2025届新高三开学摸底考试数学试卷（新高考）（解析版）

2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本

试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.（2024・广西・模拟预测）已知集合A={x|-2<尤<3},JB=|X|x2-5x<O,xeN},则AB=（）

A.{.r|0<x<3}B.[x\-2<x<5]C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【分析】先求集合B,注意xeN,再求AcB.

【详解】X2-5X<0^0<X<5,又因为xeN,所以2={1,2,3,4},得AB={1,2}.

故选：D.

2.（2024.河南.模拟预测）已知复数z满足-■^=-2"则z的虚部为（）

z

C.1D.±

A.-iB.-i

510510

【答案】c

【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果.

4z—i

【详解】因为——=-4，所以4iz+l=2z，所以1=（2-4i）z,

Z

12+4i2+4i11.1

SirDIZ=----------=-----------------------------=-----------=——+7，所以Z的虚部为£,

“以2-4i（2-4i）（2+4i）2010。5

故选：C.

3.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）已知向量。=（狐1）,6=（1,〃），若（。+6）//（。-6）,则（）

A.mn=\B.mn=—lC.m—n=OD.帆_讨=0

【答案】A

【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】6=(〃z+l,l+w),a-b=(m-l,l-n),

(a+Z?)〃(a—6),；.(加+1)(1—〃)=(〃?—1乂1+〃)，化简得w7〃=l.

故选:A.

4.(23-24高一下•广东广州•期中)某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，

为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45。，沿倾斜角为15。的斜坡向上走了90

米到达2点(A,B,P,Q在同一个平面内)，在2处测得山顶尸的仰角为60。，则山高尸。为()米

A.45(76-72)B.45(n+&)C.90(A/3-1)D.90(石+1)

【答案】B

【分析】在4AB尸中，利用正弦定理求"，进而在Rt.PA。中求山的高度.

【详解】依题意，ZPAQ=45,ZBAQ=15,贝U?PAB30,ZAPQ=45,

又NPBC=60,贝IJ/BPC=30，即有N3PA=15,ZPBA=}35,

APAB

在，AB尸中，AB=90,由正弦定理得

sinZABP-sinZAPB?

[7_6

且sin15=sin(60-45)=sin60cos45-cos60sin45=---------

ABsin/ABP90sinl35。第号血④

则”=

sinZAPBsin15°"一夜a_垃，

4

在RtP4Q中，尸。=APsin45=髻%x也=45(#+衣,

A/6—A/22

所以山高尸。为45(#+&)米

故选：B

5.(2024.黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知sinasin[a+《J=cosasin[三-aj,贝i|tan12a+?J=()

A.2-73B.-2-y/3C.2+»D.-2+白

【答案】B

【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=6,进一步结合两角和的正切公式即可得解.

【详解】由题意^■sin。a+^-sinacosa=^^cos2a—^sinacosa,BP^-cos2a=—sin2a,

222222

/\tan2a+tan—①一四匚一2一技

即tanla=6，所以tan2a+-=----------------—

I4Ji_tan2atan—1-73-2

4

故选：B.

6.(2023•辽宁鞍山•一模)函数是定义在R上的偶函数，且/(l+x)=/(l-x),若xe[0』,/(%)=2\

则/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据〃l+x)=〃l-X),结合f(x)是定义在R上的偶函数，易得函数的周期为2,然后由

/(2023)=/(1011x2+l)=/(I)求解.

【详解】因为〃1+X)=〃1-力，且/'(X)是定义在R上的偶函数，

所以〃l+x)"(xT，

令r=x-l,则x=t+l,

所以〃r+2)=f⑺，即以x)=f(x+2),

所以函数/(x)的周期为2,

所以“2023)=7(1011x2+1)=/(1)=2.

故选：B.

7.(23-24高三上•福建•阶段练习)函数〃x)=sinx+2卜inx|,xe[0,2K]的图象与直线y=左有且仅有两个不

同的交点，则上的取值范围是()

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0,2）

【答案】C

【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数/（X）的解析式，然后画出函数/（力与，=左的图象进行判断.

,,,,f3sinx,0<x<7r

【详解】/'（x）=sm尤+2同11工=|.,

[-sinx,7i<x<27T

如图所示，

要使〃句=$也%+2版11R,彳口0,2句的图象与直线，=左有且仅有两个不同的交点，则只需1〈发<3.

故选：C.

【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键.

22

8.（2024・山东•模拟预测）己知双曲线E：、一2=1（。>0力>。）的左、右焦点分别为6，K,过F?的直线

cib

与E的右支交于A,B两点，且忸囚=2|A词，若=则双曲线E的离心率为（）

A.上B.叵C.逑D.画

333

【答案】B

【分析】设|9|=乙则怛阊=2『，根据双曲线的定义，可得|明|和|班|,再在直角三角形中，利用勾股定

理可得关于。，。的关系，可得双曲线的离心率.

【详解】如图：设|然|=/,则怛闾=2r,

根据双曲线的定义，可得|M|=2a+r,|%|=2。+2二,

因为曲-河二。，所以/创转=90。，

用、』M「+|A为「小丹「n］（2a+ry+r=（2c）2

耳！以）=><

2222

\AF1|+|AB|=\BFf［｛2a+Z）+（3r）=（2〃+

由（2a+l）+（3，）=（2a+2，）—2a=3%,

代入（2a+t）2+r=（2c）2可得17a2=%2ne=£=姮.

a3

故选：B

【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义,

再考虑其他方法.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2024・广东汕头.一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学

生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名

学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90,100）内的同学成绩方差为10.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：加、输、7、s；.记样本平均数为

石，样本方差为$2,$2=/^卜；+任一砌2］+'^卜；+（》一同21

m+nL」m+n'-」

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

【答案】BCD

【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,列等式求出实数。的值，可判断A选项；利

用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

则（2a+3a+7a+6a+2a）xl0=200a=l,解得a=0.005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为（2a+3a）x10=50a=0.25<0.5,

前三个矩形的面积之和为（2a+3a+7a）xl0=120a=0.6>0.5,

设计该年级学生成绩的中位数为机，则〃?七（70,80）,

根据中位数的定义可得025+（机-70）x0.035=0.5,解得相。77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

6ax85+2a*95=87.5分,C对；

6a+2a6a+2a

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

1[12+（87.5-85）1+[[10+（87.5一95）1=30.25,D对.

故选：BCD.

10.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（x）=sin（3x+：j,下列说法正确的是（）

A.的最小正周期为T

B.点借o]为〃尤）图象的一个对称中心

C.若/（尤）=。（。的在4-白餐上有两个实数根，则且

L189J2

D.若的导函数为了'⑺，则函数）=/（x）+/'（x）的最大值为亚

【答案】ACD

【分析】对于A,直接由周期公式即可判断；对于B,直接代入检验即可；对于C,画出图形，通过数形结

合即可判断；对于D,求得后结合辅助角公式即可得解.

【详解】由题意可得T=],故A正确；

/^=sin^=1^O,所以信,。)不是/⑺图象的一个对称中心，故B错误；

令t=3x+巴，由一二得至VfV女,

318963

(冗、77JT

根据题意可转化为直线y=a与曲线/(x)=sin3x+w,xe有两个交点,

I5)1oy

数形结合可得迫Wa<l,故C正确；

2

设尸⑺为“X)的导函数，

则/(%)+/((x)=sin+3cossin(3x+g+ej<A/10,其中tan。=3,

当且仅当3工+巴+9=四+2也,左eZ,即当且仅当x=-0+2+也MeZ时等号成立，故D正确，

323183

故选：ACD.

11.(2022•山东济南•一模)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡

西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，M(-2,0),N(2,0),动点尸

满足|出/卜|「叫=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是()

A.曲线C与y轴的交点为(0,-1),(O,l)B.曲线C关于x轴对称

C.PMV面积的最大值为2D.|。尸|的取值范围是［1,3］

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由x=。判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断

C；求出工?的范围计算判断D作答.

【详解】设点P(x，N)，依题意，©+2)2+力©-2)2+产］=25,整理得：d+/=+25-4，

对于A,当尤=0时，解得y=±l,即曲线C与y轴的交点为(0,-1),(0,1),A正确；

对于B,因d+(_"=d+/=Ji6d+25-4，由换，方程不变，曲线C关于无轴对称，B正确；

对于C,当Y=_|时，y2=|,即点p(等，当)在曲线C上，S峥=；即\老=瓜'C不正确;

对于D,由/=，16/+25-4-%220得:X4-8.X2-9<0,解得04/49,

于是得|OP「='+5+25-4e[1,9]，解得14|。尸区3,D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为尸(x,y)=o,(1)如果2-X,y)=。，则曲线C关于y轴对称；

⑵如果P(x,-y)=0,则曲线C关于x轴对称；(3)如果歹(r,-y)=0,则曲线C关于原点对称.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2024.江西•二模)已知非零向量。,6满足2同=忖，且a_L(a-6),则的夹角大小为.

【答案】|

【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可.

【详解】因为设向量。与6的夹角为6,

所以〃•(〃_/?)=a?_[.)=同2_同..cos8=0,

1

所以同0—2卜1.同cos夕=0,所以cos。=万.

TT

因为0<。<兀，所以。=g.

所以向量a,6的夹角大小为巳.

故答案为：y.

13.(23-24高二下•四川广安•阶段练习)已知直线>=去+6既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-ln(-x)

的切线，贝必+6=.

【答案】-/e-1

e

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】设曲线y=lnx与y=-ln（-x）的切点分别为（％,%）,（超,%），

易知两曲线的导函数分别为y=工

X

MX2b=0

1+b--ink

所以kx+b=]nxn=><

lx-1+b=\nkk=-

kx2+b=-ln(-x2)e

则A+b=L

e

故答案为：—.

e

14.（2024•安徽安庆・三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4.现

甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标

数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

【答案】|

【分析】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件3,由古典概率公式求出P（A）,P（AB）,再

由条件概率求解即可.

【详解】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球，，为事件B,

1+2+CC」,“必=C；_3

《•C二25'

i

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（2024・湖南益阳•三模）已知。、b,c分另I」是44BC内角A,B,C的对边，（b-a）cosC=c（cosA-cosB）,

b2=2ac.

⑴求cosC；

（2）若448c的面积为JI?,求J

7

【答案】(1)(2)2.

O

【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求;

(2)由已知结合三角形的面积公式即可直接求解.

【详解】(1)由S—a)cosC=c(cosA-cos8)及正弦定理可得，

sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC,

即sin(B+C)=sin(A+C),

所以sinA=sinB,

所以a=

因为。2=lac-2bc，

所以Z?=2c,

222

由余弦定理可得，cose：“2：%2；。24C+4C-C_7

2ab2x2cx2c8

(2)由(1)知sinC=n=半

因为2MBe的面积为止，所以LabsinC=^a2x@l=拒，解可得。=4,

228

贝fJc=L=2

2

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,

属于中档试题.

22

16.(23-24高二上•江苏徐州•阶段练习)已知椭圆C：斗=1(a>b>0)的一个焦点为网2,0),且离

ab

心率为近

3

⑴求椭圆C的方程；

(2)直线/：y=x+7"与椭圆C交于A,B两点，若ABO面积为G，求直线/的方程.

22

【答案】⑴土+工=1

62

(2)y=x±2

【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求出a，c,从而求出6,即可求解方程；

(2)联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即可.

【详解】（1）由焦点为尸（2,0）得c=2,又离心率e=£=逅，得到〃=指,

a3

22

所以/=°2一°2=6一4=2,所以椭圆C的方程为工+匕=1.

62

⑵设4（Xi，yi）,B（x2ly2）,

fx2y2,

联立v62,消y得4/+6mx+3--6=0,

y=x+m

2222

A=36m-16（3m—6）=-12m+96>0,得至I」m<8,

由韦达定理得，玉+%-当，不々=即』，

M也

2

又因为AB=个1+k\x2—x1\

H

又原点到直线的距离为4=0，

遍

所以S480=34|阴=gxMx一

02

所以m4-8m2+16=0,所以："2=4,B|]m=±2,满足加？<8,

所以直线/的方程为y=x±2.

17.（2024・河南•三模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面B4B_L平面ABC。/%_LAB,A8〃C£>,且

AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

（1）证明：平面PAC_L平面P2C；

（2）求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.

设平面尸5c的法向量%=(m,n,p),

n2-PB=-m+2〃=0

则,n#,p，令P=l，得%=(2百,6,1),

n•BC=-----F------=0

I0222

21

设平面PAD与平面尸5C的夹角为，，则cos6=^^^=不二二:，

匐同2x44

所以平面MD与平面P8C夹角的正弦值为J1-COS26=史.

4

18.(2024•广东茂名•二模)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具

体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵,

胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败

者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，

败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(O<p<l),且不同对阵的结果相互独立.

(1)若。=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最

后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

【答案】⑴①006；②3.128

(2)答案见解析..

【分析】(1)结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；

(2)结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.

【详解】⑴①记“甲获得第四名”为事件A,则尸⑷=(1-0.6)2=0.16；

②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,

则X的所有可能取值为2,3,4,

连败两局：P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,

X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；

x=3)=0.62+(1-0.6)X0.6X(1-0.6)+0.6X(1-0.6)X(1-0.6)=0.552,

p(X=4)=(1-0.6)x0.6x0.6+0.6x(1-0.6)x0.6=0.288；

故X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故数学期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128；

(2)“双败淘汰制”下，甲获胜的概率尸=03+0(1—。)22+(1-2)23=(3—2。)/,

在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为加，

由(3-2p)p3-p2=p2(3/?-2/?2-l)=/?2(2p-l)(l-^>),且0<P<1

所以。时，(3-2p)p3>p2,“双败淘汰制”对甲夺冠有利；

时，(3—“单败淘汰制，，对甲夺冠有利；

P=g时，两种赛制甲夺冠的概率一样.

19.(2024・河南信阳.二模)已知函数y=〃尤)，其中〃尤)=g/-&，ZeR.若点A在函数y=〃尤)的图

像上，且经过点A的切线与函数y=/(x)图像的另一个交点为点8,则称点8为点A的一个“上位点”，现有

函数y=〃x)图像上的点列监，M2,Mn,使得对任意正整数”，点心都是点吃+1的一个“上位

点”.

(1)若左=0,请判断原点。是否存在“上位点”，并说明理由；

⑵若点Ml的坐标为(310),请分别求出点〃2、AG的坐标；

⑶若M的坐标为(3,0),记点M”到直线y=，"的距离为力.问是否存在实数机和正整数T,使得无穷数列办、

dT+l....办+“…严格减？若存在，求出实数机的所有可能值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)原点。不存在“上位点”，理由见解析

⑵点场的坐标为(。,0)，点M的坐标为

2

⑶存在，m=--

【分析】（1）先求得函数经过点。的切线方程，再