2024学年双鸭山某中学高三数学上学期期中考试卷及答案解析

（数学）科试卷

科试卷满分：150分考试时长：120分钟

注意事项：

1.答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域

内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

］若集合A—{x|—={x|l<x<4},则/n=（）

A.{x|-1<x<4}B.{x|l<x<4}

C.{x|3<x<4}D,{x|l<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】按交集定义求解即可.

【详解】解：^4n5={x|-l<x<3}n{x|l<x<4}={x|l<x<3},

故选：D.

兀1

2.“。=一”是“sin9=一”的（）

62

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

兀1

【详解】由，=—,可得sin£=—成立，即充分性成立；

62

17T571

反正：若sin8=—,可得e=—+2而或e=—+2E#eZ,即必要性不成立，

266

兀1

所以。=一是sine=一的充分不必要条件.

62

故选：A.

lnx+2,x>0

3.已知函数/(x)=(，则/⑴+/(0)=()

2-5,x<0

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分别求出/(I)=2,/(0)=20-5=-4从而可求解

【详解】由题意可得/(l)+/(0)=(lnl+2)+(2°—5)=—2,故B正确.

故选:B.

4.如图，圆柱的轴截面N8CD是正方形，点E是底面圆周上异于43的一点，若46=4,当三棱锥

。―45E体积最大时，则点C到平面RDE的距离()

A.2B.2A/2C,-V2D.-V3

33

【答案】D

【解析】

【分析】法一：当三棱锥£>-48E体积最大时，即直接A48E的面积最大，可得点E是弧A8的中点，

连接NC交AD于点。，点C到平面ADE的距离等于点A到平面的距离，利用体积相等可得答

案；

法二：当三棱锥£)-4BE体积最大时，即直接的面积最大，可得点£是弧的中点，易证

8EJ_平面40瓦...平面8Z)E_L平面4DK,因此点A到平面ADE的距离为点A到直线DE的距离，可得

答案；

法三：当三棱锥。-48E体积最大时，即直接的面积最大，可得点£是弧的中点，建立空间

直角坐标系，利用点到平面的空间距离公式计算可得答案.

【详解】法一：因为三棱锥Z>—48E的高即为圆柱的高，即40=4,

当三棱锥£>-48E体积最大时，即直角A48£的面积最大，

由于25=4,所以点E是弧N8的中点时，即A/BE是等腰直角三角形，

此时S“BE=-x4x2=4,V=-5^Z)=-x4x4=—,

△ylDzlUD_/IDAtBhE3AAHHJ33

连接ZC交8。于点。，所以点。为NC的中点，

所以点C到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离，

设点A到平面BDE的距离为h,

因为4D_L平面49£,BEu平面ABE,所以

又4ELBE,ADcAE=A,AD.Z£u平面ZOE,

所以平面ADE,

由于。Eu平面4DE,所以BE上DE,

DE7AD?+AE?=J16+8=2a,所以邑8m=1x272x276=473,

所以%-/BE=JS-BDE/Z=2，解得人二野1-

333

法二：因为三棱锥Z>—48E的高即为圆柱的高，即/。=4,

当三棱锥。-48E体积最大时，即直角△48E的面积最大，

由于48=4,所以点E是弧N8的中点时，即△48E是等腰直角三角形,

所以2£=2行，DE=NAD?+AE2=J16+8=2后

连接ZC交8。于点。，所以点。为NC的中点，

所以点C到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离，

做加，£石，且交。E于点尸，

因为4D_L平面/BE,8Eu平面/8E,所以

又AELBE,ADcAE=A,AD.ZEu平面ZOE,

所以平面4DE,4Fu平面4DE,

所以又DEcBE=E,DE、BEu平面BDE,

所以平面ADE,

因此点A到平面8DE的距离为点A到直线DE的距离,

法三：因为三棱锥。-48E的高即为圆柱的高，即40=4,

当三棱锥。-48E体积最大时，即直角△48E的面积最大，

由于48=4,所以点E是弧N2的中点时，即是等腰直角三角形,

可得£（2,2,0）,8（0,4,0）,。（0,0,4）,C（0,4,4）,

丽=（0,4,—4）,反=（2,2,—4）,前=（0,0,4）,

设方=卜//）为平面60£的一个法向量,

DB-n=04y-4z=0

贝I一即《，令y=1,则z=l,x=l,

DE-n=02x+2y-4z=0

所以为=(1,1,1),

4473

所以点C到平面BDE的距离为h=甲飞一亍

5.已知平面向量1和B满足旧|=2|初，B在）上的投影向量为则1在B上的投影向量为（）

1_1_1_1_

A.——bB.——bC.-bD.-b

4242

【答案】A

【解析】

【分析】运用投影向量的概念计算即可.

—*1—*

【详解】•.・3在万上的投影向量为詈=—落，小3=—团匕

，5在B上的投影向量为&j==,

口田⑸24

故选:A.

6.已知首项为1的等比数列｛%｝的各项均为正数，且6%,%,4a2成等差数列，若兄〉^—，恒成立，则几

3ali

的取值范围是()

I2,2I8

A.X〉一B.A>—C.A>1D.4>一

339

【答案】C

【解析】

f〃3'

【分析】先求基本量公比4,求出｛4｝的通项公式，进而构造数列｛下卜构造函数/(x)=xln3-31nx,

x>4,研究函数的单调性证明/(x)〉0,从而证明当“24时，3"〉"成立，进而得到数列诞)的最大

项，由此可得X的范围.

【详解】由等比数列｛□“｝的各项均为正数，可知公比q>0.

・・・6alM3,4a2成等差数列，，2%=6%+4a2.

—1,/.2q?-6+4q,即q?—2q—3=0,

解得4=一1（舍），或夕=3,贝U{a,,}的通项公式%=3"T,

3

/n3

.•.彳=”构造数列{g},设

当〃=1时，h=△—=—；当〃=2时，a=——=—；

13"33〃9

当〃=3时，b3=—=l,故4

下面证明当〃24时，bn<1.

构造函数/(%)=xln3-31nx,x>4,

则r(x)=ln3--,且/'(X)在［4,+8)单调递增；

X

33

则/'(x)>/'(4)=ln3-->l-->0,

故/⑴在［4,+8)上单调递增，

Q1

则/(x)2/(4)=41n3—31n4=lnJ〉lnl=O,

64

所以当转4,xln3〉31nx成立，即3”>无3,

力3

故当“24时，3"〉/,则”=上<1,伍=1,

"3"

则当"24时，4<&.

综上可知，数列｛与｝的最大项为A，即(")max=L

“3

要使几〉丁恒成立，即％>“恒成立，则4〉1.

3a,

故选：C.

7.当xe［0,2?t］时，曲线歹=sinx与y=2sin12x+Ej的交点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】在同一坐标系下，作出两个函数的图像，即可得到答案.

【详解】在同一个坐标系下，作出曲线^=$由》与y=2sin(2x++］在xe［0,2兀］内的图像,

由图像可知，共有4个交点.

故选：B.

8.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,

体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六

个正方形构成（如图所示），点K满足丽=丽+〃丽,则直线8K与平面/5E所成角的正

弦值（）

B.存在最大值，且最大值为1

D,存在最小值，且最小值为业

C.为定值1

6

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件可得K在线段3p（不包括点8）,将该半正多面体补成正方体，可得直线8K与平面

N5E所成角等于直线4与平面LZ所成角，得解.

【详解】-：EK=EB+/uEN,BK=piEN,//e（0,1］，即K在线段2尸（不包括点8）.

如图，将该半正多面体补成正方体，则平面A8E//平面4？，

因此直线BK与平面ABE所成角等于直线JR与平面IJL所成角.

在正四面体R7L中，设正四面体的棱长为2,作平面〃垂足为O,

连接Q7,则NR7O即为直线力?与平面S所成角.

易求0/=毡，所以OR7RJ2—OJ2=口^

33

276_

所以sin/R/O=也工=由

RJ23

所以直线BK与平面ABE所成角的正弦值为国

3

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将向量条件转化为尿=〃丽,〃e(0,1],即K在线段8厂(不

包括点3),将该半正多面体补成正方体求解.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设复数Z]=。+历/2=c+di,a,b,c,deR,则下列结论正确的是()

A.卜乌卜匕小内B.Z]+Z2=Z]+Z2

C.若2必2=0,则Z]=0或Z2=0D.若Z]-Z?>0,贝|JZ]>Z?

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项，方法一：计算出Z1-Z2=(ac-Ad)+(ad+bc)i,进而得到忖-Zzl，再计算出匕小㈤，

得到归1乌|=㈤七2|；方法二：设马=q(cosa+isina),Z2=%(cos尸+isin〃)，计算出

B选项,分别计算出Z]+z2=%+z2=a+c-(A+d)i；

C选项，方法一：计算出4/2=(ac-bd)+(ad+6c)i,从而得到ac=6"①，ad=-be②,所以

a=6=0或c=d=O,/.Zi=0或Z2=0；方法二：设为={(cosa+isina)/2=q(cos/+isin/),由

2]22=0得到外=。或々=0,故C正确；D选项，举出反例即可.

2

【详解】A选项,方法一：•/zi-z2=(a-^bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi

=(ac-bd)+(ad+bc)i,

22

?.|zt-z2\-J(ac-bd¥+(ad+be?=Jde+b2d?+a,+7*,

2222222222

又匕卜匕21-J/+〃•yjc+d=y/ac+bc+ad+bd5

zzzz

■■■Ir2|=|i|,|2|-

方法二：设Z[=i(cosa+isina),Z2=^(cos/?+isin/?),

则Z[，z]=r\r2cos(6Z+/?)+外为isin(a+/?),

故,•Z21=cos(6Z+/)+sin(a+/)|=|，

又|讣匕2|=庵|,故上4|=匕1卜匕2|，故A正确；

B选项，＜4+z2=(a+bi)+(c+di)=Q+c+(b+d)i,

Zj+z2=Q+c-(Z?+d)i,

,?+22=(Q-bi)+(0-di)=Q+c-3+d)i，

:.zx+z2=zx+z2,故B正确；

C选项，方法一:vzx-z2=(ac-bd}+(ad+bc)i=0,

ac=bd®,ad=-be®,

将①式两边乘以d得acd=加2,代入②式得_bc2=42,..7=0或。=4=0,

「.〃=b=0或c=d=0,4=0或=0；

方法二：设4=i(cosa+isina),Z2=^(cos/?+isin/?),

zx-z2=rxr2(cos(cr+£)+isin(a+£))=0且cos(a+/?)+isin(a+/?)不恒等于0,

4弓=0,即4=。或芍=0,故C正确;

D选项，当Z]=2+i/2=l+i时，Zj-z2>0,但虚数均与Z2不能比较大小，故D不正确.

故选：ABC

10.己知2"=3"=6，则。，方满足()

A.a=log26B.a〈b

C.—I—<1D,tz+>4

ab

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，由对数定义可得a；

B选项，由对数定义可得a,b,后比较与2的大小可判断选项正误;

C选项，由对数定义及对数运算性质可判断选项正误；

D选项，由C结合基本不等式可判断选项正误.

【详解】A选项，由2"=6得，a=log26,故A正确；

B选项，由乎=6得，b=log36.va=log26>2,b=log36<2,:.a>b,故B错误;

1111,

C选项，：一+工=^1_-+---=log62+log63=l,故c错误；

ablog,6log36

D选项，aw".1.由基本不等式得:a+b=(a+b)j—l—|=2H--1—>4,故D正确.

b)ab

故选：AD

11.已知函数/(x)的定义域为R,且/若/(x)/(y)—/(x+N)=9町，则()

A./(0)=1B.

C.函数/(x)为减函数D.函数y=/(x)-l为奇函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】令x=04=；求出/⑼，即可判断A；令x=[了=—：求出/J；],即可判断8；令了=—；

JJJ\JJJ

求出/(X)解析式，即可判断C、D.

【详解】因为/(》)/0)-/(》+P)=9肛,

令x=0/=；，得/(0)/⑼T]=0，

.-./(0)=1,故A正确；

令x=QT得心小卜/(。)=-1,

则函数/(x)为增函数，且函数y=/(x)—l=3x为奇函数，故C错误，D正确;

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片82块，往下每一层多铺2块，斜面上铺了瓦片

19层，共铺瓦片块.

【答案】1900

【解析】

【分析】运用等差数列求和公式计算即可.

【详解】瓦片块数可以看作首项为82,公差2的等差数列，则

几=19x82+19义(；9-1)*2=19x(82+18)=19x100=1900.

故答案为：1900.

13.已知函数/(x)=(x—c>e"在x=2处有极大值，则。的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】求导，得出函数的单调区间，分析出极大值点，从而求解.

【详解】/'(x)=(x—c)(x—c+2)e",

令八x)>0,解得xe(—oo,c—2)U(c,+°o)；

令/'(x)<0,解得xe<-2,c)；

故/⑴在(-叫。-2),(G+8)上单调递增;在(c-2,c)上单调递减，

因此在x=c—2处有极大值，即c—2=2,c=4.

故答案为：4

14.如图，已知OP。是半径为1,圆心角为§的扇形.C是扇形弧上的动点，45CD是扇形的内接平行四

边形，则四边形/2CD的面积最大值为.

Q

【答案】—

6

【解析】

【分析】作。尸于点E,作方，0于点尸，将四边形的面积转化为矩形即的面积,

设NCOP=6,将矩形EFCD的面积表示为。，应用三角运算及三角函数性质求最大值即可.

【详解】解：如图：作。尸于点E,作。J_0于点/，

则矩形EFCD的面积等于平行四边形ABCD的面积，

OAEBFp

设/COP=9,则。£=CF=sine,。77=cosS,

NDOE=*,0E=-^=邛~

在中，3fan巴色

3

所以=OP-O£=,

所以矩形EFCD的面积为•尸C=[COSe-注2\sin0

~^=(sin0cos0-sin2ff)

.—.、t八八兀LL.7T八八兀57r

因为0＜，v—,所以一＜29H—＜—,

3666

当2。+巴=乌即。=四时，矩形ERR的面积最大为

6266

所以平行四边形/BCD的面积最大值为3.

6

故答案为：立.

6

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.

15.已知等差数列｛4｝的前〃项和为凡，且S3=9,%.=2a“+l（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式

（2）若a=3劭，设数列｛g｝的前“项和为北，求心，.

【答案】（1）an=2n-l.

⑵心）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的基本量转化已知条件，求得首项和公差，即可求得通项公式;

（2）根据（1）中所求得到“，利用等比数列的前〃项和公式，即可求得结果.

【小问1详解】

设数列｛2｝的公差为d,由5=9,%“=24+1（〃eN*）得，

S3=3。］+3d=9,a2=2ax+1,

ci-t+d=36Z1—1

则1

%+d=2q+1d=2

an=2n-l.

【小问2详解】

b32M+1

，=3。”=321,则,=尹=9,又&=3

・.•{2}是首项为3,公比为9的等比数歹！J,

3（1-92"）3（92,,-1）

则氏=

1-98

16.已知a,b,c分别为△4BC三个内角的对边，且acosC+sinC—b=0

（1）求A；

（2）若a=2,cos5=V^sin/，求△A5C的周长.

7T

【答案】（1）/二：

6

（2）2+V6+3A/2

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差公式求解即可;

（2）利用正弦定理结合两角和差公式求解即可.

【小问1详解】

在△A3C中，acosC+V3asinC-=0>

由正弦定理得sinZcosC+CsinZsinC-sin8=0，

,/sinB=sin（/+C）=sinAcosC+cosAsinCf

V3sin/sinC-cos4sinC=0，

且sinCw0,/.百sinA-cos4=0,

即tan/=——,v0<A<兀,，A=--

36

【小问2详解】

_兀

•「cosB=V2sinA=——且0<5<兀,，5=:

24

sinC=sin（4+5）=sinAcosB+cos/sin8=6；_?,

L7Qsm5crrQSinC/7FT

由正弦定理得b=—；-----=2V2,c=­；------=J6+,

sinAsinA

.•.△48C的周长为a+6+c=2+指+3行.

17.已知函数/(x)=ax?+(a-2)x-lnx.

(1)当。=0时，求函数/(x)在x=1处的切线；

(2)当。>0时，若/(x)的极小值小于0,求。的取值范围

【答案】(1)3x+v-l=0

(2)0<a<l.

【解析】

【分析】(1)求出切线斜率/'⑴与切点坐标(1,/⑴)，应用直线的点斜式求解即可；

(2)利用导数求出/(x)的极小值，再构造g(a),利用导数研究函数g(a),解g(〃)<0即可.

【小问1详解】

当a=0时，/(x)=-2x-lnx,/(l)=-2,

所以/'(x)=_2_，，所以/")=—3,

x

所以函数/(X)在X=1处的切线为y+2=—3(x—l),即3x+y—1=0；

【小问2详解】

/(x)的定义域为(0,+8),且/⑴」"—DQx+l),

X

当。〉0时，令/'(x)〉0,则x>L,所以/(X)单调递增；

a

令/'(x)<0,则0<x(工，所以/(x)单调递减.

a

故当X=!时，/(X)取极小值，

a

所以/(-j=lnQ---H1<0

\aJa.

设g(Q)=ln<2--+1(6Z>0),

a

则g'(a)=’+」T>0,所以g(。)是增函数.

aa

因为g(D=0，所以g(Q)<。时，0<Q<1.

综上所述，a的取值范围是0<a<1.

18.如图，多面体NBCDEE中，四边形Z5ED与四边形NC£D均为直角梯形，ADLAB,ADVAC,

且点5,C,E,尸四点共面.

(1)证明：(i)平面48C//平面；

(ii)多面体Z8CDEE是三棱台；

⑵若AB=AC=AD=2,DE=DF=4,45，NC,动点尸在△£)£尸内部及边界上运动，且

TT

NPAD=—,求异面直线/尸与星所成角的最小值.

4

【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)(i)利用面面平行的判定定理证明即可；(ii)利用三棱台的定义证明即可；

(2)先证明垂直，然后建立空间直角坐标系，然后设点尸的坐标，最后利用坐标计算即可.

【小问1详解】

(i)四边形N8EZ)与四边形NCED均为直角梯形，AD1AB,ADLAC,

WAB/IDE,ACIIDF,

因为仁平面u平面£)£厂,所以Z8//平面£)£尸,

同理可得ZC//平面DER,

因为48,ZCu平面48C,48nNC=N,

所以平面ABCII平面DEF-,

(ii)在梯形NAED中，延长E8,D4交于点〃，

•/HeBE,BEu平面BEFC,：.Xe平面BEFC,

同理平面4DFC,

又•/平面BEFCn平面ADFC=CFHeCF

故直线E2,FC,。/相交于点X,

又由（i）可知：平面48C//平面。跖，

故多面体ABCDEF是三棱台；

【小问2详解】

四边形与四边形NCFD均为直角梯形，AD±AB,AD±AC,

AD±DE,ADIDF,又DEcDF=D,AD1平面DEF,

又•.•动点尸在力EF内部及边界上运动，且ZPAD=-,

4

:.AADP是等腰直角三角形，DP=DA=2,

.・•点P的轨迹是以点。为圆心，2为半径的圆（在无尸内部及边界上）

如图以。E,DF,£>/所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设尸(2cos%2sin0)0VaV],则4(0,0,2),5(2,0,2),F(0,4,0),

4P=(2cosa,2sina,—2),EB=(2,-4,2),设异面直线力尸与F5所成角为8,则

12sina—cosa+11

cos6=|cos<FB,AP>|=

1)2.1

cos。sina——T=COS6Z+1,设cos0二H，smo二79（取。为锐角）,

贝I]COS8=[JX|否sin(a—0)+l|

')1'jI'JJ77

—,且。为锐角，——<-(p<a-(p<——(p<—,

2222

n夕]+1=逐cos夕+1=3,V5sin(—0)+1=-^5sin。+1=0o<cos0<

TTTT

当a=7，即P（0,2,0）时，异面直线/尸与9所成角的最小值;

26

19.若西尼，…再，为(。,6)上任意"个实数，满足/[西+々+…2/(*)+/(%)+…+/(x"),

\n)n

当且仅当玉=%=…=当时等号成立，则称函数/(%)在(生人)上为“凸函数”.也可设可导函数/(%)在

(。/)上的导函数为/'(x),/'(x)在(a,b)上的导函数为9X),当/〃(x)<0时，函数/(x)在(。,6)上的

为“凸函数”.若须,》2,…，X"为(。，6)上任意"个实数，满足

f[苞+/+…+</（苞）+/（%）+…+/（七）,当且仅当X]=x2=...=xn时等号成立，则称函数

\nJn

/(%)在(生6)上为“凹函数”.也可设可导函数/(x)在(a,b)上的导函数为/'(x)j'(x)在(即b)上的导函

数为双X),当/"(x)>o时，函数/(X)在(a,切上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的

琴生不等式.

(1)讨论函数/(x)=」~,