆，令x=0得圆恒过的定点.

【详解】（1）将。（2,1）代入/=2外（0>0）,得。=2,所以抛物线方程为-=4y,

由题意知?（0,1）,设4（再,％）,3（%,%）,A（尤1，T），4（%,T）,

由｛常；得,d-46一4=0,A=（-W+16>0,

所以玉+%=4%,玉%2=-4,

所以上_I；…臼=4（…）2=4—

S2-S31（％+1内，（、2+1）同（%+1）（%+1）1无£（何+2）（5+2）|xW

18

2

4［（X1+X2）-4V2］4（161+16）即$2=4S$

二［小々+2g+々）+4张司一4（H+8作+丁「23-

看-1

（2）直线AC的斜率％JT_4__%+2,

ACXl-2Xl-24

故直线AC的方程为＞-1='］（＞2）,令y=T,得x=2一.，

所以点〃的坐标为（2——^-,-11同理，点N的坐标为（2--^-,-1

1%+2JI%+2J

1QO

设线段跖V的中点为（尤0，-1）,则%=彳2——-+2-------

2（石+2x2+2J

=24（x+a+4）=?4（番+/+4）4（4%+4）_2

（玉+2）伍+2）+2（$+%）+4]—4+2x4k+4k

8（再一九2）

xxx2+2（芯+%）+4

8，（占+马）2-4为尤28m6r+164«、1

,犬2+2（玉+X2）+4|8阂冈

所以以MN为直径的圆为卜+gj

449

即“+1工+产+（y+D令x=0得y=l或y=-3,

故以MN为直径的圆过定点（0,1）和（0,-3）,

64

⑵存在，A或

A555

【分析】（1）设利用斜率公式求解;

（2）设知（%,％）,N（孙％），*£，%），Q（4%），直线方程为丫=乂》+2）,与双曲线方程

19

_,2k2k11

联U,结t合A韦达定理得到自M+k0N=d心2干},kOP+k0Q=T7T.77结合7+厂=-3求解.

/1/vjI1/1/VQ-।1K‘।K-)

【详解】(1)由题可得双曲线氏—

3

则/=3,Z?2=1,c2=/+5?=4,.，.c=2,

回左、右焦点分别为耳（-2,0）,耳（2,0）,直线/的方程为：y=-jx

设人［人-不）。力°）,

--t-0

2t,同理可得k2=~

3(r+2)

1,1-3«+2)3(-2)_&_

Irl1--------------------------——3•

勺左22i2tIt

（2）设"（石,yJ,N（X2，%）,P（忍,%），。（%4乂），如图，

直线入片方程为y=《（x+2）,

代入双曲线方程可得：（1-3k；）x2-l2片尤一12好一3=0,

匕…126-12将一3

所以玉+%="——77，则nl％1%2=

13左]1-36‘

则—&=

玉x2玉冗2

kx(x,+2尼+K(%2+2)%

2勺%/+2kl+玉)

%工2

2k]

46+1,

772b

同理左OP+kOQ=2-

/1IVIX

22kl,2k

?二°,

即—TG

20

即（q+左2）（4勺左2+1）-0,

J_

团K+左2=。或kk=-

x24

若匕+左2=。.无解，舍去.

%=-！，

回左*2=—“解得"1=—W，%2=1,或勺=1，

171

若勺=—7，攵2=1,由A在直线AK上可得，—§/=—z（'+2），

0?=1此时4V1

12

若尤=1,勾=啖,由A在直线A耳上可得，一?"+2,

EU=_g止匕时A

OM

7两足％+k0N+k0p+k0Q=0.

4.（1）

存在，M（-l,0）.

（2）

证明见解析.

【分析】（1）先求出双曲线的方程，将角度关系转化为直线的斜率关系，从而列出不等式,

斜率不存在的情况单独讨论，即可求出M点的坐标.

（2）先根据尸点的位置判断能否作出切线,再将切线分为斜率存在和不存在两种情况讨论,

表达