2025届新高考数学专题复习专题03充分必要充要问题的研究教师版

专题03充分、必要、充要问题的探讨一、题型选讲题型一、充分、不要条件的推断充分、必要条件的三种推断方法：（1）定义法：干脆推断“若p则q”、“若q则p”的真假．并留意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．例1、【2024年高考天津】设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成马上可.求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选A．1-1、【2024年高考天津理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分条件，即“”是“”的必要而不充分条件.故选B.1-2、（2024届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知是非零实数，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为,所以或,所以是“”的既不充分也不必要条件,选D1-3、（2024·浙江省温州市新力气联盟高三上期末）已知且，则“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由当时，得，推出，当时，得，推出，则是的充分条件，但当时不肯定能推出（比如：，，这时无意义）则是的不必要条件，故选：A.1-4、（2024届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知m为非零实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，解得，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.例2、【2024年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，依据能否推导的结果推断充分必要条件.依题意，是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，依据公理可知确定一个平面，而，依据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选B.2-1、（2024·浙江学军中学高三3月月考）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.例3、【2024年高考北京】已知，则“存在使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选C．3-1、（2024届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满意，反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.3-2、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】所以（逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B3-3、（江苏省南通市通州区2024-2025学年高三第一次调研抽测）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则“”是“函数为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数的图象向右平移个单位，可得的图像，当时，可得，明显为偶函数，所以“”是“函数为偶函数”的充分条件；若函数为偶函数，则，即，不能推出，所以“”不是“函数为偶函数”的必要条件，因此“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要例4、【2024年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A､B､C三点不共线，∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2·>0与的夹角为锐角，故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件.故选C.4-1、（2024届山东省日照市高三上期末联考）设是非零向量，则是成立的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由可知：方向相同，表示方向上的单位向量所以成立;反之不成立.故选B例5、（2024届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知，则“”是“直线和直线垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线和直线垂直，则，解得或，所以，由“”可以推出“直线和直线垂直”，由“直线和直线垂直”不能推出“”，故“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选：A.5-1、（2024·浙江温州中学高三3月月考）“直线与直线平行”的充要条件是（）A．-3 B．2 C．-3或2 D．3或2【答案】A【解析】当或时，明显直线不平行，由，解得：或，时，直线分别为：和，平行，时，直线分别为：和，重合，故，故选：A．例6、（2024届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等比数列公比为，当时，，当时，，，所以“”是“”的充要条件.故选:C.6-1、（2024·浙江高三）等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“Z”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，若d＝0，则{an}为常数列，故an=，即⇒“Z”，当Z时，d不肯定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，故d＝0是Z的充分不必要条件．故选：A．题型二、依据充分、必要条件推断含参的问题解决此类问题要留意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）依据集合之间的关系列出关于参数的不等式。例7、（2024·全国高三专题练习（文））“，”为真命题的充分必要条件是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】“，”为真命题，对随意的恒成立，由于函数在区间上单调递增，则，.故选：A.例8、（2024届山东试验中学高三上期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】由题意得，，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要条件，则，解得，所以实数的取值范围是．例9、（2024届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____【答案】【解析】命题，解得命题，解得因为是的充分不必要条件，所以所以，解得，即故答案为：二、达标训练1、【2024年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满意，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.方法总结：易出现的错误：一是基本不等式驾驭不娴熟，导致推断失误；二是不能敏捷地应用“赋值法”，通过取的特别值，从假设状况下推出合理结果或冲突结果.2、【2024年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有多数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平行的性质定理知，若，则内随意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B．方法总结：面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最简单犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.3、【2024年高考浙江】已知平面α，直线m，n满意mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m⊄α,n⊂α,m//n，所以依据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m与α内任始终线平行，所以m//n是m//α的充分不必要条件.故选A.4、【2024年高考天津理数】设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】肯定值不等式x-1由x3据此可知x-12<故选A.5、（2024届山东师范高校附中高三月考）函数是增函数的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵时，是增函数，∴函数是增函数的一个充分不必要条件是的一个子集，又，故选：D.6、（2024届浙江省嘉兴市3月模拟）设双曲线E：，命题p：双曲线E离心率，命题q：双曲线E的渐近线相互垂直，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，离心率为，由，可得，即有，可得，即得渐近线方程为，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得，可得，即有是的充要条件，故选：．7、（2024届山东省潍坊市高三上期中）m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有.而由可得，从而有.反之则不肯定成立，可能相交，平行或异面.所以是的充分不必要条件，故选A8、（2024届山东省泰安市高三上期末）“”是“，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】必要性：设，当时，，所以，即；当时，，所以，即.故或.充分性：取，当时，成立.答案选A9、（2024·山东省淄博试验中学高三上期末）“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选B．10、（2024届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，∴或，即或，∴．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A.11、（2024届山东省滨州市高三上期末）已知，则“”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由解得，所以由“”能推出“”，反之，不能推出；因此“”是“”的必要不充分条件.故选：B.12、（2024届山东省济宁市高三上期末）已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“为直角三角形”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，两边平方得到，，即故为直角三角形，充分性；若为直角三角形，当或为直角时，，不必要；故选：13、（2024届山东省潍坊市高三上学期统考）下列推断正确的是（）A．若随机变量听从正态分布，，则；B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；C．若随机变量听从二项分布：,则；D．是的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】A．已知随机变量ξ听从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正确；B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；C．由于随机变量ξ听从二项分布：ξ～B（4，），则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“