2025高考数学复习必刷题：存在性问题的探究（学生版）

第74讲存在性问题的探究

知识梳理

题型一：存在点使向量数量积为定值

例L(2024・甘肃天水•高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E的中心在原点，焦点在尤

轴上，椭圆的左顶点坐标为卜&,0),离心率为e=f.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点(1,0)作直线/交E于P、。两点，试问：在无轴上是否存在一个定点使

标•改为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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例2.(2024•山西大同•高二统考期末)已知椭圆二+与=1(°>6>0)的一个焦点与抛物线

ab

y2=4氐的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点(1,0)的直线/与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点外m,0),

使豆•四恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

例3.(2024.重庆渝北.高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C的中心在坐标

原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为耳，入，短轴长为2班.点尸在椭圆C上，且满

足△尸月鸟的周长为6.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点(T，。)的直线/与椭圆C相交于A,8两点，试问在x轴上是否存在一定点”,

使得祝•荻恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.

变式1.（2。24.全国•高三专题练习）已知椭圆C:：+…>。）的离心率为去椭

圆经过点A

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点（1,0）作直线/交C于两点，试问：在x轴上是否存在一个定点尸，使

两•两为定值？若存在，求出这个定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

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变式2.（2024.辽宁锦州.统考模拟预测）已知「工为双曲线E:1-1=1（°>0*>0）的

ab

左、右焦点，E的离心率为石，“为E上一点，且图一|〃制=2.

（1）求E的方程；

⑵设点M在坐标轴上，直线/与E交于异于M的两点，且点”在以线段A3为直径的

圆上，过“作MC1.AB,垂足为C,是否存在点。，使得|CD|为定值？若存在，求出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

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变式3.（2024•山西大同・统考模拟预测）已知椭圆0:0+2=1（4>6>0）的离心率为

ab

*且直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线.

⑴求椭圆G的方程；

⑵过点s（o,-£|的动直线力交椭圆G于A,8两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个

定点T,使得以A3为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理

由.

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变式4.（2024・江苏扬州・统考模拟预测）已知椭圆C:=+多=l（a>b>0）的左顶点为A,

过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3.

⑴求△APQ的内心坐标；

⑵是否存在定点。，使过点。的直线/交C于M,N,交尸。于点R,且满足

MRND=MD~RN^若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由.

题型二：存在点使斜率之和或之积为定值

例4.（2024.山东泰安・统考模拟预测）已知为。坐标原点，

A（2,0）,B（0,l）,C（0,-l）,D（2,l）,OE=AOA,DF=ADA,Q<2<1,CE和BF交点为P.

⑴求点尸的轨迹G；

⑵直线y=x+皿加WO）和曲线G交与N两点，试判断是否存在定点。使左

如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.

例5.（2024.重庆渝中.高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）己知点4（-2,0）,B（2,0）,

3

尸(x,y)是异于A，B的动点，%,L分别是直线AP,阱的斜率，且满足加•％=-：.

(1)求动点尸的轨迹方程；

⑵在线段A3上是否存在定点E,使得过点E的直线交P的轨迹于M,N两点，且对直线

x=4上任意一点Q,都有直线QM,QE,QV的斜率成等差数列.若存在，求出定点E,

若不存在，请说明理由.

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例6.(2024•吉林・吉林省实验校考模拟预测)以双曲线己方-弓=1(。>08>0)的右焦点产

ab

为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点。

(1)求C的方程.

(2)在x轴上是否存在定点过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线/,当/与C交于

两点时，直线AF,8厅的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说

明理由.

变式5.(2024.湖北荆州・高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为

x2+y1-Smx-(6m+2)y+6m+\=0(meR,m^0),椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

(1)证明圆C恒过一定点M,并求此定点M的坐标；

(2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；

(3)当〃z=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点求此时椭圆方

程；在无轴上是否存在两定点A,8使得对椭圆上任意一点。(异于长轴端点)，直线

QA,Q8的斜率之积为定值？若存在，求出A,B坐标；若不存在，请说明理由.

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变式6.（2024・河北.高三校联考阶段练习）已知椭圆C：，+2=1（°＞匕＞0）的左、右焦

点分别为《，居，焦距为2,实轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点耳不与x轴重合的直线/与椭圆C相交于E,。两点，试问在x轴上是否存在

一个点使得直线ME,MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点〃的坐

标；若不存在，请说明理由.

变式7.（2024.吉林长春•高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆

C:^+方=1（。＞6＞0）的离心率为（，及、入分别是椭圆的左、右焦点，尸是椭圆上一

点，且△尸与居的周长是6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/经过椭圆的右焦点入且与C交于不同的两点N,试问：在x轴上是否

存在点。，使得直线。用与直线。N的斜率的和为定值？若存在，请求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

变式8.（2024.全国•高三专题练习）设椭圆C：\+E=Ka＞"＞。）的离心率是受，过点

aZ?2

P（0,l）的动直线L于椭圆相交于A,B两点，当直线L平行于尤轴时，直线L被椭圆C截得

弦长为2后.

（I）求E的方程；

（ii）在y上是否存在与点p不同的定点Q,使得直线4。和2。的倾斜角互补？若存在,

求。的坐标；若不存在，说明理由.

题型三：存在点使两角度相等

例7.（2024•新疆阿勒泰・统考三模）已知椭圆G：二+9=1（。＞1）的左右焦点分别为

a

辱F2,A,B分别为椭圆G的上，下顶点，尸2到直线A耳的距离为右.

⑴求椭圆G的方程；

⑵直线尤=无。与椭圆G交于不同的两点C,。，直线分别交X轴于P,Q两点.问：y

轴上是否存在点R,使得NORP+NORQ=]?若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明

理由.

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例8.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：5+W=l（a＞b＞。）经过点A（-2,0）且两个

焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.

（1）求椭圆C的方程和离心率；

（2）设尸，Q为椭圆c上不同的两个点，直线谡与y轴交于点E,直线AQ与y轴交于点

F,且尸、0、。三点共线.其中。为坐标原点.问：x轴上是否存在点“，使得

=若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由.

例9.（2024・四川绵阳.模拟预测）已知点A是圆C:（x-1）2+V=16上的任意一点，点

产（-1,0）,线段AF的垂直平分线交AC于点P.

⑴求动点P的轨迹E的方程；

⑵若过点G（3,0）且斜率不为。的直线/交（1）中轨迹£于M、N两点，。为坐标原点，

点3（2,0）.问：龙轴上是否存在定点T,使得=恒成立.若存在，请求出点T

的坐标，若不存在，请说明理由.

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变式9.（2024・陕西西安.陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆C:三+匕=l（a>0）经过点

（-1，1）,过点T（G,。）的直线交该椭圆于P,。两点.

（1）求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；

（2）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点S（s,0）使得ZPST=NQST恒成立？若存

在，求出$的值；若不存在，说明理由.

变式10.（2024.四川成都.高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆

。：3+方=1（。>>>0）过点,孝］,且上顶点与右顶点的距离为

⑴求椭圆C的方程；

⑵若过点尸（3,0）的直线/交椭圆C于A3两点，X轴上是否存在点Q使得

NPQA+NPQB』，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

变式U.（2024•河南信阳•高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系宜b中，动点M

到点0（2,0）的距离等于点M到直线x=1距离的加倍，记动点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知直线/：y=+r（此2）与曲线C交于4,8两点，问曲线C上是否存在两点P,。满

足ZAPB=ZAQ8=90。，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.

题型四：存在点使等式恒成立

例10.（2024•福建漳州•统考模拟预测）已知R是圆M：（x+6y+V=8上的动点，点

N（g,0）,直线NR与圆M的另一个交点为S,点L在直线MR上，MS//NL,动点L的

轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵若过点P（-2,0）的直线/与曲线C相交于A,B两点，且A,B都在x轴上方，问：在尤

轴上是否存在定点。，使得AQAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

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例11.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆「：5+左=1（。＞10）的左、右焦点分别为

ab

F、,F»过点8（0力）且与直线即垂直的直线交x轴负半轴于O,且2月后+M=G

（1）求椭圆「的离心率;

(2)若过8、D、工三点的圆恰好与直线/:x-&y-6=0相切，求椭圆「的方程;

(3)设a=2.过椭圆T右焦点B且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆「交于尸、。两点，点M

是点尸关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N,使得M、Q、N三点共线？若

存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.

例12.(2024.福建福州•福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近

线的距离为若，左、右顶点分别为A、B.曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短

轴，且离心率为g的椭圆，设尸在第一象限且在双曲线上，直线8尸交椭圆于点M,直线

AP与椭圆交于另一点N.

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；

⑵设MN与x轴交于点T,是否存在点P使得马=4/(其中/，/为点P,T的横坐标),

若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由.

变式12.(2024・福建福州•福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆

E：%r1的左顶点和右焦点分别为"动点尸满足网—小斗记动点尸的

轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设点。在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于M,N两点.是否存在点。，使

得|加郎等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

变式13.(2024・甘肃定西•统考模拟预测)己知点M到点尸的距离比它到直线/：

丁=-2的距离小记动点M的轨迹为E

(1)求E的方程;

⑵若过点下的直线交E于A(4%),州%,％)两点，则在无轴的正半轴上是否存在点P，

使得B4,尸8分别交E于另外两点C,D,且荏=3也？若存在，请求出尸点坐标，若不

存在，请说明理由.

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变式14.(2024•北京海淀•中关村中学校考三模)已知椭圆从「+2=13>6>())的焦距

ab

为2,长轴长为4.

(1)求椭圆E的方程及离心率；

⑵过点M(-3,0)且与x轴不重合的直线/与椭圆E交于不同的两点8、C,点8关于x轴的

对称点为8'.问：平面内是否存在定点尸，使得？恒在直线PC上？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，说明理由.

题型五：存在点使线段关系式为定值

例13.(2024・全国•高三专题练习)椭圆E经过两点,曰］,［¥，¥］，过点尸的动直线

/与椭圆相交于A,8两点.

⑴求椭圆E的方程；

(2)若椭圆E的右焦点是P,其右准线与x轴交于点。，直线AQ的斜率为左，直线3Q的斜

率为左2，求证：左+左2=。；

⑶设点尸亿。)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点尸不同

QAPA

的定点。，使得冷="丁恒成立？只需写出点。的坐标，无需证明.

例14.(2024.福建宁德•校考模拟预测)己知双曲线C与双曲线舌一］=1有相同的渐近

线，且过点42夜,-1).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)己知点0(2,0),E,尸是双曲线C上不同于。的两点，且理.力声=0，OGL瓦于点

G,证明:存在定点H,使|G"|为定值.

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例15.(2024・四川成都・高三校考阶段练习)已知椭圆C：亍+a=1(">6>0)的离心率为

过椭圆右焦点厂的直线/与椭圆交于48两点，当直线/与x轴垂直时，|AB|=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵当直线/的斜率为H%w0)时，在X轴上是否存在一点尸(异于点尸)，使X轴上任意一

点到直线刑与到直线尸8的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由.

变式15.（2024•陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆E的中心为坐标原点,

对称轴为坐标轴，且过点4（2,0）,21,.直线x=7（不经过点B）与椭圆E交于M,N

两点，。。,。），直线"Q与椭圆E交于另一点C,点尸满足酬•祀=0,且P在直线NC

上.

⑴求E的方程;

（2）证明：直线NC过定点，且存在另一个定点R,使|尸用为定值.

变式16.（2024•湖南衡阳•高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线

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C:,-方=l（a>0,b>0）的右焦点，右顶点分别为尸，A,川02），W典=1,点加在线

段A3上，且满足忸=直线ON的斜率为1,0为坐标原点.

⑴求双曲线C的方程.

⑵过点厂的直线/与双曲线C的右支相交于尸，。两点，在x轴上是否存在与产不同的定

点E,使得但P|•|P。|=但0•|FPH'亘成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理

由.

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变式17.(2024•河北秦皇岛•校联考模拟预测)如图，椭圆C:=+2=l(a>6>0)的左、