河南省商丘市十校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析

普通高中2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学（人教版）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线经过点，，则直线的方程为（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直线的斜率，再由斜截式得到直线方程，最后化为一般式即可.【详解】因为直线经过点，，所以，所以直线的方程为，即.故选：D2.若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得，解得即可.【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距，所以，解得.故选：A3已知直线与直线垂直，则实数（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】若直线与垂直，则需满足【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得故选：B.4.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将方程化为标准式，即可求出其准线方程.【详解】抛物线即，则抛物线的准线为.故选：D5.已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果.【详解】由方程表示圆得，，解得.圆心坐标为，由圆心在第二象限得，所以实数a的取值范围为.故选：C.6.在四面体中，E为棱的中点，点F为线段上一点，且，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为E为棱的中点，所以，因为，所以，又，所以.故选：B7.已知点P为圆上一动点，若直线上存在两点A，B，满足，且，则r的最小值为（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根据题意，由4，且，可得，点P在以为直径的圆M上，转化为圆C与圆M有公共点，当圆C与圆M外切，且时，r取得最小值.【详解】设的中点M，由，且可得，点P在以为直径的圆M上，且圆C与圆M有公共点，圆心到直线的距离为，当圆C与圆M外切，且时，r取得最小值故选：C.8.已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，，所以，，因为，所以，即，所以，又，所以，当且仅当时取等号，此时，所以，，，设平面的法向量为，所以，取，所以当取得最小值时，点Q到平面的距离.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据空间向量坐标表示得线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.【详解】对于A，由，，得，所以，所以，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，，则，故D错误.故选：BC.10.已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.圆的半径为12C.直线与圆恒有两个交点D.圆心到直线距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】将直线方程变形为，令，即可求出直线过定点坐标，即可判断A，根据圆的方程判断半径，从而判断B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断C、D.【详解】因为直线的方程为，即，令，解得，所以直线恒过定点，不妨设定点为，故A正确；圆的方程为，则圆心，半径，故B错误；因为，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点，故C正确；当且仅当时，圆心到直线距离的最大值为，故D正确.故选：ACD11.已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角为B.抛物线的方程为C.D.点在以线段为直径的圆上【答案】BCD【解析】【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D.【详解】如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义知，与全等，则，，，，，，则，直线的倾斜角为，故A错误；设直线与轴交于点，则，由上可知，，则为等腰直角三角形，，，得，所以抛物线方程为，故B正确；由上可知，直线方程为，设，，，，联立，整理得，则，，则，，故C正确；设线段的中点为，则，，，由上可知，则，又，点在以线段为直径的圆上，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，x，，则______.【答案】10【解析】【分析】根据α//β，由求解.【详解】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且α//β，所以，则，解得，所以，故答案为：1013.已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为______.【答案】【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，根据渐近线关于直线对称,且夹角为30°,得到渐近线斜率值，进而得到离心率乘积即可.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内直线下方;双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内直线上方，因为这两条渐近线关于直线对称,且夹角为，所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为,则离心率与渐近线斜率关系式为.故与的离心率之积为故答案为：.14.过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】作图，根据圆的切线的性质，设，则，根据点在圆上求出的范围，进而得到的范围，最终得到PQ的取值范围.【详解】圆的圆心为，半径为1，将圆化为，，半径为2，，点在圆上，，设与交于点，，，则，在中，，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切.（1）若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程；（2）求圆C的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式计算即可；（2）根据题意利用待定系数法求出即可.【小问1详解】由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为；【小问2详解】由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为.16.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，，，.（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）证明：M，C，G，H四点共面.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，得到方向向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可；（2）借助向量法，运用空间向量共面的基本定理验证即可.【小问1详解】连接，因为四边形为菱形，又，所以为等边三角形，取的中点E，连接，则，所以.因为平面，平面平面，所以以A为原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则由，可知所以于是故直线与直线所成角的余弦值为【小问2详解】证明：因为，所以分别为中点，则连接，则设，由（1）知则则解得所以故M，C，G，H四点共面.17.已知点在双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上，且的实轴长为（1）求双曲线的标准方程；（2）过点直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义及已知条件列出方程组来求解和.（2）利用三角形面积关系得到直线平行关系，进而得出直线方程，再通过联立直线方程与双曲线方程求解点的坐标.【小问1详解】由题设条件，可得，解得，故双曲线的标准方程为.【小问2详解】因为，所以点到直线的距离相等.又点位于轴下方，所以由（1）可知，所以，则直线的方程为联立整理得解得或.当时，点；当时，点，综上，点的坐标为或.18.如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且.（1）证明：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，根据数量积的运算律求出，进而可得为的中点，从而可证明，，再根据线面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得证；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】设，则，则，所以，因为为的中点，所以，，则，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】由，可得，则，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为m=x,y,z则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，解得，所以的长度为.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.19.已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”.（1）求“倒影椭圆”C的方程；（2）求“倒影椭圆”C的面积；（3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”的定义求解即可；（2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可；（3）先求出椭圆的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出线段的中垂线的方程，设的外接圆的圆心的坐标为，由这两条中垂线方程得出的关系，进而可得出结论.【小问1详解】设Mx,y由“倒影距离”的定义可知，，，由题意，即，所以“倒影椭圆”C的方程为；【小问2详解】由，得，当时，，当时，由对称性知，，其图象如图所示，故“倒影椭圆”C的面积；【小问3详解】由上图