2025届新高考数学一轮复习特训：概率 （含答案）

2025届新高考一轮复习特训概率

一、选择题

1.学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个

班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中，这个班总共参赛的同学

有（）

A.20人B.17人C.15人D.12人

2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（）

A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品

3.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件3表示“小于5的点

数出现”，则一次试验中事件A+月发生的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3236

4.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：

“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求

被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问

题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题.

如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服

用过兴奋剂的百分率大约为（）

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

5.端午节放假，甲回老家过节的概率为工，乙，丙回老家过节的概率分别为4，

345

假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）

A.—59B.-3C.-1D.—1

605260

6.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）

A.lB.lC.-D.-

2436

7.以下事件是随机事件的是（）

A.标准大气压下，水加热到100。€：,必会沸腾

B.走到十字路口，遇到红灯

C.长和宽分别为a,6的矩形，其面积为必

D.实系数一元一次方程必有一实根

8.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个

样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（）

A.-12B.-C.-3D.24

5555

二、多项选择题

9.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件4=｛两炮弹都击中飞机

｝，事件B=｛两炮弹都没击中飞机｝，事件C=｛恰有一炮弹击中飞机｝，事件D=｛至少有

一炮弹击中飞机｝，则下列关系正确的是（）

A.AD^0B.BD=0C.AB=BDD.AC=D

10.有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两

次，每次取1个球用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的

标号，记事件A：%+y为偶数，B-.孙为偶数，C：%〉2,则（）

A.p（B）=|B.A与3相互独立

C.A与C相互独立D.B与C相互独立

11.下列命题中为真命题的是（）

A.若事件A与事件3互对立事件，则事件A与事件3为互斥事件

B.若事件A与事件5为互斥事件，则事件A与事件3互为对立事件

C.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A+B为必然事件

D.若事件A+§为必然事件，则事件A与事件3为互斥事件

三、填空题

12.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率

是..

13.为开展某教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣

讲，则恰好选中甲和丙的概率是.

14.已知事件A,B,C两两互斥，5.P（A）=0.3,P（豆）=0.6,P（C）=0.2,则

P（ALB_C）=.

四,解答题

15.小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达

的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率；

(3)这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.

16.某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计解题思路,从男、女生

中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.

(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？

(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求

至少有1名男生的概率.

17.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.

某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使

用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下

⑴根据频率分布直方图,估计年龄样本数据的75%分位数：

(2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.

(i)完成下列2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关

联？

青年非青年合计

喜欢20

不喜欢60

合计200

(ii)按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民

中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.

参考公式：/=7-------------------------------其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(》+d)

参考数据:

P(必明0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生Ar4、4，2名女生与、生，现从

中随机抽取2名学生参加比赛.

(1)问共有多少个基本事件(列举说明)？

⑵抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？

19.已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球,甲袋中有红球2个、白

球1个、蓝球1个,乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.

(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；

(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.

参考答案

1.答案：B

解析：设参加田径运动的同学构成集合A,参加球类运动会的同学构成集合民

则参加田径运动同学人数cardA=8，

参加球类运动会的同学人数cardB=12,

两次运动会都参赛的同学人数card(A5)=3,

则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为

card(AB)=cardA+cardB-card(A5)=8+12-3=17.

故选：B.

2.答案：B

解析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所

以事件A的对立事件为至多一件次品.故B正确.

3.答案：C

17

解析：由已知得：P(A)=-,P(B)=-,

事件5表示“小于5的点数出现”，

则事件后表示“出现5点或6点”

故事件A与事件》互斥，

_122

P(A+B)=P(A)+(l-P(B))=-+(l-j)=-

故选：C.

4.答案：B

解析：因为抛硬币出现正面朝上的概率为工，大约有150人回答第一个问题，

2

又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，

在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，

共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，

因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为且处3.33%.

150

故选：B

5.答案：B

解析：端午节放假，甲回老家过节的概率为工，乙，丙回老家过节的概率分别为工，

34

1

5,

假定三人的行动相互之间没有影响，

这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，

二这段时间内至少1人回老家过节的概率为：p==

故选：B.

6.答案：B

解析：两名同学分3本不同的书，记为a,b,c,

基本事件有（0,3），（la,2）,（lb,2）,（lc,2）,（2,1a）,（2,仍），（2,1c），（3,0），共8

个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，二一人没有分到

书，另一人分得3本书的概率p=2=L

84

故选:B

7.答案：B

解析：A.标准大气压下，水加热到100°C必会沸腾，是必然事件，故本选项不符合题

思；

B.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；

C.长和宽分别为a,5的矩形，其面积为彷，是必然事件，故本选项不符合题意；

D.实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件，故本选项不符合题意故选B.

8.答案：D

解析：依题意可知,总体平均数为97,

从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下：

选到95,96,则样本平均数为95.5，所以|95.5-97|=1.5,

选到95,97,则样本平均数为96,所以|96-97|=1,

选到95,98,则样本平均数为96.5，所以|96.5-97|=0.5,

选到95,99,则样本平均数为97,所以|97-97|=0,

选到96,97,则样本平均数为96.5，所以|96.5-97|=0.5,

选到96,98,则样本平均数为97,所以|97-97|=0,

选到96,99,则样本平均数为97.5，所以|97.5-97|=0.5,

选到97,98,则样本平均数为97.5，所以|97.5-97|=0.5,

选到97,99,则样本平均数为98,所以|98-97|=1,

选到98,99,则样本平均数为98.5，所以|98.5-97|=1.5,

所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为*=±

105

故选：D.

9.答案：ABD

解析：由题意得，事件C=｛第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中｝，事件

D=｛恰有一枚击中或两枚都击中｝,

对于A中，由事件A=｛两炮弹都击中飞机｝,｛至少有一炮弹击中飞机｝，得

AD=A,正确；

对于B中,由事件5=｛两炮弹都没击中飞机｝,£>=｛至少有一炮弹击中飞机｝，得事件B

与事件。是互斥事件，所以30=0,正确；

对于C中，由事件4=｛两炮弹都击中飞机｝,3=｛两炮弹都没击中飞机｝,。=｛至少有一

炮弹击中飞机｝,

得A3不是必然事件，说。为必然事件，所以A323。，不正确；

对于D中，事件A=｛两炮弹都击中飞机｝,C=｛恰有一炮弹击中飞机｝｛至少有一炮

弹击中飞机｝,

得AC=｛至少有一炮弹击中飞机｝，所以AC=£>,正确.

故选:ABD.

10.答案：ACD

解析：对A：尸⑻++溶啜/故人正确;

对B：P（A）=|x|+|x|弓J，。（明=|x|<£

4

则P(A)•「(§)==■|/「(■)，故A与3不相互独立，故B错误;

对C：P（C）=-=-尸冈=衿+衿嗤三

63

则P(A)・P(C)=gx|=g=P(AC)，故A与C相互独立，故C正确;

对D：Pg=|xl+|x|心1

2

则故3与C相互独立，故D正确;

故选：ACD.

11.答案：AC

解析：对立事件首先是互斥事件,A为真命题；

互斥事件不定是对立事件,B为假命题；

事件A,B为对立事件，则在一次试验中A,B一定有一个发生,C为真命题；

事件A+3表示事件A,B至少有一个发生,A,3不一定互斥,D为假命题.

故选AC.

12.答案：1

3

解析：从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有C；=6种取法，其中乘积为6的有

1,6和2,3两种取法，因此所求概率为尸=2=L

63

13.答案：1

6

解析：从甲、乙、丙、丁四名宣讲员选取两名有如下情况：

甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种情况，

则恰好选中甲和丙的概率为工.

6

故答案为：1.

6

14.答案：0.9

解析：由题意得P(B)=1-P(B)=0.4,则P(A_5C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.9.

故答案为：09

15.答案：⑴0.398

(2)0.994

(3)0.092

解析：(1)由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)•P(C)+P(A)P(耳)P(C)+P(A)•P(B)P(C)

=0.2x0.7x0.9+0.8x0.3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398•

(2)由题意得，三列火车至少有一列正点到达的概率为

1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1—0.2x0.3x0.1=0.994.

(3)由题意得，恰有一列火车正点到达的概率为

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.8x0.3x0.1+0.2x0.7x0.14-0.2x0.3x0.9=0.092.

16.答案：(1)男30人，女45人

(2)—

10

解析：(1)由题可得，男生优秀人数为100x(0.01+0.02)x10=30人，

女生优秀人数为100x(0.015+0.03)x10=45人；

(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是」_=J_,

30+4515

所以样本中包含男生人数为30x1=2人，女生人数为45x，=3人.

1515

设两名男生为a,4，三名女生为耳,与，.

则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：

｛44｝,｛4目｝,｛4也｝，｛4，闻，｛4,4｝，｛4也｝，｛4，&｝，｛4也｝，｛与，闻，但也｝共

io个，

记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，

则事件C包含的基本事件有：

｛44｝,｛44｝，｛4，与｝，｛4闻，｛4,4｝，｛4，耳｝,｛4，四｝共7个.

所以尸(c)=：

17.答案：(1)45

⑵（i）列联表见解析;有；（ii）—

14

解析：（1）由频率分布直方图可知，

年龄在40岁以下的居民所占比例为10义（0.01+0.025+0,03）=0.65,

年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65+10x0.02=0.85，

所以75%分位数位于［40,50）内，

0.75-0.65

由40+10x=45,

0.85-0.65

所以，样本数据的75%分位数为45;

（2）（i）由题知,2x2列联表为:

青年非青年合计

喜欢9020110

不喜欢603090

合计15050200

根据列联表中的数据，可得:

200(90x30-60x20)2

-6.061>3.841.

150x50x110x90

所以，有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联;

（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取8x3=6人，非青年居民应抽取2人.

4

设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X,

P”=3)=与C3clH4

p(x=4)=#=a,

'，C；14

所以「（X23）=P（X=3）+P（X=4）=