2025届高三10月大联考新高考数学试题（含解析）

2025届高三10月大联考（新课标卷）

数学试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1已知集J=5=｛爪V-1

或%>1},贝i］AU3=（）

A.+co)B.R

C.(-co,l)o(l,+co)D.0

2.数据25,30,32,35,37,39,40,42,43,44上四分位数为（）

A.30B.32C.40D.42

3.已知石为非零向量，£/=1，B=(3,4),则£在石上的投影向量为（）

ni-17

A.—bB.r—bC.hD.-----b

525125

4.已知等差数列｛为｝前〃项和为S“，若的=2

,S7=3a4+4,则Si。=（）

55

A.-5B.5C.一一D.-

22

.(371)(71)

sin------xcos—+x

5.函数/(x)=______I2J12J_图象的对称中心为（）

(sinx+cosx)-l-sin2x+cos2%

A.［与，°］，ksZB.］今，°［，kwZ

C.(配0),k0LrD.(2仇0),ksZ

6.(2x+l)[x—工]的展开式中f项的系数为()

A.10B.20C.-10D.-20

7.樟卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并

具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了柳卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，

用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是正方形，EF//AB,

且VADE，V3”均为正三角形，EF=2AB=8,则ED与族所成角的大小为()

8.已知函数满足/(x)-2/(—x)=sinx+tanx,若函数y=/(x)在[一3兀,5兀|上的零点为百,

了2，…，匕，则Z%=()

i=l

A.8兀B.9兀C.16兀D.17兀

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设z-Z2为复数，则下列说法中正确的有()

A.右Z]=a+Z?i,z?=c+di,其中a,b,c,deR，且a>c,b>d,则z】>z2

B.若n?-3m+2+(m?-l)i(eR)为纯虚数，则〃？=2

C.若关于x方程必+°%+4=0,p,qeR的一个虚根为公―1,则p+4=-5

D.若z=-l+2i,z2=3+4i,则复数4-Z2在复平面内对应的点位于第三象限

10.已知抛物线C：/=4%的焦点为E，直线/与C交于A3两点，设4(%,月)，S(x2,y2),A3的中点

为〃(％,%),则下列说法中正确的有()

A.若直线/过焦点则|45|=2/+4

B.若直线/过焦点厂,则斗忸同的最小值为4

C.若直线AB的斜率存在，则其斜率与与无关，与%有关

D.若。为坐标原点，直线/的方程为y=k(x—4),则。4LOB

11.已知函数/(%)的定义域为+keZ>,其导函数为尸(%),/［曰］=0，/^=1«且

f(x+y)-f(x)f(y)f(x+y)=f(x)+f(y),贝|()

A./(0)=0B./(£)为奇函数

2024(•\

c.?(〃eN*)是函数/⑺的周期D.-+-=2024

2i=o1X

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若定义在R上的函数/(%)满足/(2)=1,且lim""一"2)=1,则曲线y=/(£)在点(2,/(2))

处的切线方程为.

13.已知椭圆占+卫=1的长轴长为4,离心率为走.若A,B分别是椭圆的上、下顶点,

a2b12

—►—►1

耳,尸2分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上任意一点，且PA•尸3=—则△尸耳入的面积为.

14.已知不等式e'+2(l-―三以恒成立，则实数。的取值范围为.

x

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且。=1,bcosA+acosB=2ccos.

(1)求3；

(2)若。是边AC上一点，且DC=2AD,BD=—,求人

3

16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为加，

参加体能训练活动的男生人数为［加，不参加体能训练活动的男生人数为工相，参加体能训练活动的女生

34

人数为,〃2.

4

(1)若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的2x2列联表，并依据小概率值a=0」的/2独立

性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联;

参加不参加合计

男生

女生

(2)按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14

人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X,求X的分布列和数学期望.

n(ad—be)’

参考公式：/=其中〃=a+Z?+c+d.

(o+b)(c+d)(o+c)(b+d)

a010.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

17.如图，在正三棱锥P—A3C中，PA=PB=PC=a,AB=AC=BC=b,5c的中点为。，过点

P作底面ABC的垂线，垂足为〃，。是线段PH上的一个动点.

(1)证明：OALBC-,

(2)若。是正三棱锥P-ABC外接球球心，且a=6,求平面Q4B与平面08。夹角的余弦值.

18.在平面直角坐标系x0y中，4(—2,0),3(2,0),C是平面内的动点，且VA5C内切圆的圆心在直线

尤=1上.

(1)求动点C的轨迹W的方程；

(2)过点3作三条不同的直线』2，4，且轴，乙与W交于M，N两点，4与W交于尸，Q

11

两点，M,P都在第一象限，直线"P,NQ与乙分别交于点G,H,证明：百为一而言为定值.

19.一般地，〃元有序实数组(4,称为及维向量(如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实

数对可表示二维向量，…).类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于〃维向量，也可以定义两个向量的

加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)等，如;=(。］，4,…,4)，则

1一1FT：---------------UUUUU1

忖=5；+用+…+禽.若存在不全为零的r个实数匕，Q…,kr,使得《q+&%+…+(%=。，

则称向量组后，%,…，区是线性相关的，否则，称向量组%,…，心是线性无关的.

(1)判断向量组Z=(U,1),B=(一1,2,2),"=(4,2,—1)是否线性相关.

(2)已知函数/(1)=1,g(x)=ax+l,且/(X)-g(x)»O恒成立.

①求。的值；

②设a=，其中/=(、,若4=/(")，g=g(〃)，数列色,%｝的前〃项和为S“；证明：

-g\n)

当时，S-|«|>n-2n+1------>—.

11n+12

2025届高三10月大联考（新课标卷）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合"卜I'-I8={x|xWT或"1},则AU§=（）

A.+co）B.R

C.（-co,l）o（l,+co）D.0

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意先求集合A,进而根据并集运算求解.

【详解】由题意可知：A={x|y=，1={x|xwl},

且3={x|xW—1或尤＞1},所以AU3=（—8,l）D（l,+8）.

故选：C.

2.数据25,30,32,35,37,39,40,42,43,44的上四分位数为（）

A.30B.32C.40D.42

【答案】D

【解析】

【分析】从小到大排序后，位于75%位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位数

的值.

【详解】n=10,计算75%位置的序号，=10x0.75=7.5.

由于，=7.5不是整数，向上取整为8,所以上四分位数是第8个数，即42.

故选：D.

3.已知B为非零向量，£名=1，3=（3,4）,则£在B上的投影向量为（）

1r1-_1_

A.—bB.—bC.hD.---b

525125

【答案】B

【解析】

【分析】由模长的坐标表示可得可，再结合投影向量的定义分析求解.

【详解】由题意可得：W="+不=5,

|-b\r1r

所以〃在B上的投影向a量为=石灰

故选：B.

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S",若%=2,57=3a4+4f则=（）

,「55

A.—5B.5C.D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列性质可得的=1，结合等差数列通项公式列式求q,d,代入等差数列求和公式即可.

【详解】设等差数列｛aj的公差为d,

因§7=7%=3%+4,可得“4=1，

a.=a.+3d=1

且%=2,贝l卜4”,解得《

〃2=4+a=2

所以Ho=i°xg+12

故选：D.

./3兀)(n)

sin----xcos—+%

5.函数了(同二(2J(2J图象的对称中心为()

(sinx+cosx)-l-sin2x+cos2x

?,oj,kwZ

A.B.y,0j,kwZ

C.(配0),keZD.(2hr,0),ksZ

【答案】A

【解析】

【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案;

3TT

sin--xcos^+工

-cosxx(-sinx)-sin2x

【详解】2」tan2x，

(sinx+cosJ;)--1-sin2x+cos2x1+sin2x-1-sin2x+cos2xcos2x2

令2x=生/eZ,则x=®，左eZ,

24,

所以对称中心为华,0,keZ,

故选：A.

6.(2x+l)的展开式中f项的系数为（)

A.10B.20C.-10D.-20

【答案】B

【解析】

【分析】结合二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】

且X—J的展开式为(+I=C>*5-=(—1)'G2,r=0,l,2,3,4,5,

令5—2厂=1,解得r=2,可得4=(—l)2c}x=10x；

3

令5—2r=2,解得厂=—©Z,不合题意；

2

所以/项的系数为2x10=20.

故选：B.

7.樟卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并

具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了樟卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，

用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是正方形，EF//AB,

且VADE，V3”均为正三角形，EF=2AB=S,则ED与3P所成角的大小为()

【答案】A

【解析】

【分析】作出图形，取所的中点G,连接AG,CG,AC,可求出NAGC为异面直线ED与加'所成的角,

再由勾股定理计算即可；

如图，取所的中点G,连接AG,CG,AC,

因为EFHAB,EF=2AB=8,所以四边形ABbG为平行四边形，

所以3尸//AG,

同理可得ED//CG,所以ZAGC为异面直线ED与所所成的角或其补角，

AC=472-AG=CG=4,即3=AG?+CG?，

TTTT

所以NAGC=2，即ED与取所成角的大小为士，

22

故选：A

8.已知函数/(%)满足/(X)-2〃—x)=sin%+tanx,若函数y=/(x)在［一3兀,5兀|上的零点为占,

X2,Xn,贝区/=()

Z=1

A.8兀B.9TIC.16nD.17兀

【答案】B

【解析】

【分析】先利用方程组法求出/(%)的解析式，结合/(%)的奇偶性将［-3兀,5可上的零点和转化为(3兀,5可

上的零点和问题，令/(x)=0,转化为sinx=-tanx,结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.

【详解】由/(x)-2/(-x)=sinx+tanx,可得

f(-x)-2/(x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx,

解得了(x)=；(sinx+tanx)，易知/(%)为奇函数，故/(X)的图象关于原点对称，

则函数y=/⑺在［-3兀,3可上的图象关于原点对称，

故函数y=/(乃在［-3兀,3可上的零点也关于原点对称，和为0,

在(3TI,5兀］上的零点和即为［-371,5兀］上的零点和，

令/(%)=。,得sinx+tanx=0,

sinx=—tanx,1仁(3兀,5兀］,作出y=sinx和y=—tan尤在同一坐标系中的图象，

可知y=/(%)在(3兀,5兀］内的零点有4兀和5兀两个，

故Z%=471+571=971.

/=1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设zrZ2为复数，则下列说法中正确的有()

A.若4=。+历，Z2=c+di,其中a,b,c,deR,且a>c,b>d,则zfz?

B.若加一3m+2+(W-l)i(eR)为纯虚数，则〃z=2

C.若关于x的方程/+px+q=0,p,qeR的一个虚根为2i—1,则P+"=-5

D.若Z］=-l+2i,z2=3+4i,则复数4-Z2在复平面内对应的点位于第三象限

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另

一个虚根为-2i-1，利用韦达定理运算求解；对于D：可得马-4=-4-2i,结合复数的几何意义分析判

断.

【详解】对于选项A：因为可知Z],Z2不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误；

对于选项B：若%2—3m+2+(n?—l)i(meR)为纯虚数，

[m2一3加+2=0

则<0,解得m=2,故B正确；

对于选项C：若关于%的方程/++q=o,p,9£R的一个虚根为2i-l,

则另一个虚根为—2i—1,

所以p+q=7故C错误;

可得2m年厂

对于选项D：若Z[=—l+2i,z2=3+4i,则z1-z2=—4—2i,

复数4-22在复平面内对应的点为(-4,-2),位于第三象限，故D正确；

故选：BD.

10.已知抛物线C：/=4%的焦点为77,直线/与C交于两点，设4(%,%)，5(x2,y2),A3的中点

为河(％,%),则下列说法中正确的有()

A.若直线/过焦点F，则|AB|=2%+4

B.若直线/过焦点/，则|”卜|跳1的最小值为4

C.若直线A3的斜率存在，则其斜率与与无关，与为有关

D.若。为坐标原点，直线/的方程为y=k(x—4),则

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A：由条件，结合抛物线的定义判断A；

对于B：设直线l:x=my+l,根据抛物线的定义结合韦达定理可得%+%，%%，故|忸4=4〉+4,

求其最值可得结论;

对于C：利用点差法分析判断；

对于D：利用韦达定理可得石马=16,结合方程可得=-16,再根据向量垂直分析判断

【详解】由题意可知：F（1,O）,且《一°，直线/的斜率可以不存在，但不为0.

%=2%

对于A,因为=|AF|+忸同=（玉+1）+（%+1）=（玉+々）+2=2%0+2,故A错误；

对于选项B：若直线/过焦点厂，设直线/:%=阳+1,

联立方程「1,消去了可得V—4如—4=0,

则A=16m2+16>0，可得%+%=4m,%%=~4，

所以|AF|忸月=（3+1）（/+1）=（叼1+2）（my2+2）=n^yxy1+2m（y}+y2）+4

=-47n2+8/n2+4=4m2+4>4>

当且仅当机=0时，等号成立，

所以|A司忸的最小值为4,故B正确；

对于选项C：因为A。:1,月）,8（久2，丫2）在抛物线<^上，

则两式作差可得力—第=（X+%）（%—%）=4（%-9），

〔为=乜

若直线AB的斜率存在，则kAB=1’-=----=—,

%一%2%+>2%

所以直线A3的斜率与%无关，与为有关，故C正确；

对于选项D：联立方程<；U；一",消去丁可得上2J—（8左2+4卜+16左2=0,

可得八=（8左2+4/一64/=64左2+16>0,且=16,

由选项C可知：代£=16%逮2=256,且%%<0，可得%为=-16,

贝！］西•丽=为々+M%=0，所以Q4_LOB,故D正确；

故选：BCD.

11.已知函数/（X）的定义域为<X+左Cz>,其导函数为尸（x）,=0,=且

/(x+y)-/(x)/(y)/(x+y)=/(x)+/(y),则()

A./(O)=OB.尸(x)为奇函数

C.y(neN*)是函数/(%)的周期D.=2024

i=0

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：利用赋值法令x=y=0,代入运算即可；对于B：令丁=一％,可得/(%)=—/(—%),

进而可得/'(x)=/'(—x),即可判断；对于c：令y=]，可得/、+曰=/(耳，结合周期性分析判断;

对于D：根据周期性运算求解即可.

【详解】因为/(x+y)—/(x)/(y)/(x+y)=/(x)+/(y),=/^=1-

对于选项A：令尤=y=0,可得/⑼―/3(O)=2/(O),即/⑼⑼+1]=0,

显然尸(0)+1。0,所以/(0)=0,故A正确；

JTKTT

对于选项B：因为数/(%)的定义域为欢eZb关于原点对称，

Qf可得/⑼―〃x)〃f)〃0)=〃x)+〃f)，

即/(X)=可得/'(%)=/'(一%),且"X)不为常函数，(⑺不恒为0,

所以尸(%)为偶函数，故B错误；

对于选项C：令y=5,可得++=+

即/\+|J=/(x)，可知宙为/(%)的一个周期，

所以三"eN*)是函数/(%)的周期，故C正确；

对于D：因为三(〃eN*)是函数/(%)的周期，

则/[：+/=/用=1”z，所以£(：+2]=2025,故D错误；

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对

7T

于本题关键赋值有：令x=y=O,，=一x和丁=万.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若定义在R上的函数〃%)满足"2)=1,且嗯〃“A；⑵=i,则曲线y=在点(2,/(2))

处的切线方程为.

【答案】J=x-1

【解析】

【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.

【详解】lim/Cr)-/(2)=l,所以7>'(2)=1=匕且/(2)=1,曲线y=/(x)在点(%,为)处的切线方程

Xf2x-2

为'一为=k(x—Xo).

己知4=2,%=/(2)=1.

将这些值代入切线方程公式，得到y-1=1x(%-2).

化简这个方程，得到y=x-L

故答案为:y=x-L

13.已知椭圆与+£=1的长轴长为4,离心率为走.若A,3分别是椭圆的上、下顶点,

a2b22

----1

K，F2分别为椭圆的上、下焦点，尸为椭圆上任意一点，且尸4P3=-5,则的面积为.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】先根据长轴及离心率列式求出a,瓦c得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点尸的坐标，最后计

算面积即可.

3=4

【详解】因为,

a2

〃2=+

所以。=2,b=l,c=A/3,

2

所以椭圆方程为匕+炉=1,

4

设？小,%），椭圆的上、下顶点A（0,2）,3（0,—2）,

___2

所以西=（一如2_%）,而=（—%-2-%）,且幸+片=1,

所以PA-PB=%;+yj-4=x；+4-—4=——,

1

所以焉9=二,

6

」x2cx逅=百、逅=也

即得内可x闯

2662

故答案为：注

2

14.已知不等式e，+2（1—x-a]<-—T二恒成立，则实数。的取值范围为

X

【答案】（0,+。）

【解析】

【分析】根据题意整理可得ei.+2（x+lnx）<+2（/+依），构建/（"=/+22>0,结合单

InXIrix

调性可得x+Inx<V+依，参变分离可得1—%+—<«,再构建g（x）=l—x+—,利用导数求最值

XX

即可.

e?+ttT-21nx

【详解】因为e'+2（l-x—a）<，且%>0,

x

则xe-v+2x-2x2—2奴<e'+跋—2Inx，整理可得e>1nx+2（x+lnx）<e'+"+2（x2+ax）,

则e%+1nx+2（x+inx）<e，+〃

因为y=e*,y=2x在（0,+8）内均为增函数，则/（%）在（0,+8）内为增函数,

InY

可得x+lnx<x?+依恒成立，BP1—%H------<a恒成立,

x

令g（x）=l-x+^^,贝I|g[x）=_l+1-lnxx2+Inx-1

X2X2

令h(x)=d+ln.r-l,x>0,

因为y=/,丁=lnx-l在(0,+8)内均为增函数，

则h(x)在(0,+8)内为增函数，且八⑴=0,

当0<x<l时，则h(久)<0,即g'(x)>0；当x>l时，则h(x)>0,即g'(x)<0；

可知g(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，

则g(x)Wg(l)=0,可得a>0,

所以实数。的取值范围为(0,+8).

故答案为：(0,+8).

【点睛】关键点点睛：对原式同构可得小皿+2(%+111%)</+口+2(X2+汨，构建函数结合单调性分

InV

析可得1-x+—〈。恒成立.

X

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且。=1,6cosA+acos3=2ccos[g-3,

(1)求B；

(2)若。是边AC上一点，且DC=2AD,BD=—,求).

3

jr

【答案】(1)B=-

3

(2)出

【解析】

[分析](1)先由正弦定理化简得出sinBcosA+sinAcosB=2sinCeos[g再结合两角和正弦公式

(2n、1

化简得出cosy-B=-计算得角即可；

—.1—.?--

(2)先根据边长关系得出向量关系8。=-BC+—A4,再应用向量数量积运算解得c=2,最后余弦定理

33

计算得。.

【小问1详解】

因为Z?cosA+〃cosB=2ccos]g—B）,

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCeosf段-Bj,

2sinCcosfj,sinC>0,

sinC=sm（B+A）=

3843c（0,劝，所以笄-B=g

所以cos

3）乙JJ

兀

可得3=—

3

【小问2详解】

—、1—>2—►

因为DC=2AO,所以。C=2A£>，所以5。=]5。+耳区4,即得3丽=方心+2丽,

左右两侧平方得9而2=前2+4BA+4BC-BA>

又因为3=m，a=l,所以21=1+4丽2+,丽,]，

所以2c2+c-io=O，(c-2)(2c+5)=0,解得c=2,

由余弦定理得廿=4+1-2xlx2x；=3,所以b=

16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为加，

参加体能训练活动的男生人数为,加，不参加体能训练活动的男生人数为工相，参加体能训练活动的女生

34

人数为1根.

4

(1)若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的2x2列联表，并依据小概率值a=0.1的/2独立

性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；

参加不参加合计

男生

女生

（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14

人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X，求X的分布列和数学期望.

n(ad

参考公式：力2=其中〃=a+5+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）答案见解析；

Q

（2）分布列见解析；数学期望E（X）=—

【解析】

【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论;

（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可;

【小问1详解】

参加体能训练活动的男生人数为1加，即1200/=400人,

33

不参加体能训练活动的男生人数为工〃z，即1200x^=300人,

44

参加体能训练活动的女生人数为-m,即1200x1=300人，

44

所以

参不参合

加加计

男

400300700

生

女

300200500

生

1200(400X200-300X300)2

z2~0.980<2.706=

700x500x700x500

所以根据小概率a=0.1的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联,

【小问2详解】

按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，

则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，

由题意可得X的可能取值为0,1,2

P(X=0)=3=7P(X=1)=曾<，P(X=2)=34

13

所以X的分布列为:

X012

15484

P

919113

期望为E（X）=0x*l义48c48

—+2又一=一

91137

17.如图，在正三棱锥尸一A5C中，PA=PB=PC=a,AB^AC=BC=b,5c的中点为。，过点

P作底面ABC的垂线，垂足为。是线段PH上的一个动点.

(1)证明：OALBC-,

(2)若。是正三棱锥P-ABC外接球的球心，且a=。，求平面。钻与平面08。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解

⑵；

【解析】

【分析】（1）连接A。,。。，可得PHLBC,AD1BC,可证平面B4。，结合线面的性质即可

得结果;

(2)根据外接球的性质可得。5=。4==/。，求相关长度，做辅助线，可得二面角D-OB-E的平面

4

角/DME，结合余弦定理运算求解.

【小问1详解】

连接

因为P-ABC为正三棱锥，则〃为等边三角形ABC的中心，且物，平面ABC,

由3Cu平面ABC,则PHLBC

又因为。为3C的中点，则HeAD.ADLBC,

且PHcAD=H,P",ADu平面？AO，可得平面BID，

因为。Au平面？AD,所以。4，BC.

【小问2详解】

由题意可知：AD=-a,AH=—a,HD=—a>则PH=不二而7=逅a，

2363

设正三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

则k2=［立a［+1逅。_氏］,解得氏=如。，即05=04=^0，

I3JI3J44

则O//=AH—R=逅a，可得0D=dOH?+HD?=受。,

124

因为BC,平面？AD,ODu平面？AD，则BCLOD,

取A3的中点E，连接OE,EH,DE,则OEL/R,且EB=BD，ED=-a,

2

可知RtAOBE=RtAOBD,

过。作垂足为M,连接石则

可知二面角D—OB—E的平面角ZDME，

由AOBD的面积可得工'4'交0=!。”义在。，解得DM=1a，

224246

可知DM=EM=2a，

6

121212

DM、EM2DE212a+石。一丁1

在ADME中，由余弦定理可得cosZDME=

2DM-EM2aa2,

66

所以平面OAB与平面08□夹角的余弦值为.

2

18.在平面直角坐标系光中，A（-2,0）,B（2,0）,C是平面内的动点，且VA5C内切圆的圆心在直线

x=l上.

（1）求动点C的轨迹W的方程;

（2）过点3作三条不同直线4，,2，4,且轴，72与w交于N两点，4与w交于尸，Q

11

两点，M,尸都在第一象限，直线MP,N。与分别交于点G,H,证明：画一画为定值.

2

【答案】（1）/一2LX>1)

3

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得|C4|-|CB|=2,结合双曲线的定义分析求解;

11（14）1(14

（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得一=——+—班，—------F—，再求G，

1为3“2-

%一（X3J%-

H坐标，代入化简整理即可得结果.

【小问1详解】

设VA3C内切圆的圆心为R,且与三边切于点。，耳户,

则|cq=|CF|,|AD|=|AE|,|BE|=|BF|,

可得|C4|—|CB|=（|CD|+|AZ）|）—（|CF|+忸刊）=|">|―忸­=|AE]—忸国,

且2（—2,0）,5（2,0）,E（l,0）,即=3,|明=1，

可得|C4|—|Cfi|=|—忸国=2,

可知动点C的轨迹W是以AB为焦点的双曲线的右半支（顶点E除外），

所以动点C的轨迹W的方程为V—g=l（x〉1）.

【小问2详解】

2—

由题意可知：4：%=2,双曲线――1_=1渐近线为>=±后，

（百百、

设，2：%=町y+2,4：%=根2y+2,叫，根2£------,0u0,——

I3）\3,

〃（%，%），"（々，%），「（七，%），。（％4，”），且叫片吗，

%=m1y+2

联立方程2

19V消去尤可得(3"-1)/+12叫y+9=0,

x2-2-=l

I3

12m.9

贝…%=-斯丁力

3m；-1

可得—3(%+y,)=，整理可