2025高考数学复习必刷题：二项式定理（学生版）

第87讲二项式定理

知识梳理

知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

(1)二项式定理

一般地，对于任意正整数”，都有：

nrr

(a+6)'=£"+£1％++Cna-b++C；b"(neN*),

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+6)"的二项展开式.

式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第厂+1项：

其中的系数C：(r=0,1,2,n)叫做二项式系数，

(2)二项式(。+力”的展开式的特点：

①项数：共有〃+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数：第r+1项的二项式系数为C：,最大二项式系数项居中；

③次数：各项的次数都等于二项式的幕指数字母。降幕排列，次数由“到0；字母

b升用排列,次

数从0到"，每一项中，a,6次数和均为"；

④项的系数：二项式系数依次是C；,C：，C3…，G；，…，a，项的系数是。与6的系数

(包括二项式系

数).

(3)两个常用的二项展开式：

①(。-3"=C：a"-C：a"”++(-l)JC；a"-7/++(-1)"-C；；Z>"(nGN*)

@(l+.r)"=1+C,>+C>2++C,X++xn

(4)二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：Tz=C；a"-b，(r=0,1,2,3,

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是

②字母6的次数和组合数的上标相同；

③。与人的次数之和为

注意：①二项式(a+b)"的二项展开式的第r+l项和3+0”的二项展开式的第

什1项优是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和6是不能随便交换位置的.

②通项是针对在(。+6)"这个标准形式下而言的，如(a-6)"的二项展开式的通项是

=(-l)'C/i〃(只需把-6看成6代入二项式定理).

2、二项式展开式中的最值问题

(1)二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即c：=c:;其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

1n

_c“-1_|_c

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C：=C厂.

③二项式系数和令0=6=1,则二项式系数的和为

C；+C：+Q++£；++C：=2",变形式C；+C；++C；++C：=2"-1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令

a=lfb=—lf

则C：-C：+C：-C：++(-l)nq=(l-l)"=0,

从而得到：C；+C；+C：…+C丁+…=C：+C；++。；川+…=，2"=2"T.

⑤最大值：

如果二项式的幕指数”是偶数，则中间一项7；的二项式系数存最大；

-4-1

2

n—1〃+1

如果二项式的嘉指数”是奇数，则中间两项Tn+l的二项式系数G/,c3相等

————+1

22

且最大.

(2)系数的最大项

求(a+云)"展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为

A

A，4，…，4向，设第r+l项系数最大，应有,从而解出厂来.

A

知识点3、二项式展开式中系数和有关问题

常用赋值举例：

rr

(1)设(。+/?)"=d优+&/-%++c^a"-b++C：b",

二项式定理是一个恒等式，即对。，。的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需

要灵活选取。，6的值.

①令U可得：2"=C>C*++C;

②令。=1,6=1,可得：0=C；Y+C：-C：+(-l)"C，即：

c：+c：++c;=c；+c：++Cf(假设〃为偶数)，再结合①可得：

C：+C；++C；=C：+C；++C；T=2—

(2)若/(x)=a/'+%_/"_+6_2%"-2++qx+a()，贝I

①常数项：令x=0,得％=/(0).

②各项系数和：令x=l,得/'(1)=4+/+/++a„-i+a„-

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

(/)当〃为偶数时，奇数项的系数和为4+的+%+/⑴7T)；

偶数项的系数和为0+/+%+J⑴7f.

(可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

(ii)当〃为奇数时，奇数项的系数和为4+%+%+J⑴7T)；

偶数项的系数和为q+生+胆+=>⑴7T).

(可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

若/(尤)=g+a3+出/+++。“无陵，同理可得.

注意：常见的赋值为令x=0,x=l或x=-l,然后通过加减运算即可得到相应的结

果.

必考题型全归纳

题型一：求二项展开式中的参数

例1.（2024•河南郑州•统考模拟预测）（彳-、的展开式中的常数项与（尤一：+展开

式中的常数项相等，则。的值为（）

A.-3B.-2C.2D.3

例2.（2024•四川成都•成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数

项，则〃的可能取值为（）

A.4B.5C.6D.8

‘以-jj展开式中的常数项为一160,则〃=（）

例3.（2024•全国•高三专题练习）

A.-1B.1C.i1D.2

变式1.（2024•全国•高三专题练习）已知+的展开式中的常数项为-160,则实数

。二（）

A.2B.-2C.8D.-8

变式2.（2024•全国•高三专题练习）已知［6一的展开式中第3项是常数项，则〃=

（）

A.6B.5C.4D.3

【解题方法总结】

在形如（依加+6招严的展开式中求的系数，关键是利用通项求厂，贝Ur=迺二.

m—n

题型二：求二项展开式中的常数项

例4.（2024•重庆南岸•高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）已知。＞0,二项式

6

1+的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常数项为（）

A.36B.30C.15D.10

例5.（2024•山西朔州•高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）二项式，右-十］的展

开式中的常数项为（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

例6.（2024•北京房山•高三统考开学考试）（--46的展开式中的常数项是（）

X

A.240B.-240C.15D.-15

变式3.（2024•贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试）+的展开式中的

常数项为（）

A.-20B.20C.-10D.10

若口+蓝

变式4.（2024•全国•高三专题练习）〃eN*）的展开式中存在常数项，则

5）

«=()

A.2M左eN*)B.3M左eN*)C.5碎eN*)D,7M丘N*)

变式5.（2024•全国•高三对口高考）若（岳+（weN*）展开式中含有常数项，贝U〃

的最小值是（）

A.2B.3C.12D.10

【解题方法总结】

写出通项，令指数为零，确定r,代入.

题型三：求二项展开式中的有理项

例7.（2024•全国•高三专题练习）在-而『的展开式中，有理项的系数为（）

A.-10B.-5C.5D.10

例8.（2024•全国•高考真题）二项式（&+可）5。的展开式中系数为有理数的项共有

（）

A.6项B.7项C.8项D.9项

例9.（2024•江西南昌•高三统考阶段练习）卜-乎］的展开式中所有有理项的系数和

为（）

A.85B.29C.-27D.-84

变式6.（2024•四川泸州•高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）二项式［也+｛］

展开式中，有理项共有（）项.

A.3B.4C.5D.7

变式7.（2024•安徽宣城•高三统考期末）在二项式124+的展开式中，有理项共

有（）

A.3项B.4项C.5项D.6项

变式8.（2024•全国•高三专题练习）若（3•匠-2人）"的展开式中有且仅有三个有理

项，则正整数”的取值为（）

A.4B.6或8C.7或8D.8

【解题方法总结】

先写出通项，再根据数的整除性确定有理项.

题型四：求二项展开式中的特定项系数

例10.（2024•四川成都•校联考模拟预测）已知（尤-2城’的展开式中第4项与第5项的

二项式系数相等，则展开式中的V丁项的系数为（）

A.—4B.84C.—280D.560

例11.（2024•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测）（2-x）6展开式中x2的系

数为（）

A.270B.240C.210D.180

例12.（2024•广东揭阳•高三校考阶段练习）（x-l）2（l+x『的展开式中/的系数是

（）

A.20B.-20C.10D.-10

变式9.（2024•河北邢台•高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知无2

展开式中各项的二项式系数之和为64,则其展开式中/的系数为（）

A.-240B.240C.-160D.160

变式10.（2024•全国•高三专题练习）在二项式［五—彳］的展开式中，含x的项的二项

式系数为（）

A.28B.56C.70D.112

变式11.（2024•北京•高三专题练习）在二项式上—彳）的展开式中，含Y项的二项式系

数为（）

A.5B.-5C.10D.-10

【解题方法总结】

写出通项，确定厂，代入.

题型五：求三项展开式中的指定项

例13.（2024•全国•高三专题练习）在11+x-岩）的展开式中，/的系数为.

例14.（2024•山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试）（x-2y+l）5展开式中含孙3项

的系数为.

例15.（2024•辽宁•大连二十四中校联考模拟预测）（x+2y-3z）6的展开式中孙?z3的系

数为（用数字作答）.

变式12.（2024•福建三明•高三统考期末）：+2）展开式中常数项是.（答案

用数字作答）

变式13.（2024•江苏•金陵中学校联考三模）+展开式中的常数项为.

变式14.（2024•湖南岳阳•统考模拟预测）（Y+x+yP的展开式中，丁产的系数

为.

变式15.（2024•广东汕头•统考三模）+展开式中炉的系数是.

【解题方法总结】

三项式（。+万+c）"（〃£N）的展开式:

{a+b+c）n=［（a+b）+cr=+C；（a+》）”「'，+

=+c：（+。3，眠+y+

=+c：cn附c，+

若令n—r—q=p,便得到三项式（a+b+c）〃（〃£N）展开式通项公式：

pqr

C^C^_rabc（p,q,r^N,p+q+r=n）,

其中C；c：.=---------------（〃-r）!叫三项式系数.

r!（n—r）lql（n—r—q）\p\q\r\

题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数

例16.（2024•广西百色•高三贵港市高级中学校联考阶段练习）（1-2x）（1+3尤y的展开式

中x3的系数为.

例17.（2024•河北保定•高三校联考开学考试）的展开式中含x项的

系数是.

例18.（2024•江西南昌•高三统考开学考试）（1-x+/）（i+x）6展开式中/的系数

是.

变式16.（2024•江苏苏州•高三统考开学考试）、+：+”（x+l）6的展开式常数项

是.（用数字作答）

变式17.（2024•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）己知多项式

（x+2）3（无一I），=q（x+1），+a2（X+1）6++%（x+l）+6/g,则%—.

变式18.（2024•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）（x+y）（元-2y）6的展开式中含xV

项的系数为.（用数字作答）

变式19.（2024•河北唐山•高三开滦第二中学校考阶段练习）设（1-的）展开式

中的常数项为80,则实数用的值为.

变式20.（2024•安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（》+1）6卜2+2》+1）展

开式中/的系数为.

【解题方法总结】

分配系数法

题型七：求二项式系数最值

例19.（2024•山东青岛•统考三模）若（1+五）展开式的所有项的二项式系数和为

256,则展开式中系数最大的项的二项式系数为.（用数字作答）

例20.（2024•全国•高三专题练习）二项式+的展开式中，只有第6项的二项式系

数最大，则含尤$的项是

例21.（2024•人大附中校考三模）已知二项式（2x-。）”的展开式中只有第4项的二项式系

数最大，且展开式中V项的系数为20,则实数。的值为.

变式21.（2024•浙江绍兴•统考模拟预测）二项式2x-S=的展开式中当且仅当第4

项的二项式系数最大，贝产=,展开式中含V的项的系数为

变式22.（2024•陕西西安•西安中学校考模拟预测）已知（1+尤）”的展开式中第4项与第

8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为.

变式23.（2024•湖北•校联考模拟预测）在［近-的二项展开式中，只有第5项的二

项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于

【解题方法总结】

利用二项式系数性质中的最大值求解即可.

题型八：求项的系数最值

例22.（2024•海南海口•海南华侨中学校考一模）在（尤+l『（y+z）6的展开式中，系数最

大的项为.

例23.（2024•江西吉安•江西省万安中学校考一模）已知（1+3元）”的展开式中，末三项的

二项式系数的和等于121,则展开式中系数最大的项为.（不用计算，写出表达式即

可）

例24.（2024•广西南宁•南宁三中校考模拟预测）（x+l『的二项式展开中，系数最大的

项为.

变式24.（2024•全国•高三专题练习）已知（1-3x）"的展开式中各项系数之和为64,则该

展开式中系数最大的项为

变式25.（2024•全国•高三专题练习）若（石+康）”展开式中前三项的系数和为163,

则展开式中系数最大的项为

2〃

变式26.（2024•全国•高三专题练习）|（”eN*）展开式中只有第6项系数最

大，则其常数项为

变式27.（2024•安徽蚌埠•高三统考开学考试）若二项式展开式中第4项的系数

最大，贝回的所有可能取值的个数为.

【解题方法总结】

有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值

问题；如无关系，则转化为解不等式组：[Tr-Tr+l,注意：系数比较大小.

[Tr>Tr_t

题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和

例25.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知

202322023

（1-2x）=a0+alx-i-a2x++a2023x,则下列结论正确的是（）

A.展开式中所有项的二项式系数的和为22侬

B.展开式中所有奇次项的系数的和为」±1

2

[2023[

C.展开式中所有偶次项的系数的和为~—

2

D.幺+与+尊++然=-1

2222322023

例26.（多选题）（2024•重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知

1

尤+2）6=%+〃1%+。2%2H--------Fa1x,则（）

A.%=-64B.q=63

C.%+4+•,,+%=()D.4+。3+。5+%=1

9

例27.(多选题)(2024•全国•IWJ二专题练习)已知(1-%)9=%+H-----Fiz9x,则

()

A.%=1

B.q+出+/---FQg=0

C.q+/+%+%+〃9=—256

D.2%+2?a?+2,/+,,,+%=-2

变式28.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知

（2%—1）1°—CLQ+ci^x+a?/++。］。幺。，贝（）

A.%=1B.4］二-20

C.%+%++%。—0D.q+〃3++%=1—310

变式29.（多选题）（2024•山东日照•三模）已知

（九一1）（%+2）6=%+/%+々2犬2H------则（）

A.。0=-64B.%=-1

C.q+a2+•,■+〃7=°D.q+/+%+%=1

变式30.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）设

（l+X+%2）=%+%兀+%%2+…+，则下列选项正确的是（）

n

A.%=1B.aQ+ax+a2+--a2n=2

C3"+ln3n-l

C•4。+。2+”4,,,+。2〃=D•%+/+%+。2〃-1=

变式31.（多选题）（2024•河北•统考模拟预测）已知

（%-1）（%+2）6=%+%%+〃2兄2++%f.贝IJ（）

A.4=-64B.a2=48

C.。［+%++%=0D.%+/+“5+%=1

变式32.（多选题）（2024•全国•校联考三模）若在

（1+2x）2+（1+2x）3++（1+2x）〃=a。+ciyX+-+。〃.1+中，%=5,贝［］（）

37-9

A.〃=7B.“0+%++a_+=

nx2

C.4=224D.4=64

变式33.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知

（2x—=4+q（1—x）+%（1—x）++%（1—尤），若％+方+^|"++^*=-128,贝！]有

（）

A.m=2

B.a.=-280

C.a0=-l

D.-%+2%—3%+4%—5%+6〃6—7%=14

变式34.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知

（1+2%）〃+〃（3—%）7=%+4]+-+心%6（〃工0）,贝I」（）

A.n=6B.a=128

C.叁+4+...+&=仪）D.4+25+…+64=_64

37363

变式35.（多选题）（2024•安徽芜湖•统考模拟预测）已知

292ls

（x+x+l）=a0+a1x+a2x+­-+alsx,下列说法正确的有（）

A.%=1B.〃2=42

3乡+]11

C.622+6Z4H--F〃]8=~~-D.。|+2〃2+3〃3~1---b18d!18=3

变式36.（多选题）（2024•福建宁德•统考模拟预测）若

（%—1）6=%+%（九+1）2+/（兀+1）3++〃6（兀+]）6,则（）

A.%=64B./+4+%+“6=365

C.%=12D.q+2a2+3a3+4/+5%+66=-6

变式37.（多选题）（2024•广西柳州•统考模拟预测）已知

721

（l-2x）=a0+aix+a2x-\----va1x,则（）

A.%=1B.2=2’

C.%+q+a2T----cbj=-1D.+同|++…+]=37

变式38.（多选题）（2024•全国-高三专题练习）若

220222022

（l+x）+（l+x）++（1+x）=a0+aix++«2022x,贝U（）

A.a°=2022B.%=Cf023

20222022

C.E（-1）4=-1D.X（T）'%a,=l

Z=11=1

【解题方法总结】

二项展开式二项式系数和：2"；奇数项与偶数项二项式系数和相等：才1.

系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（or+b）"=g+%尤+°2*2+…

n

（%,%…，a”是系数），令x=l得系数和：a0+ax+...+an=（a+b）.

题型十：求奇数项或偶数项系数和

例28.（2024•北京东城•高三北京二中校考阶段练习）设

665

（2x-1）=a6x+asx+--+OjX+a0,则4+/+%=.（用数字作答）

例29.（2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）设多项式

（X+I）6+（X—I）10=+a/'+++4,贝lj+。。+。4+。6+。8+。10=.

例30.（2024•新疆•高三八一中学校考开学考试）已知

415

（x+m）（x—2）=a0+alx+a2x++a5x,若旬=16,贝1）4+%+。5=.

变式39.（2024•全国•模拟预测）在（a+x）（l-*）6的展开式中，x的所有奇次幕的系数和

为-32,则其展开式中的常数项为.

变式40.(2024•全国•高三专题练习)已知

(1-X)5+(1+X)7=dg—++46%6—%"，则%+%+%的值

为.

变式41.(2024•安徽•高考真题)已知(1—x)5—ao~\~aix-\-a2X2+asx3+U4X4+asx5,则(ao+

42+闻(。7+43+C15)的值等于.

变式42.(2024•全国•高三专题练习)已知(2X-1)”的展开式中，奇次项系数的和比偶次

项系数的和小3%贝|C；+C：+C：+…+C：=.

变式43.(2024•全国•高三专题练习)已知

434

(2%+1)=a0+«[(x-l)+a2(x-l)~+a,(%-l)+a4(.x-1),贝!JaQ+a2+&的值为.

【解题方法总结】

2n

(ax+by=aQ+ayx+a2x+...+anx,令x=l得系数和：4+q+...+%=(a+Z?)"①；

令x=-1得奇数项系数和减去偶数项系数和：

—

a0—...ctn=(G—b)"=(g+?+…)—(q+/+-•')②,联“①②可求得奇数项系数和

与偶数项系数和.

题型十一：整数和余数问题

例31.(2024•河北•高三校联考期末)981°除以1000的余数是.

例32.(2024•全国•高三专题练习)若

0303

(x+5)-"=a0+a^x+a2x"++a2023x~",T=a0++a2++a2Q23,则T被5除所得的余数

为.

例33.（2024•浙江金华•模拟预测）99100除以100的余数是.

2

变式44.（2024•辽宁沈阳•统考一模）若（1+力2°23=4+空+…+%023铲3，贝I

。0+。2+〃4+…+〃2022被5除的余数是.

变式45.（2024•全国•高三专题练习）写出一个可以使得992023+〃被10。整除的正整数

d—.

变式46.（2024•全国•高三专题练习）已知742°22+。能够被15整除，其中。«0/5）,

则".

题型十二：近似计算问题

例34.（2024•全国•高三专题练习）用二项式定理估算1.01°=.（精确到0.001）

例35.（2024•福建泉州•高三福建省南安国光中学校考阶段练习）

Cj0.998+C"0.9982+CjO.9983+C5O.9984+CjO.9985a（精确到0.01）

例36.（2024•全国•高三专题练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据

0.98Kl的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是.

变式47.（2024•全国•高三专题练习）（1.05）6的计算结果精确到0.01的近似值

是.

变式48.（2024•全国•高三专题练习）1.028々（小数点后保留三位小数）.

题型十三：证明组合恒等式

例37.（2024•全国•高三专题练习）求证:

2cHW+©++/(…T”)

例38.（2024•全国•高三专题练习）证明：£©）2=6.

k=Q

例39.（2024•全国•高三专题练习）证明：为0=殳黑：+（-1广七小

k=l/

变式49.(2024•全国•高三专题练习)求证：

T-C：x2"-1+C；xr--+...+(-I)"—C『x2+(-1)"=1.

变式50.（2024•全国•高三专题练习）（1）设加、〃eN*,m<n,求证:

厂机+1"+1

〜+1

m+1n

（2）请利用二项式定理证明：3'>2/+l（〃23,〃eN*）.

变式51.（2024•江苏•校联考模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同

而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得

到很多有趣的组合恒等式.

（1）根据恒等式（1+x）'*"=（1++无丫的〃eN*）两边W的系数相同直接写出一个恒等

式，其中peN,pVm,pV”；

（2）设机〃eN*,peN,〃V〃z,p<〃，利用上述恒等式证明：C；C^,_「£c：C『（i一1）=C；一黑.

三2

题型十四：二项式定理与数列求和

例40.（2024•北京•高三强基计划）设〃为正整数，C为组合数，则

C短+3C/+5C短++4037嘲=（）

A.2018-22018B.2018!

C.C蕾D.前三个答案都不对

例41.（2024•全国•高三专题练习）1C；+4C；+9C：+-+/C：=（）

A.n(n+l)2"-2B.n2n-'C.T-xD.〃(“+1)(W+2)2"T

例42.（2024•湖北•高三校联考阶段练习）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界

近一世纪的“巴赛尔级数”难题.当“eN*时，—

,又根据泰勒展开式可以得到

,根据以上两式可求得？+级+铲++~+

212_2

A.—B.—C.—D.—

6384

变式52.(2024•重庆永川・重庆市永川北山中学校校考模拟预测)已知

(1+幻2。21=+a2%?+++%021元2°21,贝！J

02020+2“2019+3“2018+4。2017++2020%+2021。°=()

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

变式53.(2024•湖南邵阳•高三统考期末)已知(2-«)”("N2,weN),展开式中x的系

r\,2r\3,2019

数为了("),贝u-++———等于()

㈠/⑵”3)/(4)/(2020)"

2019„2019〃1009—1009

AA.------B.------C.------D.------

1105051010505

变式54.（2024•北京•高三强基计划）设必w{l,2,3,4}伏=1,2,3,4）,对于有序数组

（q,%,%,4）,记NQ,%%,%）为%,%，%，%中所包含的不同整数的个数，例如

N（l,1,2,2）=2,N（l,2,3,1）=3.当（q,q,外,4）取遍所有的44个有序数组时，

Mi,外,%%）的平均值为（）

173口87小175n11

AA.---B.—C.-----D.—

6432644

题型十五：杨辉三角

例43.（多选题）（2024•海南•海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中

的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出

现，比欧洲发现早500年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余

每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正

确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行13