2025高考数学复习必刷题：不等式恒成立

2025高考数学必刷题

第23讲不等式恒成立

知识梳理

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取

值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少

碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问

题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)VxeD,加血.；

(2)VxeD,机机2/。)作；

(3)BxeD,m</(x)<s>m</(x)max；

(4)BxeD,m>/(x)<=>m>/(x)mn.

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数V=/(x),xe[a,b],y=g(x),x&[c,d].

⑴若Vx2e[c,t/],有〃项)〈名心)成立,则/(<一；

(2)若,再BX2&[c,d],有/(再)<g(x?)成立，则“耳皿<g(x)nm；

(3)若必«。,可，3X2&[c,d],有〃为)<g(%)成立，则/(工心<8⑺丽；

(4)若VWe|a,6],3x2&\c,d\,有/(不)=g(%)成立，则的值域是g(x)的值域

的子集.

4、法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)Hm/(x)=O及limg(x)=O；

x—>ax->a

(2)在点a的去心邻域("-£,〃)u(q,Q+£)内，/(x)与g(x)可导且g'(x)wO;

1

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/'(X)

(3)lim-=/,

…g(%)

f(x)/'(x)

那么lim>4=lim勺4=/.

…g(x)/g⑺

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件：⑴！吧/3=0及%83=°；

(2)3A>0,/(x)和g(x)在(-*/)与(4+°°)上可导，且g'(x)wO；

/'(X)

(3)lim—4=/,

…g(%)

f(x\/'(x)

那么lim—^4=lim)[=I.

%-8g(x)18g(%)

法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件:

(1)lim/(x)=co及limg(x)=oo；

xfa%—>a

(2)在点a的去心邻域("£M)u(a,a+£)内,/(x)与g(x)可导且g'(x)W0；

/'(x)

(3)lim-=/,

…g(%)

那么lim邛'=lim=I.

1。g(x)g(x)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:

(1)将上面公式中的x->a,xf+8,x——8,xftf，x.cT洛必达法则也

成立.

(2)洛必达法则可处理g,0.oo,广，②。，。。，g—g型.

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足：，?，0-8,「，②。，o°,g—8

型定式，否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，

这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

f(x)/'(X)/"(x)

limq=则鼎=如温，如满足条件，可继续使用洛必达法则.

x—>ag(x)

2

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必考题型全归纳

题型一：直接法

例1.(2024•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数〃x)-ae，(aeR).

⑴已知函数〃x)在(0J(0))处的切线与圆/+/_2%-27-3=0相切，求实数。的值.

(2)已知x20时，/("4---办-0恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】⑴依题意，圆(x-l)2+3-l)2=5的圆心为(1』)，半径为遥,

对函数〃x)求导得/(x)=X-a/,则函数〃x)的图象在(0J(O))处的切线斜率为

r(0)=-a,而〃0)=-。，

于是函数“X)的图象在(0,〃0))处的切线方程为歹+。=-狈，即ax+y+a=0,

a+1+。|

从而R=#>，解得a—2,

所以实数。的值为2.

3

(2)设g(x)=/(%)+%2+办+4=5%2_qe"+0),依题意，当时，g(x)«0恒

成立,

求导得g'(x)=3x-ae"+a,h(x)=3x-ae+<2(x>0),求导得=3-ae"

当a23时，当xNO时，aex>3ex>3，即有“(x)VO,

因此函数为(x),即g'(x)在［0,+的上单调递减，于是当x20时，g,(x)<g,(O)=O,

则函数g(x)在［0,+动上单调递减,从而当xlO时,g(x)<g(O)=O,因此心3,

当0<a<3时，当0<x<ln3时，h'(x］>0,则函数〃(x),即g'(x)在0,In』］上单调递增,

aLa)

于是当0<x<ln3时,g,(x)>g,(O)=O,即函数g(x)在0,In，上单调递增，

aLa)

因此当0<x<ln—时，g(x)>g(O)=O,不合题意，

a

当aW0时，〃(x)>0,函数〃(Y)，即g'(x)在［0,+动上单调递增，

则当x20时，g,(x)>g,(O)=O,即函数g(x)在［0,+e)上单调递增,

3

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于是当x>0时,g(x)>g(O)=O,不合题意，

所以实数。的取值范围为艮+8).

例2.(2024•山东・山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数/(x)=e、-a,g(x)=ln(x+a

其中a£R.

⑴讨论方程/(#=%实数解的个数；

(2)当时，不等式/(x"g(%)恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)由/(%)=x可得，e;a=x，

令s(x)=e'-x-aH(x)=eX-l,令j/=0,可得x=0,

当％£(_QO,0)W(X)<0,函数S(X)单调递减,

当X£(0,+oo)w(x)>0,函数S(x)单调递增，

所以函数S(x)在X=0时取得最小值1-Q,

所以当a<1时，方程/(x)=x无实数解，

当。=1时，方程/(x)=x有一个实数解，

当a〉l时，l-a<0,故s(x)min<°，

而s(-Q)=e'>0,s(a)=e"-2a,

设〃(a)=e"-2aM〉1,贝〃'(〃)=e"—2〉0,

故〃(a)在(1,+oo)上为增函数，故〃(。)>必1)=©-2〉0,

故s(%)有两个零点即方程/(%)=x有两个实数解.

(2)由题意可知,

不等式/(%)2g(%)可化为，ex-«>ln(x+6z),x>-«,

即当时，e，-ln(x+a)-a20恒成立，

所以—a<1,即a〉—1,

令/z(x)=e，-ln(x+Q)-Q,〃(x)=e，------,

4

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则“(X)在［1,+8)上单调递增，而"(1)=e-占，

当〃(1”0即。士一1+工时，/7'(》"0,/?(“在［1,+8)上单调递增,

e

故〃(x)mm=〃⑴=e_ln(l+a)_q,

e-ln(l+«)-«>0

由题设可得，1,

a>——

e

设v(q)=e-ln(l+a)-Q,则该函数在1上为减函数，

而v(e-l)=0,i^--<a<e-1.

e

当力(l)<0即一1<°<一1+工时，因为+=—>0,

e回+1+Q

故〃(x)在(1,+8)上有且只有一个零点％,

当1cx<x()时，/?f(x)<0,而尤>x()时,为'(x)>0,

故人(x)在(1,%)上为减函数，在(%,+00)上为增函数,

故”(x)mm=e&Tn(Xo+a)-aWO,

而e'°=—，故/=—In(x0+a),故e"+x。—a20

%0+a

因为Xo>l,故j+尤0>l+e>a,故T<a<T+，符合，

e

综上所述，实数。的取值范围为

例3.(2024・全国•统考高考真题)已知函数/'(力="一半,xe(0小

cosxI2

(1)当a=l时,讨论〃x)的单调性；

(2)若/(x)+simc<0,求。的取值范围.

【解析】⑴因为1，所以〃丑-黑”陷，

cosxcos2x-2cosx(-sinx卜inxcos2x+2sin2x

则/'3=1----------------4-------------二］一3

COSXCOSX

COS3X-COS2X-2(1-COS2X)_cos3x+cos2x-2

COS3Xcos3X

由于所以％=COSX£(0,1),

5

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所以COS3X+COS2%—2=F+/_2=/+2/_2=^^-l)+2(z+l)(/-l)=(r+2/+2)(，一1),

因为%2+2/+2=(/+1)+1>0,/—1<0,cos3x=t3>0>

所以/'(x)=cos3x：j；x-2<0在10功上恒成立，

所以/(x)在[[上单调递减.

(2)法一:

构建g(x)=f(x)+sinx-ax——+sinx[<x<,

贝!Jgr(x]=a-^+S^X+cosxfo<x<—,

cosxI2)

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(0)+sin0=0,

贝i」g'(O)=a—1+1=。《0,解得aVO,

当Q=0时，因为sinx--^^=sinx|1---

COSXIcosx)

又xJo，V],所以0<sinx<l,0<cosx<l,贝!J—\—>1,

I2)cosx

所以/(x)+sinx=sinx也*<0,满足题意；

COSX

TT

当4<0时，由于0<%<]，显然分<0,

所以f(x)+sinx=ax--吗士+sinx<sinx--吗”<。,满足题意；

cosXcosX

综上所述：若/(x)+s加<0,等价于4«0,

所以。的取值范围为(-8,0].

法二：

国％.sinxsinxcos2x-sinxsinxfcos2x-1)sin3x

因为sinx-----二--------2------二-------2------二----厂

cosXcosXcosXCOSX

因为所以0<sinx<l,0<cosx<l,

故sinx-金竽<0在卜马上恒成立，

COSXk

所以当。=0时，/(x)+sinx=sinx—■吗上<0,满足题意；

cosX

7T

当时，由于0<x<],显然办<0,

6

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所以/(x)+sinx=tzx-----+sinx<sinx----7―<0,满足题意；

cosXcosX

•,3

当Q>0时，因为/(x)+sinx=dfx-SmX+sinx=ax-SmX,

COSXCOSX

/\sin3xf_兀、m，/\3sin2xcos2x+2sin4x

令Ag(x)=QX----—0<^<-h则g'(x)=Q-----------，--------，

cos八2；COS3X

〜*刈"八'3sin20cos20+2sin40八

汪意至Ugr(0)=a------------------------------=Q〉0,

若V0<xg,g,(x)>0,则g(x)在23上单调递增，

注意到g(o)=o,所以g(x)>g(o)=o,即〃x)+sinx>0,不满足题意；

，1

若mO<Xo<5，g(x0)<°>贝Jg'(O)g'(Xo)<O,

所以在(0,1上最靠近x=0处必存在零点使得g'(xJ=0,

此时g'(x)在(0,占)上有g,(x)>0,所以g(x)在(0,Xj)上单调递增,

则在(0,占)上有g(x)>g(0)=0,Bp/(x)+sinx>0,不满足题意；

综上：a<0.

变式1.(2024•河南•襄城高中校联考三模)已知函数/(x)=mlnx,g(尤)=4.

⑴若曲线y=〃x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相交于不同的两点/(4乂)，B(x2,y2),

曲线y=g(无)在/,2点处的切线交于点〃(4，几)，求西+了2-%的值；

⑵当曲线y=〃x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相切时，若Vxe(l,+s),

/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)因为/''("=三，所以/下)=机，

所以曲线〉=/(》)在(1,0)处的切线方程为y=，"x-i).

X2-1

由已知得加(尤i-l)=e*T,m(x2-l)=e,不妨设1<玉<%,

又曲线夕=g(x)在点/处的切线方程为y=(尤-xj+eV,

1

在点B处的切线方程为y=/I(x-x2)+e^-,

两式相减得(e"-ee)(x+l)-芯e'T+&e*2T=0,

7

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X2-1

将加（再一1）二9一1,m^x2-1）=e,

代入得（mF_m工2）（%+1）_再,［加（$-1）］+X2•［加（工2-1）］二0，

化简得加（再一12）（%+2-七一工2）=0，

显然机w0,所以/（占一3）W0,所以玉+%2-X=2,又〃@0，九），所以石+%-毛=2.

（2）当直线＞=机（》-1）与曲线y=g（x）相切时，设切点为Pag（。），

则切线方程为V-eT=e'T（xT）,将点（1,0）代入，解得1=2,此时加=e,/（x）=elnx,

根据题意得，Vxe(l,+oo),/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex,

即eA-1+\nx+ax-a-\>Q恒成立.

令F(x)=e—+a(x-l)+lnx-l仅Sfl),则，Fr(x)=e1-1+a+—,令力(x)=_F〈x),则

〃(x)=e，T_q,

易知”(x)在［1,+8)上单调递增，所以//'(X)21(1)=0,

所以尸'(X)在［1,+8)上单调递增，所以P(x)NF，(l)=a+2.

若-2,则尸'(x)*+220,即尸(x)在［1,+动上单调递增，

则F（x）2尸⑴=0,所以〃x）+eg（x）＞（tz+l）e-aex在（1,+co）上恒成立，符合题意;

若4<一2,则尸'(1)=4+2<0.

yr(l+ln(-a))=/皿陕+a+——\~-=——\~->0,

乂II〃l+ln(-a)l+ln(-a)，

所以存在/e(l,l+ln(-a)),使得/'(%)=0,

当xe(l,x0)时，F(x)<0,尸(x)单调递减,即尸(无)〈尸⑴=0,

所以此时存在xe。,％）,使得/（x）+eg（x）＜（a+l）e-aer,不符合题意.

综上可得，。的取值范围为卜2,+8）.

题型二：端点恒成立

例4.（2024・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数

C兀,g(x)=/(x)+1sinx-

/(x)=siwc-xcosx0<x<一ax3.

2

8

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(1)求)(X)在x=5处的切线方程;

(2)若任意xe［0,+⑹，不等式g(x)W0恒成立，求实数。的取值范围.

7171

【解析】(1)5时，/；又/'(x)=xsinx-；cosx,贝!1左二/'

|1T门口712—兀？

切线方程为：J--=-，即y=­xH---------

24

(2)g(%)=sinx-xcosx-ax3

则s'(%)-x(sinx-3ax),又令/z(x)=sinx-3ax,=cosx-3a,

①当3aV-l,即时，，(x)N0恒成立，.•.〃(x)在区间［0,+旬上单调递增，

.•./z(x)N〃(O)=O,.•.g'(x)W0,.•.g(x)在区间［0,+司上单调递增，

.\g(x)>g(O)=O(不合题意);

②当3。21即a时，h'(x)<0,/?(x)在区间［0,+")上单调递减，

.-.A(x)</z(O)=O,.•.g'(x)40,，g(x)在区间［0,+一)上单调递减,

.-.g(x)<g(O)=O(符合题意)；

③当一l<3a<l,即一§<a<g时，由/?'(0)=1—3a>0,力'(兀)=-1—3a<0,

/.3x0G(0,71),使〃(%o)=O,且％£(0,%)时,h\x)>0,7z(x)>/z(0)=0,g'(x)>0,

・・・g(x)在％£(0,/)上单调递增，，g(%)>g(O)=O(不符合题意)；

综上，”的取值范围是。2g;

例5.(2024•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知函数/(x)=xInx1②-1).

⑴当a=0时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数y=7'(x)在尤=1处取得极值，求实数”的值；

(3)若不等式/(%)W0对xe［1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=0时，f(x)=x］nx,定义域为(0,m)，/(1)=0,

/(x)=lnx+x'=l+lnx,f'(X)=1,

X

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所以函数“X)在点(lj(l))处的切线方程为k0=》-1,即x-y-l=0.

(2)f\x)=Inx+x•--lax=1+Inx-lax,

x

设/'(x)-g(x)=1+Inx—2ax,则g\x)=--2a,

JX

依题意得g")=0,即。=L,

2

111-y

当。=—时，g'(x)=----1-------，当0<%<1时，g'(x)〉0,当%>1时，g'(x)<0,

2xx

所以/'(x)=g(x)在X=1处取得极大值，符合题意.

综上所述：

2

(3)当x=l时，/(I)=0,«GR,

当x〉l时，ff(x)=l+lnx-2ax,

令h(x)=f\x)=l+lnx-2ax,x>l,

则方(x)='_2a

XX

①当aWO时，”(幻>0在(1,+8)上恒成立，故〃O)=/'(x)在(1,。)上为增函数，

所以f\x)>/XI)=1-2。>0,故/(%)在以内)上为增函数,

故/(x)>〃l)=0,不合题意.

②当a>0时，令〃(x)=0,得x=,，

2a

(i)若241,即时，在时，“(x)<0,〃(x)在(1,+s)上为减函数，

2a2

〃(x)〈加1)=1-2。40,即/'(x)<0,/(x)在(1,y)上为减函数，/(%)</(1)=0,符合题意;

(ii)若—>1,BP0<a<一时，

2a2

当工£(1,工)时，h\x)>0,〃(x)在(1,上)上为增函数，=l—>0,

2a2a

/(X)在(1，1)上为增函数，/(x)>/(l)=0,不合题意.

综上所述：若不等式/(x)wo对xe[l,+8)恒成立，则实数。的取值范围是。2；.

例6.(2024・湖南•校联考模拟预测)已知函数/'(x)=ln(l+x),g(x)=^,/(x)与g'(x)分别

是〃x)与g(x)的导函数.

⑴证明:当a=1时,方程/(x)=g(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根；

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⑵若对任意的x€(0,+⑹，不等式/(x)>g(x)恒成立，求实数”的取值范围.

【解析】(1)〃x)=ln(l+x),/(x)=占，

当。=1时,g(x)=[,g'⑴=号，

令〃(x)=/(x)-g(M=±一9+炉T，

1~A-CI11人•JG

x

令=e"+/-1,则“(％)=e+2x9

显然〃(X)在(TO)上是单调递增函数，且〃[£|=1-1<0,〃(0)=1>0,

"(x)在上有唯一零点看,

J=Lxe(-l,x0)时,〃(x)<O,"(x)单调递减，

xe(xo,O)吐”(x)>0,〃(x)单调递增,

又〃⑼=0,〃0

Ve434

.逅21

=e3+——1>e-1——>0

3J33

〃(x)=0在上有唯一的根,

，人(X)=f'(x)-g'(x)在(-1,0)上有唯一零点,

即f(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根.

(2)•."(x)-g(x)=ln(l+x)-W=[[e*ln(l+x)-办],

eQ

令G(x)=exln(l+x)-«x,xG[0,+8),则G(0)=0,

/(x)〉g(x)等价于:G(x)>0,x£(0,+s),

G(x)=exln(l+x)+----Q,GQ)=1-Q,

令77(x)=eXln(l+x)+------a,

则〃G)=

ii

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2i

令小)=皿1+可+k-臼*[0,+⑹，

贝心》占一高.高=篇”

故T(x)在[0,+司上单调递增,T(x)"(0)=l,"(x)21>0,

故”(%)即6’(%)在(0,+")上单调递增。(1)〉1-〃,

当〃V1时,G(%)>0,

・・・G(x)在(0,+。)上单调递增,

・・.G(x)>G(0)=0；

当。〉1时,G(0)=1—。<0，取xx=e-1+Ina>0,

贝(jln(l+%j)=In(e+Ina)>lne=1,~~〉°

、

e"1=e^.e-l+lna>e^Ina=a-,

G'(%)=e*1ln(l+%；)——Q>Q(I+°—〃=q

3X2e(0,尤J，使得G'(x2)=0,

xe(0,x2)时,G'(x)<0,G(无)单调递减，

此时G(x)<G(0)=0,不符合题意.

综上可知:。的取值范围为(—」］.

变式2.(2024・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数/卜)=:”/+无，函数

g(x)=e"-2x+sinx.

⑴求函数g(x)的单调区间；

⑵记/(x)=g(x)-/'(X),对任意的XN0,/(x)20恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)g(x)=e“-2x+sinx,函数定义域为R,

贝1Jg<x)=e"-2+cosx且g<0)=0,

令夕(x)=g'(x),0'(x)=Qx-sinx,xe(0,-FW),(p'(x^-ex-sinx>1-sinx>0,"(x)在(0,+司上

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单调递增，

所以°(x)=g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)的单调递增区间为(0,+。)，

XG(-OO,0),g'(x)=ex-2+cosx<cosx-1<0,所以g(x)的单调递减区间为(-8,0).

(2)f(x)=^ax3+x,/,(x)=ax2+1,

贝ljF(x)=g(x)—f(x)=ex-2x+sinx-ax2-1,且T7(0)=0,

尸⑴=ex+cosx-2ax-2,xe［0,+司，

令G(x)=F(x),(x)=ex-sinx-2a,

令H(x)=G，(x),x>0时/T(x)=e"-cosx>1-cosx>0,

所以G［x)在［0,+司上单调递增，

①若。弓，G,(x)>G,(O)=l-2tz>O,

所以尸(x)在［0,+司上单调递增，所以尸(x)2尸'(0)=0,

所以尸(无)2尸(0)=0恒成立.

②若“>；,G，(0)=1-2°<0,G〈ln(2a+2))=2-sin(2a+2)>0,

所以存在x°e(0,ln(2a+2)),使G'(x0)=0,

故存在工©(。③)，使得G，(x)<0,

此时G(x)单调递减，即尸'(无)在(0,x°)上单调递减，

所以尸'(x)<r(o)=o,故/(x)在(0,x。)上单调递减，

所以此时尸(x)4尸(0)=0,不合题意.

综上，a<—.

2

实数。的取值范围为，叫;.

变式3.(2024•宁夏银川•校联考二模)已知函数〃x)=学.

⑴讨论〃x)在［0,可上的单调性；

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⑵若对于任意xe，若函数/(x)V区恒成立，求实数人的取值范围.

【解析】(1)

川(x)〉0,则0<x<；；r(x)<0,则:

JTjr

所以在0,-单调递增，在~,71单调递减.

(2)令g(x)=?^-Ax,有g(0)=0

当上V0时，x>0,e'>0,sinx>0,g(x)>0,不满足;

当4>0时，/(尤)尸黄口后,

令/z(x)=g'(x)=c°s；sinx_L

所以"(x)=二|浮<0在1身恒成立,

则g'(x)在单调递减，

g'(o)=i-k,卜三一“<°，

①当1-左V0,即左21时，g,(x)<g,(0)<0,

所以g(x)在单调递减,

所以g(x)Vg(O)=O,满足题意;

②当1一左>0,即0<上<1时,

因为g'(x)在畤单调递减，g<0)=->0,g'-k<0

e-

[4]，使得g'(x0)=0,

所以存在唯一％G

所以g(x)在(o,x0)单调递增,

所以g(x0)>g(O)=O,不满足，舍去.

综上：上21.

变式4.(2024•四川泸州・统考三模)已知函数/(x)=(x-1)/+办+2.

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2025高考数学必刷题

⑴若单调递增，求。的取值范围；

(2)若xNO,/(x)>sinx+cosx,求a的取值范围.

【解析】(1)由/(x)=(x-l)e'+ax+2,得/(x)=xe*+a,

由于〃x)单调递增,则f(x)20即a2—疣工恒成立，

令g(x)=fe",则g，(x)=-(x+l)e",

可知x<-l时，g'(x)>0,则g(x)在(3,-1)上单调递增；

尤>-1时，g'(x)<0,则g(x)在(-1,母)上单调递减，

故尤=-1时，g(x)取得极大值即最大值g(-l)=L

e

故awL所以a的取值范围是，,+s].

eLeJ

(2)由题意x20时，/(x)Nsinx+cosx恒成立，即(x—l)e“+tzx-sinx-cosx+2>0；

令/z(x)=(x-l)e"+ax-sinx-cosx+2,原不等式即为〃(x)20恒成立，

可得MO)=0,〃'(x)=xe"+a-cosx+sinx,"(0)=a-1,

令〃(x)=A\x)=xex+a-cosx+sinx,贝〃'(x)=(x+l)ex+sinx+cosx,

又设心)=(x+l)e",则/(%)=(%+2)e”,

贝iJxNO,/(x)>0,可知(X)在[0,+8)上单调递增，

若工£0,1-J,有(x+l)e”>0,sinx+cosx>0,则/(x)>0；

若1^+8)，有(x+l)e”+>e,

贝U/(%)=(x+l)ex+sinx+cosx>0,

所以，x>0,u\x)>0,则〃(x)即人(x)单调递增，

(i)当a—GO即〃21时，Ar(x)>^(0)>0,则〃(%)单调递增,

所以，〃(02〃(0)=0恒成立，贝符合题意.

(ii)当〃一1<0即a<1时，〃'(0)<0,

〃'(2—〃)=(2—a)e2~a+a-cos(2一a)+sin(2-a)>2-a+a-cos(2一a)+sin(2一a)〉0,

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2025高考数学必刷题

存在％e(O,2-a),使得〃每)=0,

当。〈尤</时，h\x)<0,则。x)在(0,%)单调递减,

所以〃(x)<a(o)=o,与题意不符，

综上所述，。的取值范围是[1,+8).

题型三：端点不成立

例7.(2024•重庆•统考模拟预测)已知函数/"(尤)=alnx-x(a片0).

⑴讨论函数/(x)的极值；

(2)当x>0时，不等式h-2/&)*皿/(苫)]+1恒成立，求。的取值范围.

eA

【解析】(1)由题意可得：AM的定义域为(0,+。)，且/(x)=@-l=巴三，

xx

①当a<0时，则x>0,a-x<0,可得/'<x)<0,

所以/(x)在(0,+s)上单调递减，无极值；

②当。>0时，令/'(无)>0,解得0<x<a；令/'(x)<0,解得x>。；

则/(x)在(0,。)上单调递增，在(。,+动上单调递减，

所以/(x)有极大值/(a)=alna-a,无小极值；

综上所述：当a<0时，/(x)无极值；

当。>0时，/⑸有极大值/⑷=alna-a,无极小值.

(2)因为土-2/(x)2sin[/(x)]+l,贝Ue小)-2/(x)-sin[/(尤)]-120,

构建g(x)=e》-2x-sinx-1,贝(jgz(x)=ex-2-cosx,

①当xVO时，则1,—cosxVl,则g'(x)=e、—2—cosx<0,等号不能同时取到,

所以g(x)在(-8,0]上单调递减；

②当x>0时，构建°(x)=g'(x),则？'(x)=e"+sinx,

因为e*>1,sinx>-L贝ij夕'(x)=e"+sinx>0,

所以°(x)在(0,+司上单调递增，

且夕(0)=-2<0,e(l)=e-2-cosl>e-2-cos；=e-2———>0,

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2025高考数学必刷题

故°(x)在(0,+“)内存在唯一零点与e(O,l),

当0<尤<x()时，则9(x)<0；当X>/时，则o(x)>0；

即当0<x</时，贝|g'(x)<0；当x>/时，则g'(x)>0；

所以g(x)在(0,x0)上单调递减，在(％,+QO)上单调递增；

综上所述：g(x)在(-00,/)上单调递减，在(％,+(»)上单调递增,

贝Ug(x)上g(x°)=e®-2/-$吊/一1,且g(Xo)<g(O)=O,

g(x)的图象大致为：

对于函数/(x),由(1)可知：

①当.<0时，/(X)在(0,+8)上单调递减，

且当X趋近于0时，/(X)趋近于+00,当X趋近于+00时，/(x)趋近于-8,

即"X)的值域为R,则g(/(无)”0不恒成立，不合题意；

②当°>0时，“X)在(0,。)上单调递增，在(。,+<»)上单调递减，

则/(x)v/(a)=alna-a,且当X趋近于0时，/⑴趋近于当X趋近于+oo时，/(x)趋近

于一oo,

即f(x)的值域(-8,alna-a],

若g(〃x)”0恒成立，则“X)40恒成立,

即a\na-a<0,解得0<a<e；

综上所述：〃的取值范围(0,e].

例8.(2024•江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数

/(x)=lnx+lnQ+(Q-l)x+2(〃>0).

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2025高考数学必刷题

⑴讨论了(X)的单调性；

(2)若不等式ei>/(x)恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)/⑴的定义域为(0,+8),f\x)^-+a-\,

X

当。并时，r(x)>o,在电舟)上为增函数；

当0<a<1时，由/'(x)>0,得由/'(x)<0,得x>-!-,

1—a1-a

所以在(0,J)上为减函数，在(」,+8)上为增函数.

1-a\—a

综上所述：当。21时，/(X)在(0,舟)上为增函数；当0<a<l时，/(X)在。」)上为减函

1-a

数，在(;L,+00)上为增函数.

\-a

(2)ex~2>/(x)oex_2>lnx+ln〃+(〃-l)x+2oex~2+x-2>\n(ax)+ax

u>Inex_2+ex~2>ln(〃x)+ax,

设g(x)=lnx+x,则原不等式恒成立等价于8(广2)2g(Qx)在(0,+oo)上恒成立，

g((x)=-+l>0,g(x)在(0,+co)上为增函数，

X

则g(e*2)>g(“x)在(0,+oo)上恒成立,等价于ex-22"在(0,+00)上恒成立,

等价于。WJ在(0,舟)上恒成立

X

^x-2_x-2_x-2_x-2/„i\

A.7/、e/r»\7,/、ex—ee(x—1)

令h(x)=——(x〉0),h\x)=----------=——

XXX

令h\x)<0,得0cx<1,令hr(x)>0,得X〉1,

所以Mx)在(0,1)上为减函数，在(1,+q)上为增函数，

所以/幻血一如人］，故0<。/.

ee

例9.(2024•江西・校联考模拟预测)已知函数/(x)=手-x+1.

⑴求〃x)的单调区间；

(2)若对于任意的xe(0,+oo),〃x)+,+xVae"恒成立，求实数。的最小值.

【解析】⑴由〃x)=*x+l定义域为xe(O,+⑹

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2025高考数学必刷题

▽--x-\wc-y

又"'__1=1_lux_12

x2

令〃(x)=l-Inx--,显然〃(x)在(0,+功单调递减，且〃(1)=0；

・•・当、£(0,1)时，A(x)>0=>/r(x)>0；

当x£(l,+oo)时，〃(x)<0n/r(x)<0.

则/(%)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减

(2)法一：：任意的xe(O,+(»),〃x)+L+xVae”恒成立，

；•+x+inxV"e'-X?-1恒成立，即aN£±里±1恒成立

xe

人/、x+lux+1，/、-(x+l)(x+lnx)

令g(x)=r^，则niI戈(尤)=(工工一]

人cXC

令〃(x)=x+lnx,则〃(%)在(0,+动上单调递增，

•//jflVl-UO,A(l)=l>0.

,存在X。egl],使得丸(%)一天+岫=0

当xe(O,x())时,A(x)<0,g,(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(%,+oo)时，/?(%)>0,g,(x)<0,g(x)单调递减,

由/+lnx0=0,可得/=-lnx0,

•・ijg(力铝沪=1,

Aoc

「x+lux+1

又丑一

：.a>lf故。的最小值是1.

法二:

Y+Iny-I-1

•••-Y+x+In无V"e，-/一i恒成立，即。wx”：+1恒成立

xe

x+Inx+1x+lux+1x+lux+1

令g(x)=】

xeeclnxe—Xenx+x

不妨令"x+lnx(x>0),显然£=x+lnx在(0,+动单调递增nzwR.

，。2“二在，£氏恒成立.

e

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2025高考数学必刷题

令/?(7)=与二1(/)=」

ee

.•.当fe(fO)时，”(。>0；

当te(0,+8)时，h'(t)<0即2)在(-8,0)单调递增

g)在(0,+。)单调递减

：.a>\,故。的最小值是1.

变式5.(2024・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数"x)="x-ln无，aeR.

(1)若。=■,求函数/(x)的最小值及取得最小值时的x值；

e

(2)若函数<xe'-(a+1)Inx对xe(0,+s)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=工时，/(x)--x-lnx,定义域为(0,+e),

Qe

所以广(同=［一!=］，令/(》)=0得彳=0,

exex

所以，当x£(O,e)时，/\x)<0,/(x)单调递减；

当x£(e,+8)时，/r(x)>0,/(%)单调递增，

所以，函数/(%)在％=e处取得最小值，/(%)*=/⑻=0.

(2)因为函数/⑺Wxe"-(a+l)lnx对％£(0,+8)恒成立

所以xe"-“x+lnx)20对x£(0,+oo)恒成立，

令〃(％)=xe%-tz(x+lnx),x>0,则h\x)=(x+l)ex-tz(l+—)=(x+l)(ex--),

①当”=0时，h\x)=(x+1)^>0,力(x)在(0,+的上单调递增，

所以，由〃(x)=xe"可得〃(工)>0,即满足xe"-a(x+lnx)「0对x«0,+8)恒成立;

②当〃<0时，则-a>0,h\x)>0,〃(x)在(0,+。)上单调递增，

因为当x趋近于0+时，〃(%)趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；

③当Q>0时，令〃'。)=0得4=双"

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2025高考数学必刷题

令k(x)=e=g左'(x)=e，+/>0恒成立，故人(力在(0,+8)上单调递增，

因为当x趋近于正无穷时，左卜)趋近于正无穷，当x趋近于0时，Mx)趋近于负无穷，

Xo

所以瑞e(0,+oo),使得〃(％)=0,a=x0e,

所以，当xe(O,Xo)时，h\x)<0,〃(x)单调递减，

当xe(%,+00)时，h'(x)>0,/z(x)单调递增,

所以，只需/小热=〃(%)=/6'。-<7伉+出工0)=/6"。(l-Xo-lnx。”0即可；

所以，l-Xo-ltiXo2O,l>x0+lnx0,因为尤。二讹f，所以In%=lna-尤。,

所以Inxo+x。=lnaVl=lne,解得0<aVe,所以，ae(0,e],

综上所解，实数。的取值范围为[0,e].

变式6.(2024・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=ei-alnx,其中aeR.

⑴当。=1时，讨论“X)的单调性；

⑵当xe[O,可时，2/(x+l)-cosx，l恒成立，求实数0的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，y(x)=ei-lnx,函数AM的定义域为(0,内)，

求导得/'(x)=ei