四川省内江市威远县2024-2025学年高三数学上学期期中试题文含解析

Page17Page17四川省内江市威远县2024-2025学年高三数学上学期期中试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据一元二次不等式的解法求出集合A，结合交集的概念和运算即可得出结果.【详解】由题意知，，所以.故选：C2.复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可得复数的虚部.【详解】解：复数故的虚部为.故选：A．3.已知是其次象限角，为其终边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用以及是其次象限角，求出，再利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为是其次象限角，为其终边上的一点，所以，因为，，所以，所以，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用三角函数的定义，求出，进而可以求出，再利用正切的二倍角公式即可求.4.已知命题p：若，则；命题q：，.那么下列命题为真命题是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推断命题p,q的真假，从而推断的真假，依据且命题真假的推断方法，可得答案.【详解】对于命题p：因为是单调递增函数，故时，则，因此命题p为真命题，则为假命题，对于命题q：当时，，故q为假命题，故为真命题，因此为假命题，为真命题，为假命题，为假命题，故选：B5.设，，．若，则实数的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．考点：平面对量数量积．6.把物体放在冷空气中冷却，假如物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得.其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列方程，依据对数的运算性质计算即可详解】解：由题意得，，，两边取自然对数得，，所以，故选：A7.为锐角，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为为锐角，且，所以，所以，所以，即，解得，所以，故选A．考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和的正切公式．【方法点睛】依据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合图象，先推断奇偶性，然后依据且趋近0时推断，最终利用的零点进行推断，即可得到答案【详解】解：因为，所以，解得，则的定义域为，关于原点对称，由可得，发觉，故为奇函数，故B错误；当且无限接近0时，，所以此时，故A错误；因为当即，解得，所以在轴正半轴的第一个零点是，其次个零点是，第三个零点是，第四个零点是，第五个零点是，所以在第四个零点和第五个零点之间不行能始终递增，故C错误；故选：D9.各项为正数且公比为的等比数列中，成等差数列，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据已知条件是等比数列，假设出首项和公比，再依据等差中项性质列式计算即可.【详解】因为成等差数列，所以，即，所以，解得或（舍去），故选:C.10.把函数图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g的图象，已知函数g=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）=（）A.sin（4x+） B.sin（4x+） C.sin（x+） D.sin（x+）【答案】D【解析】【分析】首先依据图像，由振幅和可得，再反向平移，向左平移个单位长度，再横坐标缩短到原来的2倍即可得解.【详解】先依据函数图像求函数g=Asin（ωx+φ）得解析式，由振幅可得，明显，所以，所以，所以，所以，再由，由|φ|可得，所以，反向移动先向左平移个单位长度可得，再横坐标缩短到原来的2倍可得，故选：D11.设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（）A. B.为奇函数C.在上为减函数 D.一个周期为8【答案】C【解析】【分析】由、可推出的周期为8，利用对称性、周期性求、推断奇偶性刚好的单调性，即可得答案.【详解】由题设，，则关于对称，所以，即，则，即，由，则关于对称，所以，即，综上，，则，故，即易知的周期为8，D正确；，A正确；由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；由时递增，则时递增，明显C错误.故选：C12.已知是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据条件构造函数，求函数的导数，推断函数的单调性，结合函数单调性的性质进行比较即可．【详解】当时不等式成立，，在上是减函数．则，，，又函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则，，在上是减函数，，则，故选：A．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.已知，则______．【答案】##0.75【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可.【详解】解：由题意得：∵，∴．故答案为：14.若向量满意，则_________.【答案】【解析】【分析】依据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.15.写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先设切点，并求切点处的导数，然后确定直线恒过定点，利用导数的几何意义，列式求参数的值.【详解】设切点为，直线恒过定点，，则，则，可得其中一个根，，此时，得.故答案为：（答案不唯一）16.已知函数(ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由在上恰有两个零点，令，，可得，令，，可得f(x)在上单调递增，从而有，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令，，得x＝，，∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，∴，解得，令，，∴，，令k＝0，f(x)在上单调递增，∴，∴，解得，综上，ω的取值范围是.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.17题-21题各12分，22题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角三角恒等变换先将函数化简为，即可求出最小正周期；（2）令，，即可求出单调递增区间.【详解】（1）解：，.（2）解：令，，解得，，的单调递增区间为，.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是能正确利用和的正弦公式、二倍角公式、协助角公式将函数化简为正弦型函数.18.设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，留意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时留意辨析q是否为1，只要简洁数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．19.在锐角中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解；（2）利用正弦定理，协助角公式可化简，结合的范围即得解【小问1详解】，，又为锐角【小问2详解】由正弦定理，，由锐角，故故.20.某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．产品件数一等品二等品总计甲生产线乙生产线总计（1）请将列联表补充完整，并依据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？参考公式：（2）从样本的全部二等品中随机抽取件，求至少有件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为产品的等级差异与生产线有关；（2）【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可推断；（2）记甲生产线的2个二等品为，，乙生产线的3个二等品为，，，用列举法列出全部可能结果，再依据古典概型的概率公式计算可得；【小问1详解】解：依题意可得列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线3840乙生产线310总计455所以，因为，所以有的把握认为产品的等级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为，，乙生产线的3个二等品为，，；则从中随机抽取件，全部可能结果有，，，，，，，，，共10个，至少有件为甲生产线产品的有，，，，，，共7个，所以至少有件为甲生产线产品的概率；21.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）方法一：当时，，令，只需证明即可．【详解】（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）［方法一］：【最优解】放缩当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．因此．［方法二］：【通性通法】导数应用函数的定义域为R，．当时，令，得，或，其中．则函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．又，当时，恒成立，故，故当时，．［方法三］：等价变形＋含参探讨不等式等价于．令．当时，（导数法证明过程参考方法二）．当时，易知在R上单调递增且．所以存在唯一实数使得，即．函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．故．记，则的图像为开口向上，对称轴的抛物线，故函数在区间内单调递减，故．综上所述，当时，．［方法四］：【最优解】利用切线不等式放缩不等式等价于．因为，所以．当时，，即结论得证．【整体点评】（2）方法一：利用不等式性质放缩，转化为求详细函数的最值，方法简洁易操作，是该题的最优解；方法二：干脆探讨函数的单调性求最小值，即可解出，是该类型题的通性通法；方法三：将不等式等价变形，然后再含参探讨新函数的单调性，求出最小值，此法也是常规手段，但是对于解决该题，显得有些繁琐；方法四：将不等式等价变形，然后利用切线不等式，不等式的性质放缩，再结合二次函数的性质解出，也可以认为是本题的最优解．22.在平面直角坐标系中，伯努利双纽线（如图）的一般方程为，曲线的参数方程为（其中，为参数）．（1）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，