新教材适用2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角课后训练北师大版选择性必修第一册

4.3用向量方法探讨立体几何中的度量关系第1课时空间中的角A组1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD夹角的正弦值为().A.33 B.12 C.62.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2,则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值是().(第2题)A.32 B.12 C.3.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C,若AB=1,AD=3,AC=72,则平面ABD与平面BCD的夹角为()A.30° B.60° C.120° D.90°4.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1夹角的余弦值为().(第4题)A.15 B.C.35 D.5.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD夹角的大小为().A.30° B.45° C.60° D.90°6.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB的夹角为.

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1-B1的平面角大小为.

8.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,平面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(第8题)(1)证明:平面ABEF⊥EFDC;(2)求二面角E-BC-A的平面角的余弦值.B组1.(多选题)已知四棱锥P-ABCD的四条侧棱都相等,底面是边长为2的正方形.若其五个顶点都在一个表面积为81π4的球面上,则PA与底面ABCD夹角的正弦值为(A.23 B.13 C.22.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AA1|=2,|AD|=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE的夹角的余弦值为().A.1010 B.C.215103.如图,已知P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC.F为PC的中点,则二面角C-BF-D的平面角的正切值为().(第3题)A.36 B.34 C.34.在底面为正三角形的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点D为棱BC的中点,点E为A1C上的点,且满意A1E=mEC(m∈R),当二面角E-AD-C的余弦值为1010时,实数m的值为()(第4题)A.1 B.2 C.125.在空间直角坐标系O-xyz中,平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),若平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=.

6.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,M分别是线段BC,CC1,AB的中点,AA1=2AB=4.(第6题)(1)求证:DE∥平面A1MC.(2)在线段AA1上是否存在一点P,使得二面角A1-BC-P的平面角的余弦值为71938?若存在,求出AP的长;若不存在,7.如图,在多面体A-PCBE中,四边形PCBE是直角梯形,且PC⊥BC,PE∥BC,平面PCBE⊥平面ABC,AC⊥BE,M是AE的中点,N是PA上的点.(第7题)(1)若MN∥平面ABC,求证:N是PA的中点;(2)若PE=13BC,且AC=BC=PC,求二面角E-AB-C的平面角的余弦值

参考答案4.3用向量方法探讨立体几何中的度量关系第1课时空间中的角A组1.C设BC的中点为E,则∠OAE即为AO与平面ABCD的夹角.2.C如图,以AC的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A1(0,-(第2题)1,2),B(3,0,0),B1(3,0,2),C(0,1,0),所以A1B=(3,1,-2),B1C=(-所以cos<A1B,3.B过点A作AE⊥BD,过点C作CF⊥BD(图略),则AE=32,BE=12,所以EF=因为AC=所以|AC|2=|AE|2+|EF|2+|FC|2+2|AE||FC|·cos<AE,FC>,且|AE|=|FC|=32,|所以cos<AE,FC>=-所以平面ABD与平面BCD的夹角是60°,故选B.4.D以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系D-xyz(图略).设AB=1,则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以A1B=(0,1,-2),AD1cos<A1B,AD∴异面直线A1B与AD1夹角的余弦值为455.B如图,建立空间直角坐标系A-xyz.(第5题)设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,12,1∴AE=0,12,1易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量.∵cos<AD,AE>=∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.6.π3如图,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(第6题)∴DB=(2,2,0),PE=(0,1,-1).∴cos<DB,PE>=∴<DB,PE>=∴PE与DB的夹角为π37.120°如图,以C为原点,BC,CD,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(第7题)设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),∴BA=(0,a,0),BD1=(-a,a,a),BB1=设平面ABD1的一个法向量为n=(x,y,z),则n·BA=(x,y,z)·(0,a,0)=ay=0,n·BD1=(x,y,z)·(-a,a,a)=-ax+ay+az=∵a≠0,∴y=0,x=z.取x=z=1,则n=(1,0,1)为平面ABD1的一个法向量.同理可得平面B1BD1的一个法向量为m=(1,1,0).∵cos<n,m>=n·m|n||m|=1而二面角A-BD1-B1为钝角,故为120°.8.(1)证明由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,DF∩FE=F,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解如图,过点D作DG⊥EF,垂足为点G,(第8题)由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,GF的方向为x轴正方向,|GF|为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,设|DF|=2,则|DG|=3,A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知得AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,所以∠CEF=60°,从而可得C(-2,0,3).所以EC=(1,0,3),EB=(0,4,0),AC=(-3,-4,3),AB=(-4,0,0).设n=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量,则n不妨取z=-1,则n=(3,0,-1).设m是平面ABCD的一个法向量,则m取z=4,则m=(0,3,4),所以cos<n,m>=n·m|故二面角E-BC-A的余弦值为-219B组1.BC由已知可得,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,∵正四棱锥外接球的表面积为81π∴正四棱锥外接球的半径R=94如图,(第1题)连接AC,BD交于点E,设球心为O,连接PO,BO,则E在PO(或其延长线)上,PO=BO=R,BE=12BD=12×2∵R=94,∴OE=R∴PE=R-OE=94-74=1当PE=12时,PA=2+PA与底面ABCD夹角的正弦值为12当PE=4时,PA=16+2=32,PA与底面ABCD夹角的正弦值为43∴PA与底面ABCD夹角的正弦值为132.B以D为坐标原点,建立空间直角坐标系如图,则B(1,2,0),C1(0,2,2),A(1,0,0),E(0,2,1),(第2题)∴BC1=(-1,0,2),AE=(-1,2,1).∴cos<BC∴异面直线BC1与AE夹角的余弦值为30103.D设AC,BD相交于点O,连接OF,如图.(第3题)∵四边形ABCD为菱形,∴O为AC的中点,AC⊥BD.∵F为PC的中点,∴OF∥PA.又PA⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA=AD=AC=1,则BD=3,∴B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,D-32,0,0.∴OC=0,12,0,且OC为平面BDF的一个法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可求得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3).∵cos<n,OC>=217,从而sin<n,OC>=277,∴tan<n,OC>=2334.A由题意知m>0.以A为坐标原点,过点A在平面ABC内作垂直于AC的直线为x轴,分别以AC,AA1所在直线为y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,如图.(第4题)则A1(0,0,3),C(0,2,0),B(3,1,0),D32,32,0,E0,2mm+1,3m+1,则AD=32,32设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),则n令x=3,则y=-1,z=2m3,∴n=3,-1,2m3.取平面ADC的一个法向量为m=由二面角E-AD-C的余弦值为1010,得|cos<n,m>|=1010,所以2m33+1+4m29=1010,5.125平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1)设平面α的法向量为u=(x,y,z),则有-3x+4y=0,-3x+az=0,从而3x=4y=az,取|cos<n,u>|=1a又因为a>0,所以a=1256.(1)证明如图①,连接AC1,设O为A1C,AC1的交点,由题意可知O为AC1的中点,连接OM,OE,MD,则MD=12AC,OE=12AC,∴MD=OE,∴四边形MDEO为平行四边形,即DE∥MO.又DE⊄平面A1MC,MO⊂①②(第6题)(2)解建立如图②所示的空间直角坐标系,设PA=a(0≤a<4),则D(0,0,0),A(3,0,0),P(3,0,a),A1(3,0,4),B(0,1,0),则DP=(3,0,a),PB=(-3,1,-a).设平面PBC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·不妨取x1=a,则n1=(a,0,-3).同理,A1D=(-3,0,-4),A1B=(-设平面BCA1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·A1D=0,则n2=(4,0,-3).由图易得所求二面角为锐角,设为θ,则cosθ=n1·n2|n1||n故存在点P,使得二面角A1-BC-P的平面角余弦值为71938,此时PA=7.(1)证明∵PE∥BC,PE⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PE∥平面ABC.∵A∈平面ABC,A∈平面PEA,令平面ABC∩平面PEA=l,∴A∈l.∵PE⊂平面PEA,∴PE∥l.已知MN∥平面ABC,同理可证,MN∥l.∴MN∥PE.∵M是AE的中点,∴N是PA的中点.(2)解∵平面PCBE⊥平面ABC,平面PCBE∩平面ABC=BC,PC⊥BC,∴PC⊥平面ABC,从而PC⊥AC.∵在梯形PCBE中,PE∥BC,∴PC与BE相交.∵AC⊥BE,∴AC⊥平面PCBE.∵BC⊂平面PCBE,∴AC⊥BC.∴CA,CB,CP两两垂直.(第7题