2025年高考数学一轮复习讲义：导数与函数的极值、最值（原卷版）

专题17导数与函数的极值、最值（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................4

【考点1］根据函数图象判断极值..............................................4

【考点2】求已知函数的极值..................................................5

【考点3】由函数的极值求参数.................................................6

【考点4】利用导数求函数的最值..............................................7

【分层检测】................................................................9

【基础篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................11

【培优篇】.................................................................11

考试要求：

1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.

2.会用导数求函数的极大值、极小值3会求闭区间上函数的最大值、最小值.

知识梳理

1.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y=/(x)在点x=a的函数值五a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/(a)=0；而且在

点x=a附近的左侧片x)<0,右侧外0>0.则a叫做函数y=/(x)的极小值点，火。)叫做函数丁=

段)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=/(x)在点x=b的函数值汽6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/(/?)=0；而且在

点、x=b附近的左侧［於)〉0,右侧［(x)<0.则b叫做函数y=*x)的极大值点,犬。)叫做函数丁=

汽x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数人功在区间［a,加上有最值的条件：

如果在区间［a,加上函数y=«x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在区间［a,加上的最大(小)值的步骤：

①求函数y=/(x)在区间(a,上的极值;

②将函数y=/U)的各极值与端点处的函数值Na),1。)比较,其中最大的一个是最大值，最小

的一个是最小值.

|常用结论

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认

为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大

小关系.

「,真题自测

一、单选题

b

1.(2022•全国,高考真题)当x=l时，函数/(尤)=alnx+—取得最大值-2,贝U/'(2)=()

x

2

1

A.-1B.——cD.1

2-I

2.（2022•全国•高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

34/436,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.吟B.C.D.[18,27]

3.（2021•全国IWJ考真题）设若"为函数/（%）=〃（X-的极大值点，则（)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a1

二、多选题

（2023•全国,高考真题）若函数/（x）=alnx+g+5（axO）既有极大值也有极小值，则（

4.).

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

5.（2023,全国,[Wj考真题）已知函数“X）的定义域为R,〃孙）=y2f（x）+x7（y）,则（).

A./(0)=0B./(1)=0

C.是偶函数D.x=0为的极小值点

6.（2022,全国考真题）已知函数/(x)=/-x+l,则()

A.7（x）有两个极值点B./⑺有三个零点

c.点（0,D是曲线y=/（x）的对称中心D.直线y=2x是曲线>=/（元）的切线

三、填空题

7.（2022•全国•高考真题）已知x=X]和尤=%分另IJ是函数/（x）=2优一ex?（a>0且awl）的极小值点和极

大值点.若不<々，则a的取值范围是

8.（2021•全国,高考真题）函数/（x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

■考点突破

【考点1]根据函数图象判断极值

一、单选题

1.（21-22高三•北京西城・开学考试）如图所示，已知直线、=履与曲线y=/（x）相切于两点，函数

g（x）^kx+m[m>0）,则对函数*x）=g（x）-〃x）描述正确的是（）

3

yt

^b\X-/\x

A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点

C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点

2.(21-22高二下•北京西城•期末)设函数/■⑴=，+元+4x的极小值为一8,其导函数〉=/'(村的图

象过点(一2,0),如图所示，则/(x)=()

二、多选题

3.(2022•山东临沂•模拟预测)设函数〃x)=ln(x+l)+(7(尤2-x),其中。力，则()

Q

A.当时，f(x)有2个极值点

B.当.<0时有1个极值点

Q

C.当时，〃尤)有0个极值点.

D.若Vx>0,外力20成立，则OWaWl

4.(2023•湖北武汉•模拟预测)已知函数y=/(x)和y=g(x)的图像都是R上连续不断的曲线，如果

/W<g(x),当且仅当x=l时/(l)=g⑴=1,那么下列情形可能出现的是()

A.1是的极大值，也是g(x)的极大值B.1是“X)的极大值，也是g(x)的极小值

C.1是的极小值，也是g(x)的极小值D.1是“尤)的极小值，也是g(x)的极大值

三、填空题

5.(2021.四川成都.模拟预测)已知函数〃尤)的定义域为[T5],其部分自变量与函数值的对应情况如表:

x-10245

4

f(x)312.513

〃元）的导函数/（X）的图象如图所示.给出下列四个结论：

If'M

\/0~245X

①/（元）在区间［T,。］上单调递增；

②“X）有2个极大值点；

③的值域为［1,3］；

④如果"上,5］时，〃x）的最小值是1,那么/的最大值为4.

其中，所有正确结论的序号是.

6.（2023•陕西宝鸡•二模）若函数/（耳=6'-67+；尤3-如无极值点，则实数。的取值范围是.

反思提升：

由图象判断函数y=/（x）的极值，要抓住两点：（1）由y=/（x）的图象与x轴的交点，可得函数y

=/（x）的可能极值点；（2）由导函数y=f（x）的图象可以看出y=f（x）的值的正负，从而可得函数y

=/（x）的单调性.两者结合可得极值点.

【考点2】求已知函数的极值

一、单选题

1.（2024•宁夏银川•一模）若函数/（x）=（f一改一2卜'在x=-2处取得极大值，则了⑺的极小值为（）

A.-6e2B.-4eC.-2e2D.一e

2.（2024・四川成都•二模）函数/（x）=e*+asinx,xe（Tt,+«））,下列说法不正确的是（）

A.当a=—1时，〃x）＞0恒成立

B.当。=1时，f（x）存在唯一极小值点为

C.对任意。＞0,〃力在上均存在零点

D.存在。＜0,/（力在xw（-兀,收）上有且只有一个零点

二、多选题

3.（23-24高二下,江苏南京•阶段练习）已知/（%）=幺+疝讨+2,g（尤）=/（%）-ex,则（）

A.函数/（%）在上的最大值为3B.Vx＞0,/（x）＞2

5

C.函数g(x)在(3,4)上没有零点D.函数g(x)的极值点有2个

—g

4.(2024•全国•模拟预测)已知『x>’则方程/⑺-(A+3"(x)+34=0可能有()

_彳2—4x—1,xW0,

个解.

A.3B.4C.5D.6

三、填空题

5.(2023•全国•模拟预测)己知定义在R上的奇函数〃x)满足当x>0时，〃2x)/(x+4)=16，a-8)/'(x)20

(尸(x)为"力的导函数)，且〃力<0,则“力的极大值为.

6.(2023•西藏拉萨•一模)已知函数〃力=(%-。)卜2-0-1卜-可，函数f(x)的图象与x轴的交点关于y轴

对称，当.=》时，函数；当函数“X)有三个零点时，函数“X)的极大值为.

反思提升：

运用导数求函数兀¥)极值的一般步骤：

(1)确定函数火X)的定义域；

(2)求导数/(X);

(3)解方程了(为=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(x)在/(x)=0的根次左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

【考点3】由函数的极值求参数

一、单选题

1.(2024•辽宁葫芦岛•一模)已知函数/(x)=e*-ox2在R上无极值，则"的取值范围是()

A.B.1一00，1'1C.[0,e)D.0,1

2.(2024•全国•模拟预测)已知函数"X)="(si：：cosx)+x在(0,兀)上恰有两个极值点,则实数。的取值范

围是()

A.—e4,+>»B.(-

(

C.(0,e)D,[。，『54c

二、多选题

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数7'(尤)=(x-aY+6.若过原点可作函数的三条切线，贝|()

6

A./（x）恰有2个异号极值点B.若a>0,则Z?e（0,«23）*

C./（“恰有2个异号零点D.若〃<0,则。€（/,o）

4.（2024•江苏徐州•一模）已知函数〃x）=e，（x-ae）aeR,则下列说法正确的是（）

A.当。=-1时，“X）有唯一零点

B.当心；时，〃x）是减函数

C.若外力只有一个极值点，则aWO或。=g

D.当a=l时，对任意实数乙总存在实数外,声,使得/（，）=/（*）--

玉_工2

三、填空题

5.（2023・四川遂宁,模拟预测）已知函数/'。）=3,函数8（元）=5皿2如+0）3>0）的两相邻对称中心之间

1-X

的距离为1,且X=1■为函数y=g（x）的一个极大值点.若方程/（x）=g（尤）在-l,w+3]（〃eZ）上的所有

根之和等于2024,则满足条件中整数”的值构成的集合为

6.（2024•陕西铜川•三模）若函数/（x）=o?+也有两个极值点，则实数。的取值范围为.

X

反思提升：

1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个

条件列方程组，利用待定系数法求解.

【考点4】利用导数求函数的最值

一、单选题

1.（2022•福建福州•三模）已知函数/（尤）=冷与，以下结论中错误的是（）

A.f（x）是偶函数B./（尤）有无数个零点

C./⑺的最小值为D.〃x）的最大值为1

2.（2024•浙江金华,三模）若存在直线与曲线〃x）=Vr,g（x）=x?+a都相切，则。的范围为（）

「1、」[5]「5）（5-

A.B.-1,—C.—'+0°D.

L7127」[27）I27J

二、多选题

3.（2024•河南南阳•模拟预测）已知函数〃x）=x2-2alnx-1,则（）

A.若曲线y=/（x）在。，/⑴）处的切线方程为y=2x-2,贝壮=2

B.若。=1,则函数〃尤）的单调递增区间为。,也）

7

C.若a>0,则函数“X）在区间[1,E）上的最小值为"一2加°-1

D.^xe[l,+oo）,/（x）>0,贝的取值范围为（-8内

4.（2022•全国•模拟预测）已知函数〃x）=;tsinx+依2（aeA）,则下列说法正确的是（）

A.当。=1时，函数/（x）当且仅当在x=0时取极小值

B.当。=-1时，函数有无数个零点

C.V<26（^x>,-1],/（x）<0

D.若在区间[0,鼻上的最小值是0,贝必并

三、填空题

5.（2024•广东广州•模拟预测）若x>0,关于x的不等式/22alm:-4x+l恒成立，则正实数。的最大值

ex

为.

6.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）已知函数〃尤）=2尤3-3尤2+3.设左为正数，对于任意羽若典尤）|,

|〃x+初二者中至少有一个大于2,则%的取值范围是.

反思提升：

1.利用导数求函数#x）在[。，加上的最值的一般步骤：

（1）求函数在（a,力内的极值.

（2）求函数在区间端点处的函数值五a）,».

（3）将函数«x）的各极值与汽0,汽0）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还栗研究其单调性，并通

过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2024•全国,模拟预测）设玉,三为函数〃x）=x（尤-2）（尤-a）（其中a>0）的两个不同的极值点，若不等

式〃%）+/伍）20成立，则实数。的取值范围为（）

A.[1,4]B.（0,4]C.（0,1）D.（4,内）

2.（2024•江西鹰潭二模）已知函数〃x）=£,xe（O,—）,则下列命题不正确的是（）

8

A./（x）有且只有一个极值点B./⑴在上单调递增

11

C.存在实数ae（0,+co）,使得/（“）=-D.f（x）有最小值-?

eee

3.（2024・四川雅安•三模）已知函数〃%）=511169%+5/005@%（69>0）,则下列说法中正确的个数是（）

①当0=2时，函数y=/（》）-21ogM有且只有一个零点；

②当0=2时，函数y=/（x+0）为奇函数，则正数。的最小值为1；

③若函数>=〃力在］。，:上单调递增，则0的最小值为J；

<13?5"

④若函数y=〃x）在（0,兀）上恰有两个极值点，则。的取值范围为.

A.1B.2C.3D.4

4.（23-24高二下•湖北武汉•阶段练习）若函数〃x）的导数r（x）=x-sinx,〃x）的最小值为0,则函数

V=/（x）-cosx的零点为（）

A.0B.±0C.±2D.2ht(keZ)

二、多选题

5.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=a（x+l『（x-l）"（其中机+〃>0,。*0）的部分图象如图所示,

m<3nC.m>0>nD.a<0

6.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃尤）=归'+.在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（）

b4

A.ab>0B.—<-y

ae

c.4a-be2>0D.对于任意非零实数。，总存在实数b满足题意

7.（2。24.江西.二模）若…恒成立,则实数。的取值可以是（）

9

e+1

A.0B.晓C.eD./

三、填空题

8.（2024,广东•模拟预测）〃x）=cos尤cos2x在xe[0,兀|的极值点个数为个.

9.（2022•北京海淀•一模）已知函数〃尤）=浮与，给出下列四个结论：①Ax）是偶函数；②/（x）有无数

X+1

个零点；③/（X）的最小值为-g;④/（X）的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为.

10.（2024•四川成都,三模）已知函数〃x）=xe=〃式工，若存在最小值，且最小值为上，则实数优的

m

值为______

四、解答题

11.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=lnx+"的单调递增区间为（0,1）.

⑴求函数〃尤）的图象在点（ej（e））处的切线方程；

（2）若函数g（无）="尤）有两个零点，求实数a的取值范围.

12.（2024,陕西咸阳•三模）已知函数/。）=巴史+犬-1.

X

（1）当4=1时，求函数g（X）=/（元）-X极值；

（2）若对任意xe[l,+8）,/（无经。+1恒成立，求实数