2025届江门市高三数学上学期10月调研测试卷（附答案解析）

2025届江门市高三数学上学期10月调研测试卷

试卷满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，

2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

5.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1已知集合/={xeN0<x2<9j,8={xeN0J<l°},则一八（）

A.{X|0<X<9}B.{1,2,3}c.{X|0<X<3}D,{0,1,2,3}

2.设%〃eR,则“（加+1）3=/"是“2加<2"”的（）

A充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

3.下列命题为真命题的是（）

a+C

A.若a>6>c>0,贝B.若。>力>0,c<0,则

bb+cab

C.a>b>0则ac2>be1D.若a>b,则a>"十">b

f2

e+e<2,

4.已知函数/（x）=<x则/(ln27)=(

,x>2,

810728730

A.B.—C.—D.

3327~27~

以兀为周期，且在区间m，兀上单调递增的是（

5.下列函数中,

A.y=sin|x|B,y=cos|x|c.y=|tanx|D.y=|cosx|

6.在正方形48CD中，亚=丽，/=2丽,4F与。E交于点M,贝■]cosNEME=()

.V2R£rV2nX

551010

7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.己知金

针菇失去的新鲜度〃与其来摘后时间/(天)满足的函数解析式为力=加拈(/+。)(。>0).若采摘后1天，

金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为

60%,则采摘后的天数为()(结果保留一位小数，出土1.41)

A.1.5B,1.8C.2.0D.2.1

8.已知各项都为正数的数列{/J满足q=1，4=2，-anan_2>an_{an_2(??>3,«eN+),则下

列结论中一定正确的是()

A.%>124B,a20>1024C,tz8<124D,tz20<1204

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若函数/(x)=x(x—c)2在》=1处取得极大值，贝|()

A.c=1f或c=3

B.切(x+l)<0的解集为(-1,0)

C当0<x<]时，f(cosx)>/(cos2x)

D./(2+x)+/(2-x)=4

10.在V48c中，AB=\,AC=4,8C=,点。在边8C上，4D为/氏4c的角平分线，点E

为NC中点，贝ij()

A.VZ8C的面积为百B.BA-CA=2y/3

c.BE=6D.AD=^Y-

11.已知<(x)=sin2"x+cos2"x(〃eN+),则()

A.八(x)的最小正周期为:

2

B.力（x）的图象关于点—+―eZ）对称

C.4（x）的图象关于直线X=5对称

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/（x）=x1nx的单调递减区间为—

13.已知函数/⑴是定义在R上的偶函数，当xNO时，/（x）=sinx（l+cosx）,则当x<0时,

/(x)=

..4b+8

14.已知a〉0,bw0,且a+同=4,则,+码的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知角0的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（4,-3）.

（1）求sin2。的值;

（2）若角厅满足sin（（z+〃）=m，求cos"的值.

16.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,且3s“=4"M—4（〃eN+）.

（1）证明：数列｛10g24｝为等差数列;

1111100

（2）记数列｛log2%｝的前〃项和为北，+~+—+r,求满足条件的最大整数〃.

’1'2‘3LiI。I

17.已知VZ8C的三个内角4民。所对的边分别为见“c,且a=4,c=36,记VZ8C的面积为S,内

切圆半径为厂，外接圆半径为R.

若6=、/份，求siiL4；

记夕=g(a+b+c),证明:S

(2)r=——

P

(3)求rH的取值范围:

18设函数/(x)=lnx,g(x)=l--(x〉0).

,X

3

(1)求/(X)在X=1处的切线方程；

(2)证明：/(x)>g(x)：

(3)若方程4(x)=g(x)有两个实根，求实数。的取值范围，

19.如果定义域为[0』的函数/(x)同时满足以下三个条件：(1)对任意的xe[0』，总有/(x)20；

(2)=(3)当国之0,%2之0,且X[+々<1时，/(』+%2)»/(』)+/(工2)恒成立•则称/(X)

为“友谊函数”.请解答下列问题：

(1)已知/(X)为“友谊函数”，求/(O)的值；

(2)判断函数g(x)=3=x-是否为“友谊函数”？并说明理由；

(3)已知/(x)为“友谊函数”，存在％使得/(Xo)e[O/]，且/(/(%))=%,证明：

fM=x0.

江门市2025届普通高中高三调研测试

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合八小N0<x*9}，八{xeN°<x<l°},则小八()

A.{X|0<X<9}B.{1,2,3}c.{X|0<X<3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意求集合48,集合交集运算求解.

【详解】由题意可得：^={xeN|0<x2<9}={0,l,2,3},

5={xeN|0<x<10}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

所以/cB={01,2,3}.

4

故选：D.

2.设私〃eR,则“（加+1）3=/"是，2，"<2"”的（）

A,充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断.

【详解】由（加+1）3=〃3n加+i=〃=>2"=2",

又2“<2"阳，所以2'"<2"，故"（加+厅=/”是“2加<2"”的充分条件；

又若2"'〈2"，如m=0,〃=2,此时（加+1）3="3不成立，

所以“（加+1）3=/"是“2m<2"”的不必要条件.

综上："（m+1）3=〃3”是“2m<2"”的充分不必要条件.

故选：A

3.下列命题为真命题的是（）

na+ccc

A.若Q〉6>C>0,则一<----B.若a>人>0,c<0,则一<一

bb+cab

C.a>b>0,则ac2>be2D.若a>6,则a>"十">b

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.

…,aa+ca(b+c)-b(a+c)

【详解】对于A,---

因为Q>6〉C〉0,所以a-Z?>0](b+c)>0,

aa+cc(a-b)

所以1一温r"〉°'即AEf'故A错误;

对于B,因为。〉方>0,所以一<—，

ab

5

又c<0,所以一〉一，故B错误;

ab

对于C,当c=0时，ac2=bc2=0i故C错误;

对于D,若a>6,贝！12a〉a+仇a+b〉2Z?,

所以故D正确.

2

故选：D.

ex+e-x,x<2,

4.已知函数/（x）=<则/(ln27)=)

户>2,

810728730

A.-B.—C.---D.---

332727

【答案】B

【解析】

【分析】利用对数的运算性质计算可得答案.

【详解】因为1=出6<1!13<11162=2

e八%+Ie八一X</2c

所以In27=ln33=31n3〉3,又因为/(x)=<

,x>2

ln2731n31i

]n3}n3c110

所以/(ln27)=/-=f(\n3)=c+e-=3+c=3+-=—

"IF33

故选：B.

5.下列函数中，以兀为周期，且在区间'，兀上单调递增的是（

A.y=sin|x|B.y=cos|x|c.y=|tanx|D.y=|cosx|

【答案】D

【解析】

【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断.

兀=1,sin-包

【详解】对于A：由sin-不=-1,可知兀不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故

22

错误;

6

..(cosx,x>0cosx,x>0

对于B：y=cosx=<.=COSX,其最小正周期为2兀，故错误;

11cos-x,x<0COSX,X<0

对于C：^=g1词满足忖11(》+乃)|=恤11$,以兀为周期,

当兀时，y=|tanx|=-tanx,由正切函数的单调性可知y=|tanx|=-tanx在区间［1■,7l)上单

调递减，故错误;

对于D,y=|cosx|满足k°s(x+n)|=|cosx|,以兀为周期,

当•，兀J时，J=|cosx|=-cosx,由余弦函数的单调性可知，N=-cosx在区间［■|,兀)上单调递

增，故正确；

故选:D

6.在正方形48CD中，石=丽，元=2砺与£>E交于点M,贝!1cos/EME=()

V21V21

A.—B.-C.—D.—

551010

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.

建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的棱长为2,

因为近=丽，正=2丽，

则£(0,1),4(0,2),0(2,2),尸［刀］，

所以赤=(：,—2),DE=(-2,-l),

7

所以cos/EMF=|cosAF,nE|=—~■圆=—.

故选：C

7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金

针菇失去的新鲜度〃与其来摘后时间/(天)满足的函数解析式为力=加拈«+。)(。>0).若采摘后1天，

金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为

60%,则采摘后的天数为()(结果保留一位小数，后土1.41)

A.1.5B,1.8C.2.0D,2.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出。的值，再根据两个等式相除可求得结果.

mln(l+o)=0.4ln(3+a)

【详解】由题可得〈,1；八。，两式相除可得上一7=2,

7〃ln(3+a)=0.8ln(l+a)

则ln(3+a)=21n(l+a),3+a=(l+a『，

'''(2>0,解得<2=1,

设f天后金针菇失去的新鲜度为60%,

则7〃ln(7+1)=0.6,又加/〃(1+1)=0.4,

=g,21n(r+l)=3ta2,(r+1)2=23=8,7+1=2^=2x1.41=2.82，

则1=2.82-1=1.82。1.8,

故选：B.

8.已知各项都为正数的数歹!]{«„}满足%=1,%=2,一。3-%4_2>。“一吗一("23,〃eN+),则下

列结论中一定正确的是()

A.4Z8>124B,a2Q>1024

C.tz8<124D,a2Q<1204

【答案】B

8

【解析】

【分析】由片一。3~anan-2>》3,〃eN+)得(%+«„_1)[«„-(«„_1+«„_,)]>0,由题意,

an>a,—+an_2，根据递推公式可验证B,通过对a3赋值，可验证ACD.

【详解】由一N),

—anan_2>(«>3,ne+

得(4+a„.i)-(4.i+%.2)]>°,

因为数列｛册｝各项都为正数，

所以％+«„-1>0,故%—(%T+。"_2)>°，即％>an-l+an-2，

所以生〉。2+%=2+1=3,

对于A,设q=4,则。4，%+2=4+2=6,

设为=7,贝!J%>%+%=7+4=11,

设牝=12,则。6〉。5+。4=12+7=19,

设七二20,则%>。6+%=20+12=32,

设的=33,贝！j6>%+。6=33+20=53,

则%可以为54<124,故A错误；

对于B,。4〉。3+。2>3+2>5,(25>tz4+tz3>5+3>8,

tz6>«5+^4>8+5>13,a7>a6+a5>13+8>21,

as>a7+a6>21+13>34,a9>a^+a1>34+21>55,

qo>。9+%>55+34〉89,an>tz10+%>89+55>144,

an>au+。]0>144+89>233,ai3>an+an>233+144>377,

。14>%3+《2〉377+233>610,aX5>。恭+au>610+377>987,

>a

。16\5+q4>987+610>1597,a*>ai6+tz15>1597+987>2584,

48>a、7+q6>2584+1597>4181,ai9>tz18+a*>4181+2584>6765,

。2。〉ai9+48>6765+4184>10946>1024,故B正确;

9

对于C,若用=124,由于a“>a〃T+4_2，则。8〉124,故C错误；

对于D,若生=1024,由于4>4T+。“_2，则。20〉1。24,故D错误；

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若函数/(x)=x(x—4在》=1处取得极大值，则()

A.c=1,或c=3

B.切(x+l)<0的解集为(TO)

C,当0<尤■时，/(cosx)>/(cos2x^

D./(2+x)+/(2-x)=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，由题可得/'(1)=0,据此得c的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析,

可得犷'(x+1)表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合cosx,cos?》大小关系

可判断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.

【详解】A选项，由题/(力=炉-2cx，+c?x,则/'(x)=3--4cx+。2,

因在x=l处取得极大值，则/4c+3=0nc=l或c=3.

当c=］时，/'(X)=3/—4x+l,令/'(x)〉0nxeu(l,+o?)；/'(x)<0=>xe.

则/(x)在8，3，(1，+力)上单调递增，在［J上单调递减，则/(x)在x=l处取得极小值，不合

题意；

当c=3时，/r(x)=3x2-12x+9,令/'(x)>0nx£(-8,l)u(3,+8)；/'(%)<0nx6(l,3).

则/(x)在(-8，l)，(3,+8)上单调递增，在(1,3)上单调递减，则/(X)在X=1处取得极大值，满足题

~Vr.

忌；

则。=3,故A错误;

10

B选项，由A可知，f(x)=x(x-3)2,则犷(x+1)=x(x+l)(x-2)2<0nx(x+l)<0n%£(-1,0).

故B正确；

C选项，当0<x<],贝U,贝Ucos?%<cosx，由A分析，/(X)在(0,1)上单调递增，

则/(cosx)〉/(cos2x),故C正确；

D选项，令x+2=m,2-x=n,由A可知，f(x)=x3-6x2+9x.

则/(x+2)+/(2—x)=/(加)+/(〃)

=m3-6m2+9m+n3-6n2+9n=(加+〃)(疗-mn+n2^-6^m2+“2)+9(加+〃),

又加+〃=4,则/(加)+/(〃)=一4加〃一2(加？+〃2)+36=36一2(加+〃)~=4,故D正确.

故选：BCD

10.在V45C中，48=1,AC=4,8C=而，点。在边3C上，4D为NR4C的角平分线，点E

为ZC中点，贝！I()

A.VZ8C的面积为6B.BA-CA=2s/3

D"考

C.BE=43

【答案】ACD

【解析】

7T

【分析】根据余弦定理可得=进而可得面积判断A,再结合向量的线性运算及向量数量积可判断

BC,根据三角形面积及角分线的性质可判断D.

A

【详解】

如图所示,

AB?+AC?-BC?1+16-131

由余弦定理可知cosZBAC=

2AB-AC2x1x42

而N5/C为三角形内角，故N3/C=W，sinZBAC=—

32

11

所以V45c面积S=！48・/C・sinNA4C=Lxlx4><Y^=J^，A选项正确；

222

A4-G4=A8-l4C=|25|-|l4C|-cosZ^C=lx4x1=2,B选项错误；

由点E为ZC中点，则砺=存一次=!就一在，

2

22

所以砺2=1gk_在]=^^C+A5-2g-^C=4+l-2=3)贝”屉|=6,C选项正确;

TT

由40为/A4c的角平分线，则/B4D=/C4D=一,

6

所以S=6山/5/。+/C/Q©11/04。，

2

即百=，><1XL/Q+LX4XLZD=*ZD,则力。=拽，D选项正确；

222245

故选：ACD.

11.已知£,(x)=sin2nx+cos2"x(〃eN+),则()

A.人(x)的最小正周期为1

B.力卜)的图象关于点9,0\[keZ)对称

\2o

C.<(X)的图象关于直线工='对称

D-，〈工(x)〈l

【答案】ACD

【解析】

【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC选项的正误；利用导数法可判断D选项的

正误.

【详解1人(x)=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2-2sin2xcos2x=1-^sin22x

1II-cos4x3+cos4x

—I----x-------------------------

224f

2.7171

所以/(X)的最小正周期为T=—=—,故A正确；

42

令4x=]+E，可得x=1+g#eZ,所以力卜)的图象关于点+keZ)对称，故B错误;

12

对于c：

/(乃一x)=[sin("一x)T"+[cos(〃-=(sinx「+(-cosx「=sin2,!x+cos2"x=/(x),

所以函数/(x)的图象关于直线x=]对称，c对；

对于D：,因为

(cosx)2，，+(-sinxf=sin2flx+cos2nx=/(x),

所以，函数/(X)为周期函数，且T是函数/(X)的一个周期,

只需求出函数/(x)在0,|上的值域，即为函数/(x)在R上的值域,

f(x)=sin2nx+cos2nx,则

/r(x)=2nsin2"2"1xcosx-2ncos2w_1xsinx=2nsinxcosx(sin2M_2x-cos2w-2x

71716

当工£时，0<cosx<—<sinx<1，

Z'52

因为〃22且左£N*，则2〃—222,故5出2〃一2%>352〃一2%，此时/G)>0,

所以，函数/(x)在p|上单调递增,

当时,0<sinx<—<cosx<l>

2

因为左且左eN*，则2〃—222,故si/i》<cos?"-?》，此时/&)<o,

所以，函数/(x)在Of上单调递减，

所以，当xe0,-时,/⑺—=/(：)=(；)x2=g),

又因为/(0)=/［卜，则/(—，

因此，函数/(X)的值域为,1,D对.

故选：ACD

13

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=x」nx的单调递减区间为.

【答案】##(0,e-']

【解析】

【分析】利用导数求得/(x)的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为(0,+动，•.•/'(x)=lnx+l,

令lnx+140得

e

，函数/(x)=x」nx的单调递减区间是1o,：.

故答案为：[o。

13.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x»O时，/(x)=sinx(l+cosx),则当x<0时,

/3=-

【答案】-sinx(l+cosx)

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.

【详解】因为当x2O时，/(x)=sinx(l+cosx),

所以当x<0时，贝所以/(-x)=sin(—x)[l+cos(-x)]=-sinx(l+cosx),

又函数/(x)是定义在R上的偶函数，所以/(x)=/(—x)=-sinx(l+cosx).

故答案为：-sinx(l+cosx).

,,46+8

14.已知a〉O,bwO,且a+网=4,则[+下「的最小值为.

【答案】2+2V2.

【解析】

14

4b+848b48

【分析】先将所求式子化简一+力1=—+而+而，再根据基本不等式得到一+方的最小值，则可判

a\b\a\b\\b\a|o|

断当b<0,求得最小值.

4b+848b

【详解】根据题意：

若/?〉o,则，=1,若6〉o,则5=一1‘

因为则为|>0,

+卸=3+?酢3+2(^=3+2"

网2a

当且仅当"即a=4（、汇—1）,例=4（2—/）时取等号;

4b+848,「「

则当Z?<0时，］+下「=/+同一1的最小值是3+2&—1=2+2返，

当且仅当a=4（正-1）,6=4（72-2）时取等号.

故答案为：2+2后.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知角。的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（4,-3）.

（1）求sin2a的值；

（2）若角厅满足sin（（z+〃）=m，求cos"的值.

24

【答案】（1）--

25

、33-63

（2）——或----

6565

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；

（2）利用角的变换cos£=cos［（a+，）-a］,再结合两角差的余弦公式，即可求解.

【小问1详解】

由题意可知，P（4,-3）,则r=5,

15

则sina=——，cosa=—,

55

24

sm2(z=2sintzcosfz=-----；

25

【小问2详解】

sin(cr+,所以cos(a+y3)=±—,

、)13\)13

所以cos尸=cos[(a+=cos(a+/?)cos(z+sin((z+Q)sin(z,

当cos(a+,所以cos夕=

、)1313513I5)65

,/°、12▼12、45/3、63

当cos（a+0=一百，所以cos夕+=>

综上可知，cos/3的值为—或----

6565

16.已知数列｛4｝的前〃项和为S",且3S“=4"+-4（〃eN+）.

（1）证明：数列｛10g2%｝为等差数列；

1111100

（2）记数列｛log2%｝的前〃项和为北，^―+—+-7+--+-7<—,求满足条件的最大整数〃.

12131n1U1

【答案】（1）证明见解析

⑵99

【解析】

【分析】（1）利用退一相减法可得%及10g24，即可得证；

/\11

(2)根据等差数列求和公式可得(=〃(〃+1),则7=—,利用裂项相消法可得

1n

1111,1

=1———,解不等式即可.

T[T2T3T”n+1

【小问1详解】

由已知3S"=4"i—4,

当”=1时，3。]=3S]=4?-4=12,即％=4；

当〃22时，3s4,

16

贝!J3V3Sn-3s=4"i—4—平+4=3・4〃，即4=4〃，

又〃=1时，4=4满足=4〃，

所以%=4"=22",

设4=log2%=log22"'=2〃，2=2(〃+。-2〃=2,

即数列｛"｝为等差数列，即数列｛log24｝为以2为首项2为公差的等差数列;

【小问2详解】

由等差数列可知T==(2+”=〃6+0,

1111

则F=(口\=77，

lnnn+1

1111+j__1

所以一+—+—+…+—=1」+」+=1-3

北T2T,Tn223nn+1

100

即1-------<-----MeN,

n+1101+

解得〃<100,

即满足条件的最大整数〃=99.

17.已知V/8C的三个内角48,C所对的边分别为见“c,且a=4,c=36,记VZ8C的面积为S,内

切圆半径为厂，外接圆半径为R.

(1)若6=收，求siM；

(2)记0=g(a+b+c),证明：r=—.

(3)求7吠的取值范围：

【答案】(1)其1

3

(2)证明见解析(3)2J

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求得COS/,进而求得sin”.

17

(2)根据三角形的面积公式证得结论成立.

(3)用6表示此，然后利用导数求得质的取值范围.

【小问1详解】

Q=4,6=y/2，c=3A/2，

b2+c2-a22+18—161

由余弦定理,得cos/=

2bc2xV2X3A/23

0<Z<兀，sinA=A/1-COS2^=

3

【小问2详解】

•：NABC的面积为S,内切圆半径为r,

八

・・・So=-1Qxr+—1/?x〃+—1cxr=—1/a+b,+cA)r,

2222V7

1S

又p——(a+Z7+c),,*•S—pr,:•丫=.

2P

【小问3详解】

an42

由正弦定理得---=2R,得R=——-=—~~-

sinA2sinZ2sinAsinA

因为tz=4,c=3b,

由(2)得5=°卜=；厂(4+6+36)=(2+26)r，

13b之

又因为S=—bcsinZ=xsinA,

22

.3bsinA3b

所CC以Hr=-----------,所以Rny=-x------

4(1+6)21+b

伍+3b>4

由＜,，”，解得1<6<2,

b+4>3b

令f(b)=W—Q<b<2),伍)=3半+"〉0,

2(1+6)2(1+6)

3

则/3)在(1,2)上单调递增，所以

4

故用的取值范围为

18

18.设函数/(x)=lnx,g(x)=l——(x>0).

x

(1)求/(X)在X=1处的切线方程；

(2)证明：/(x)>g(x)：

(3)若方程4(x)=g(x)有两个实根，求实数。的取值范围，

【答案】(1)x-v-l=0

(2)证明见解析(3)(0,1)。(1,+8)

【解析】

【分析】(1)根据切点和斜率求得切线方程.

(2)利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

(3)利用构造函数法，结合导数以及对。进行分类讨论来求得。的取值范围.

【小问1详解】

=则左=/'(l)=l,/(l)=0.

.../(%)在工=1处的切线方程为^='—1,即X—V—1=0.

【小问2详解】

令h(x)=/(%)-g(x)=InxH----€(0,+勿)

/(x)」—4=工

XXX

X—1

令〃(x)=T=0,解得x=l.

X

..0<x<1,hf(x)<0；x>1,h\x)>0.

%(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

%(%)>〃⑴=0,即/(x)>g(x).

【小问3详解】

令加(x)=/(x)-g(x)=(21nx+--l,xe(0,+。),

Jx

问题转化为冽(幻在(0,+8)上有两个零点.

，/、a1ax-\

加(x)=----彳=——

XXX

19

①当时,

m(x)<0,加(x)在(O,+cQ)递减，加(%)至多只有一个零点，不符合要求.

②当。>0时，

令加(x)=0,解得x=1

a

当0<x<，时，m(x)<0,加(%)递减；

a

当时，m(x)>0,冽(x)递增.

a

所以加(x)>加=—+Q—l=a—alna-l.

\a)a

当a=l时，mpJ=m(l)=0,m(x)只有一个零点，不合题意.

令夕(a)=a-alna-l，9'(a)=-lna,

当0<a<l时，(p'{ci)=-taa>0,

所以。⑷