2025届高中数学一轮复习专练：平面向量初步

平面向量初步

一、选择题

1.如图，在△ABC中，AC=3AN，尸是上的一点，AP=^m+^AB+^AC,则

实数机的值为()

1221

A.-B.二C.-D.-

9933

2.已知动点。在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,都有

PQ=-2PA+5PB+mCP，则实数机的值为()

A.OB.2C.-iD._2

3.在△ABC中，点。在边A3上，5D=2ZM.记CA=m,CD=n,则C3=()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.已知点4(1,1),8(4,2)和向量a=(2"),若a//AB,则实数4的值为()

2233

A.——B.-C.--D.-

3322

5.已知°，〃为不共线向量，AB=a+5bBC=-2a+8b>CD=3(a-b^,贝U()

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

6-AB+BC+CD+DA=()

AACBBACCAD0

7.如图，。是坐标原点，M,N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则

的范围为()

A"O,⑹B.[0,2)C.[1,V2)D.[l,2)

8.如图所示,在平行四边形ABC。中,AE=。尸=工。。,6为石尸的中点,则

44

DG=（）

31.3.1.

C.-AD——ABD.-AB——AD

4242

二、多项选择题

9.已知,，立是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）

A.若实数机，n^mex+ne2=0,贝！Jm=〃二0

B.平面内任意一个向量。都可以表示成〃=加6+ne2,其中机，〃为实数

C.对于机，neR,根q+〃©2不一定在该平面内

D.对平面内的某一个向量0,存在两对以上实数相，n,使〃二人+川与

10.已知,，4是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（）

A.q+e2和ex一4B.3,-e2和一6弓+46C.e1+e2和e2+er

D.e2和e2+ex

11.已知向量d,b不共线，若AB=4〃+Z?,AC=a+^b,且A,B,。三点共线,

则关于实数4，%的值可以是（）

A.2,-B-3,C.2,--D-3,-

2323

三、填空题

12.把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点。，则这些向

量的终点构成的图形的面积为.

13.点C在线段AB上，且^^=3,则AC=AB，BC=AB■

CB2

14.已知百，e2是两个不共线的向量，d=el-4e2,b=kex+2e2,若a与b共线，则

k—.

四、解答题

15.已知a,b是一组不共线的向量，x1a+y1b=x2a+y2b,则为=X2，%=%•（）

16.已知a,b是一组不共线的向量，且根=a-2b,n=a+3b,则加，及可以作为一

组基底.（）

17.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.（）

18.平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.（）

19.如图，在△ABC中，点。、E、R分别是边3C、CA、A3上的一个三等分点，求证：

AD+BE+CF=0.

A

E

B

D

参考答案

1.答案：D

解析：因为AC=3A7V，AP=^m+^AB+^AC,

所以A户=（m+-\AB+-AN.

I3j3

因为3、P、N三点共线，所以1?+1+!=1,解得加=工

I3）33

故选：D.

解析：Pw平面ABC，若OP=xOA+yO3+zOC则x+y+z=l.

PQ=-2PA+5PB-mPC.又动点。在A4BC所在平面内运动，

所以—2+5—相=1，解得m=2-

故选：B

3.答案：B

解析：如图，因为点。在边A3上，BD=2DA,所以

CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n,故选B.

解析：由题得AB=(3,1),

因为a/MB,

2

所以3/1—2=0,.

3

故选：B

5.答案：A

解析：因为30=3。+。。=—2a+8b+3a—3b=a+5b=AB，所以A，B,O三点共

线，

故选：A.

6.答案:D

解析：AB+BC+CD+DA=O>

故选：D

7.答案：A

解析：设OM，ON的夹角为。,。《(方兀’则COS8G[-1,0)，

\OM+0N^=0M\ON'+20M.ON=2+2cos6e[0,2)，故|OM+ON]的范围为

[0,V2).

答案A

8.答案：B

解析：DG=-DE+-DF

22

113

=-(DA+AE)+--DC

113

=-(-AD+-AB)+-AB

248

=-AB--AD.

22

故选：B.

9.答案：AB

解析：根据基底的定义知AB正确；

对于C,对于加，neR,加耳+〃02在该平面内，故C错误；

对于D,m,“是唯一的，故D错误.

故选：AB.

10.答案:ABD

解析：对于A,,+02与不共线，故可作为一组基底，故A正确；

对于B,3q-02和-6《+4e?不共线，故可作为一组基底，故B正确;

对于C,ex+e2=e2+el,故不能作为一组基底，故C错误；

对于D,02和e2+弓不共线，故可作为一组基底，故D正确.

故选：ABD.

11.答案：AB

解析：因为A,B,C三点共线，

则存在实数2,使得A5=4AC,

BP\a+b=+，

即\a+b=2a+A/^Z?,

所以（4—彳”+（1-几4）》=0,

又因为向量。，匕不共线，

所以＜，,解得44=1，

1—ZZ2=0

所以实数4，友的值互为倒数即可求解.

故选：AB.

12.答案：3K

解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，

其面积为7T-22—7T-I2=3兀.

故答案为3Tl.

13.答案：。,_工

77

解析：由点C在线段A3上，且任=*,可画出图形，

CB2

।..・1▲।.

ACB

设AC=5,则Cfi=2,

:.AB=7,

AC和AB同向，且AC=gAB,

2一

和AB反向，且3C=—亍AB.

14.答案：-工

2

解析：由向量％,与不共线，得由向量a=q-4G与人=左,+24共线，

——>---k=41

得ke+2e=2(,—4e),XcR,贝!J<,所以左=X=—.

{222——4X2

故答案为：-L

2

15.答案：7

解析：由于。，匕是一组不共线的向量，所以平面的一组基底为

由于%=，根据平面向量的基本定理可知石=々，%=%，

所以说法正确.

故答案为：7.

16.答案:N

解析：由a,b是一组不共线的向量，且〃2=a-2b,n=a+3b,

得掰，〃也是一组不共线的向量，故加，〃可以作为一组基底.

所以说法正确.

故答案为：N.

17.答案：x

解析：平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.

两个共