广西专版2024-2025学年新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数余弦函数的性质第1课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课后训练新人教A版必修第一册

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课后·训练提升基础巩固1.函数f(x)=cos(2x-π6)的最小正周期是(A.π2 B.π C.2π D.4答案B解析所求最小正周期T=2π2=π2.函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为()A.2π B.3π2 C.π D答案C解析∵sin(x+π)=-sinx,|sinx|=|-sinx|,∴f(x+π)=f(x),∴函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为π.故选C.3.函数f(x)=x+sinx,x∈R()A.是奇函数,但不是偶函数B.是偶函数,但不是奇函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数答案A解析由x∈R,f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),可知f(x)是奇函数.4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是()A.y=cosx2 B.y=cos(x+32C.y=|cosx2| D.y=|cos2答案BC解析y=cosx2的周期T=2π12y=cos(x+32π)的周期T=2πy=|cosx2|的周期T=2πy=|cos2x|的周期T=π2.故选BC5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,fπ4=1,则f3π4A.1 B.-1 C.0 D.2答案B解析f3π4=fπ-π4=f-6.已知函数f(x)=cosωx+π6(ω>0)的最小正周期为πA.关于点π6,0对称 B.关于直线C.关于点π3,0对称 D.关于直线答案A解析由已知可得ω=2ππ=2,所以f(x)=cos因为fπ6=0,所以点π因为fπ3≠0,所以点π因为fπ3=-32≠±1,所以直线x=π3不是该函数图象的对称轴,所以D中说法错误7.若0<α<π2,g(x)=sin2x+π4+答案π解析要使g(x)=sin2x+π4+α为偶函数,则须π4+α=kπ所以α=kπ+π4,k∈Z因为0<α<π2,所以α=π8.已知函数f(x)=2cosωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则ω=答案2解析因为2π|ω|=π(ω>0),所以9.推断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sin12x的奇偶性解f(x)=cos(2π-x)-x3sin12x=cosx-x3sinx2的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x2)=cosx-x3sinx2=f(x),所以f10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sinx,求当x<0时,f(x)的解析式.解当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x-sinx(x<0).实力提升1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是()A.π2 B.π C.3π2 D答案ACD解析因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,结合选项可知,A,C,D均符合,B不符合.故选ACD2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=-π4是函数f(x)图象的一条对称轴,点π4,0是函数f(A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)答案C解析∵直线x=-π4是函数f(x∴-π4ω+φ=k1π-π2(k1∈Z)又点π4,0是函数f∴π4ω+φ=k2π(k2∈Z).∴②-①得,ω=2(k2-k1)+1.∵k1,k2∈Z,ω>0,∴ω=2k+1(k∈N).故选C.3.若函数f(x)=cosωx+π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6,则A.3 B.6 C.12 D.24答案B解析函数f(x)=cosωx+π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6,所以最小正周期T=由2πω=π34.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=.

答案sinπx(答案不唯一)解析由函数是奇函数,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asinωx(Aω≠0),满意f(-x)=-Asinωx=-f(x),即是奇函数;依据最小正周期T=2π|ω|=2,可得|故函数可以是f(x)=sinπx(答案不唯一).5.已知函数f(x)=cos(x2+π3),则f(x)的最小正周期是;f(答案4π(2kπ+π3,0),k∈解析由f(x)=cos(x2+π3),得T=2令x2+π3=kπ+π2,k∈Z,求得x=2kπ+π3,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是(2kπ+6.已知函数f(x)=2sinωx+φ-π6(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(1)求fπ8(2)求函数y=fx+(3)当x∈0,7π12时,方程f(x)=m解(1)f(x)=2sinωx+φ-π6(0<φ<π,ω>0)是偶函数,则φ-π6=解得φ=2π3+kπ(k∈又0<φ<π,所以φ=2π所以f(x)=2sinωx+π2=2cos由题意得2π|ω|=2×π2(ω>故f(x)=2cos2x,因此fπ8=2cosπ(2)由f(x)=2cos2x,得y=fx+π6=2cos(2令2x+π3=kπ,k∈Z,即x=kπ2-π所以函数y=fx+π6图象的对称轴为直线x=kπ2(3)若方程f(x)=m有两个不同的实根,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.对函数y=f(x)=2cos2x,x∈(0,7π12],令t=2x,t∈0,7π6,则y=2cost,t∈0,7π6的图象与直线y=m有两个不同的交点,由图象(图略)知-2<m≤-37.已知函数f(n)=sinnπ4,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f解由题意可知,函数f(n)的周期T=2ππ又f(1)=sinπ4=22,f(2)=sinπ2=1,f(3)=sin3π4=f(