2025高考数学复习必刷题：圆的方程（学生版）

第59讲圆的方程

知识梳理

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

知识点二：基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2,圆心坐标为（a,b）,半径为r（r>0）

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（。?+严一4/>0）,圆心坐标为[一,，一

半径一也三三

2

（3）圆的直径式方程：若4（占,％）,85,%），则以线段48为直径的圆的方程是

0-%）。一々）+（〉-%）0-%）=0

（4）圆的参数方程：

①尤2+9=产。>0）的参数方程为P=rCOSf（。为参数）；

[y=rsin”

②（…）2+（—A=/（r>0）的参数方程为（无=：+/cos’（©为参数）.

[y=Z?+rsin〃

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

（a+rcos6»,6+rsin。）（夕为参数，（a,6）为圆心，厂为半径），以减少变量的个数，建立三角

函数式,从而把代数问题转化为三角问题,然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.

2、点与圆的位置关系判断

（1）点尸（七,%）与圆（x-a）?+（y-6）2=产的位置关系：

①（x-a）?+（>-。）2>/o点尸在圆外；

®（x-a）2+（y-Z?）2=-0点尸在圆上；

③（X-“）2+（,-6）2〈产0点尸在圆内.

(2)点P5,%)与圆/+丁+m+硝+/=。的位置关系：

①片+y；+。/0+60+/〉00点尸在圆外；

②片+y；+£>/+或0+/=0<=>点尸在圆上；

③％；+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>点P在圆内.

必考题型全归纳

题型一：求圆多种方程的形式

例1.(2024•贵州铜仁•统考模拟预测)过4(0,1)、8(0,3)两点，且与直线y=x-l相切

的圆的方程可以是()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=5

例2.(2024•全国•高三专题练习)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好

在两坐标轴上，则这个圆的方程是()

A.+J+4尤—2y=0B.x2+-4.x+2y—5=0

C.x~+y?+4x-2y—5=0D.x2+y~—4x+2y=0

例3.(2024•全国•高三专题练习)已知圆心为(-2,3)的圆与直线彳_、+1=。相切，则该

圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(j+3)2=18

变式1.(2024•河北邢台•高三统考期末)已知圆C:Y+y=25与直线

/:3x-4y+m=0(机>0)相切，则圆C关于直线/对称的圆的方程为()

A.(尤+3>+(y-4>=16B.(x+3)2+"-4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)z=25

变式2.(2024•山东东营•高三广饶一中校考阶段练习)过抛物线V=4x的焦点尸的直

线交抛物线于A、B两点，分别过48两点作准线的垂线，垂足分别为4,左两点，以线

段44为直径的圆C过点(-2,3),则圆C的方程为()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(x+1)?+(y+2)2=26

变式3.(2024•全国•高三专题练习)求过两点A(0,4),3(4,6),且圆心在直线

x-2y-2=0上的圆的标准方程是()

A.(尤+4)2+(y+iy=25B.(x+4)2+(y-l)2=25

C.(尤-4)2+(,+1)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

变式4.(2024•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知直线

(3+2X)尤+(3彳-2万+5-彳=0恒过定点尸，则与圆C：(x-2)?+(y+3)2=16有公共的圆心

且过点尸的圆的标准方程为()

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18口.(x-2)2+(y+3)2=9

变式5.(2024•全国•高三专题练习)圆C：(彳-1)2+(丫-2)2=2关于直线》-丫=。对称

的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=2B.(%+1)2+(y+2)2=2

C.(%-2)2+(y-l)2=2D.(%+2)2+(j+l)2=2

变式6.(2024•重庆•高三重庆一中校考阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的“最

大视角定理”(也称“米勒定理”)：若点是NMON的边上的两个定点，C是OW边

上的一个动点，当且仅当AABC的外接圆与边0V相切于点C时，NACB最大.在平面直

角坐标系中，已知点0(2,0),E(4,0),点尸是y轴负半轴的一个动点，当NDFE最大

时，ADEF的外接圆的方程是().

A.(X-3)2+(^+2A/2)2=9B.(x-3『+(y-2收『=9

C.(x+2可+—3)2=8D.(x-2&『+(y_3『=8

变式7.(2024•陕西西安•高三校考阶段练习)过点P(4,2)作圆d+V=4的两条切线，

切点分别为A,B,则的外接圆方程是()

A.(%-2)2+(y-l)2=5B.(%-4)2+(y-2)2=20

C.(.x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

变式8.(2024•四川成都•高三成都七中校考开学考试)已知4(-6O),B(6O),C(O,3),

则AABC外接圆的方程为()

A.(x-l)2+j2=2B.(x-l)2+y2=4C.%2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【解题方法总结】

(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆

心坐标(a,b)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数

法是求圆的方程常用的方法.

(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂

直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.

题型二：直线系方程和圆系方程

例4.(2024•全国•高三专题练习)圆心在直线x-j-4=0上，且经过两圆x2+^+6x-4=0

和N+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为()

A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+7y-16=0

C.N+y2-4x+4y+9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

例5.（2024•高二课时练习）过圆Y+y2-2y-4=0与炉+;/-4苫+2'=0的交点，且圆

心在直线/：2x+4y—1=。上的圆的方程是.

例6.（2024•江苏•高二专题练习）曲线3/-丁=3与y=f-2x-8的四个交点所在圆的

方程是.

变式9.（2024•安徽铜陵•高二铜陵一中校考期中）经过直线x-2y=0与圆

/+,2一©+2,一4=0的交点，且过点（1,0）的圆的方程为.

变式10.（2024•高二校考课时练习）过两圆f+;/-x-y-2=0与Y+y2+4x-4y-8=0

的交点和点（3,1）的圆的方程是.

变式11.（2024•浙江杭州•高二校考期末）已知一个圆经过直线，：2元+y+4=。与圆

C:/+y2+2x_4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为.

变式12.（2024•江西九江•高一统考期中）经过两圆Y+y2+6x-4=0和

尤2+/+6y-28=0的交点，且圆心在直线尤-'-4=0上的圆的方程为

变式13.（2024•浙江绍兴•高二统考期中）已知圆C过直线2x+y+4=0和圆

x2+；/+2x-4y+l=0的交点，且原点在圆C上.则圆C的方程为.

【解题方法总结】

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交

点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.

(1)直线系方程：若直线4：A%+耳>+G=o与直线6：4%+与丫+c?=o相交于点P,

则过点P的直线系方程为：4(A*+4y+cj+4(&*+与〉+。2)=o(膘+在工。)

简记为：阳+纵=o(A2+石片。)

当4片。时，简记为：n(不含乙)

(2)圆系方程：若圆G：尤2+/+R龙+gy+月=0与圆CziJ+V+Ax+Ezy+E=0

相交于A,2两点，则过A,B两点的圆系方程为：

x?+y~+D[X+E^y+£+4(x~+y~+D?x+E2y+居)=0(AN-1)

简记为：G+2G=0U*T)，不含C2

当4=-1时，该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)l:(.Dl-D2)x+(E,-E2)y+F1-F2=0

注意：与圆C共根轴/的圆系Q:C+与=0

题型三：与圆有关的轨迹问题

例7.(2024•全国•高三专题练习)点P。,。)，点。是圆尤?+y=4上的一个动点，则线

段PQ的中点/的轨迹方程是()

A.+/=1B.犬+卜一鼻=4

C.尤?+卜-1)=1D.+/=4

例8.(2024•湖南郴州•统考模拟预测)已知A,8是。C：(x-2)?+('-4)?=25上的两

个动点，P是线段的中点，若|A邳=6,则点尸的轨迹方程为()

A.(%-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+()；-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(%-4)2+(y-2)2=11

例9.(2024•全国•高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线

论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数〃2>0，4/1)的点的

轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆.已知点P到4-2,0)的距离是点尸到8(1,0)的距离

的2倍.求点尸的轨迹方程；

变式14.(2024•全国•高三专题练习)已知P(4.0)是圆/+丁=36内的一点,是圆上

两动点，且满足ZAPS=90°，求矩形APBQ顶点。的轨迹方程.

变式15.(1977.福建・高考真题)动点尸(x,y)到两定点A(-3,0)和8(3,0)的距离的比等于

2,求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形.

变式16.(2024•安徽合肥•高三合肥一中校考阶段练习)己知圆C：

x2+y2+2x-4y+3=0.

(1)若不过原点的直线/与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线/的一般式方

程；

(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且有1PMi=|尸。］,求

点P的轨迹方程.

变式17.(2024•全国•高三专题练习)由圆f+V=9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于

A3两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

变式18.(2024•全国•高三专题练习)已知圆6:炉+丁-4犬=0,平面上一动点尸满足:

尸”+「解=6且M(T，。)，N(l,0).求动点P的轨迹方程；

变式19.(2024•全国•高三专题练习)在边长为1的正方形ABC。中，边AB、BC上分

别有一个动点Q、R,且怛。卜|CR|.求直线AR与。。的交点尸的轨迹方程.

变式20.(2024•全国•高三专题练习)已知Rt^MC的斜边为A8,且A(-1,0),8(3,0).

求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边的中点/的轨迹方程.

变式21.(2024•高二课时练习)如图，已知点4(-1,0)与点8(1,0),C是圆N+y2=i上

异于A,8两点的动点，连接BC并延长至。，使得|C0=|8C|,求线段AC与。。的交点尸

的轨迹方程.

变式22.（2024•高二课时练习）已知点4（2,0）是圆V+y2=4上的定点，点3（1,1）是圆内

一点，尸、Q为圆上的动点.

⑴求线段AP的中点”的轨迹方程.

⑵若NPBQ=90°,求线段PQ中点N的轨迹方程.

【解题方法总结】

要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y的等量关系，根据题目条

件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.

题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

例10.（2024•河南•高三阶段练习）“a<1”是“方程2/+2;/+2G:+6y+5。=0表示圆”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例11.（2024•上海奉贤•高三校考阶段练习）已知：圆C的方程为f（x,y）=。，点

尸（X。，%）不在圆C上，也不在圆C的圆心上，方程。:/（x,y）-=0,则下面判断正

确的是（）

A.方程。表示的曲线不存在

B.方程。表示与C同心且半径不同的圆

C.方程C，表示与C相交的圆

D.当点尸在圆C外时，方程。表示与C相离的圆

例12.（2024•高三课时练习）关于尤、y的方程孙+Cy2+Dx+Ey+尸=0表示一个

圆的充要条件是（）.

A.B=Q,JELA=0

B.B=l,MD2+£2-4AF>0

C.B=0,SLA=C^Q,D2+E2-4AF>0

D.B=0,S.A=C^O,D2+E2-4AF>0

变式23.（2024•全国•高三专题练习）若方程尤2+丁+。％+2丁+2=0表示圆，则实数。的

取值范围是（）

A.a4—2B.a>2

C.av-2或〃>2D.a<-2^a>2

变式24.（2024•全国-高三专题练习）已知方程d+V+J嬴+2y+2=0表示圆，则实

数机的取值范围为（）

A.（1,-Hx）B.（2,+oo）C.（3,+00）D.（4,+00）

变式25.（2024•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆C：

12+9一2（机—1卜+2（机一1）丁+2川一6根+4=0过坐标原点，则实数加的值为（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

变式26.（2024•全国•高三专题练习）若方程/+产+2&+2现+2M—丸+1=0表示圆,

则力的取值范围是（）

11

A.(1,+oo)B.-J

C.(1,+oo)U(-s,g)D.R

变式27.(2024•高二课时练习)若ae(O,2%),使曲线

Kcosa+Vsina+xcosa+ysina+luO是圆，贝|()

,54-n-»一54cn

A.ex,——B.(X——C.ex——a=—D.ex.——

44442

【解题方法总结】

方程V+y2+.+与+尸=0表示圆的充要条件是£）2+£一4尸＞0,故在解决圆的一般

式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为-1），半

^r=-y/D2+E2-4F

2

题型五：点与圆的位置关系判断

例13.（2024•甘肃定西•统考模拟预测）若点（2,1）在圆f+/一了+'+“二。的外部，贝।

a的取值范围是（）

例14.（2024•全国•高三专题练习）己知点P。,—2）在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1^0

的外部，则上的取值范围是（）

A.—2vkvlB.lv左v2C.左v—2D.-2V左v2

例15.（2024•四川自贡•高一统考期中）点尸在单位圆。。上（O为坐标原点），点

A（—1,—1）,AP=/nAO+AAB,则4+4的最大值为（）

B.上C.2D.3

A.1

变式28.（2024•全国•高二专题练习）点尸（5,旭）与圆尤2+尸=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

变式29.（2024•全国•高二专题练习）若点在圆/+产一2砂一4=0的内部,

则。的取值范围是（）.

A.a>lB.0<«<1C.—1<Q<一D.a<1

5

变式30.（2024•全国•高二专题练习）已知圆O:尤2+必2,直线/：3x+4y=/，若/

与圆。相交，则（）.

A.点*3,4）在/上B.点*3,4）在圆。上

C.点尸（3,4）在圆。内D.点尸（3,4）在圆。外

【解题方法总结】

在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外

还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.

题型六：数形结合思想的应用

例16.（2024•高二校考单元测试）若直线/：质-y-2=0与曲线c：g7万=*-1有两

个不同的交点，则实数%的取值范围是（）

44

A.B.C.一2,一D.—,+oo

*33

例17.（2024•辽宁营口•高二校考阶段练习）已知曲线y=J—f+4x-3与直线

质-y+左-1=0有两个不同的交点，则实数%的取值范围是（）

J_2J_3J_2

A.B.C.D.

2'3254453

例18.（2024•山西晋城•高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线y=x+6与曲线

丫=1_"二/有两个不同的交点，则实数b的取值范围是（）

A.（1-2A/2,1+272）B.（l-2x/2.-l]

C.[-1,1+272）D.[3,1+2夜）

变式31.（2024•全国•高二专题练习）直线2尤+y-2=0与曲线（x+y_l）1==。

的交点个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式32.（2024•高二单元测试）若两条直线4：y=x+m,l2：y=与圆

/+/一2x-2y+f=0的四个交点能构成矩形，则〃?+"=（）

A.0B.1C.2D.3

变式33.（2024•宁夏银川•银川一中校考二模）曲线「｛：_^_11'尤2+『_9=0,要

使直线y=M（MeR）与曲线「有四个不同的交点，则实数加的取值范围是（）

A.卜3,-⑹U卜后百）U（后3）B.（-3,一⑹U（后3）

C.（3,3）D.（->/3,73）

变式34.（2024•吉林白山•统考二模）若过点P（2,4）且斜率为4的直线/与曲线

y=石二，有且只有一个交点，则实数人的值不可能是（）

344

A.—B.—C.—D.2

453

变式35.（2024•全国•高三专题练习）若直线/：x+”?（y-4）=0与曲线尤=“T手有两个

交点，则实数加的取值范围是（）

变式36.（2024•安徽合肥•合肥市第七中学校考三模）已知是定义在R上的奇函

数，其图象关于点（2,0）对称，当xe［0,2］时，=,若方程

/（x）—左（十-2）=0的所有根的和为6,则实数上的取值范围是（）

［-孝卜，TD.［一孝卜］一1+3

变式37.（2024•湖北•高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在

一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是

一个圆形区域/+其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆.已知符

l,x>0

号函数sgn（x）=，0,x=。，则当必+/<4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是

—1,x<0

A.+(y-sgn(%))2-1)<0y((x-sgn(y))2+9_1)<0

M+(y-sgn(x))2-1)>0D.y((x-sgn(j；))2+y2-1)>0

【解题方法总结】

研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中,

尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.

题型七：与圆有关的对称问题

例19.（2024•高二单元测试）圆x2+y2+2x_4y+l=0关于直线<2X+y+l=O对称，贝U

a-.

例20.（2024•西藏日喀则•统考一模）已知圆C:/+y2-4x+2ay+3=0关于直线

尤+2>—6=0对称，圆C交y于A、8两点，贝=

例21.（2024•全国•高三专题练习）已知圆（x+iy+（y-2）2=9上存在两点关于直线

依一加+2=0（。>0力>0）对称，贝1」“2+462的最小值是.

变式38.（2024•北京•高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆。：

W+/一4x-2y+3=0关于直线4x+2y—5=0对称，贝U圆C的方程为.

变式39.（2024•全国•高三专题练习）已知圆（无+仔+（丫-3）2=9上存在两点关于直线

13

依-by+l=0（a>0,b>0）对称，贝IJ—+7的最小值是____________.