“四点突破”在初中数学数形结合教学中的应用-以二次函数教学设计为例

[10].1.3创新点以及重难点1.3.1创新点=1\*Arabic1．教学设计时会结合“四点突破”，目前“四点突破”与二次函数结合起来的相关教学设计还没有，应用目前是很小的一部份.四点是指：学生学习的兴趣点，学习的重点，学习的难点，以及目标的达成点，由这四部分构成，在进行教学设计时会根据这四点设计.2.进行教学设计时，充分考虑教育心理学的知识，这也是一大创新点.根据相关心理学的知识再去安排相关的课程内容，有利于学生进行学习.3.设计相关的调查问卷，问题部分进行全新设计.针对数形结合以及“四点突破”的内容去设计针对教师的调查问卷，之后下放问卷并收集数据，再进行数据分析.1.3.2重难点=1\*Arabic1．重点首先进行教学设计，之后对教师了解四点突破的程度做了问卷调查，根据结论给出了几点教学思考.=2\*Arabic2．难点=1\*GB2⑴调查问卷的数据不够困难：数据不够多可能会导致结果的准确度不高.=2\*GB2⑵相关文献资料不全或者获取难度大困难：相关文献资料不全或者获取难度大，可能会导致结果不够准确.=3\*GB2⑶调查等时间和可提供的资源有限困难：可能会导进度缓慢或者不够完美.2数学思想以及心理学知识的相关概述2.1数学思想、数形结合的发展历史及相关概念数学思想的发展史可以追溯到古代文明时期.在古代，古埃及人、美索不达米亚人等和中国古代数学家都对此做出了重要贡献.古希腊是数学思想得到极大发展的地方，毕达哥拉斯学派的“毕达哥拉斯定理”以及欧几里德的几何学著作《几何原本》均对后世产生了深远的影响.这其中包含了很多数学思想，本文研究的关于二次函数的内容中，数学思想的运用亦是非常丰富的.数形结合的思想通俗易懂的来讲就是将“数”与“形”结合起来.毕达哥拉斯定理就是数形结合的一个杰出例子.同时，古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中系统整理了古希腊的几何学知识等以及他的几何公设，奠定了古典几何学的基本大框架.综上所述，数形结合的历史发展过程是不断丰富和发展的过程，它推动了数学的发展，并在现代数学中仍然发挥着重要的作用.数形结合在本文要研究的面积类压轴题中运用是十分广泛的，同时再加上“四点突破”的应用，解题过程将变得简单.2.2“四点突破”的相关概念我们这里所说的“四点突破”分别是指兴趣点、重点、难点、目标达成点.兴趣点：通过针对性的教学方法，吸引学生们一起研究和讨论，这样可以将学生的兴趣点抓住，使得学生的学习兴趣高涨.重点：抓住重点进行教学，有利于提高学生学习效率，课后的复习效率也会提高.当重点明晰后，根据布鲁纳的发现学习理论可知学生学习的知识结构就会更加清楚.难点：通过把握难点，学生可以对课程的难点更加用心的学习，学习效率会提高.根据科温顿的自我价值理论，难点的讨论一定要在学生可以接受的范围内去进行，让学生可以以积极的心态去学习.目标达成点：课程小结的内容就是学生要完成的目标，课程中的每一步都需要去解决，要确保最终目标可以完成.2.3建构主义数学教育理论基础我们这里所强调的建构主义数学教育理论是基于建构主义这一认识论框架发展起来的，它强调学习者在学习过程中的个体的主动性、创造性，以及建立有关个人知识体系的过程.在数学教育领域，这一理论有几个关键的基础：学习者中心：强调学习者是自己理解和知识构建的主体.学生不是空容器等待被填充的知识，而是通过自己的活动来理解和消化新的数学概念.意义构建：学生通过解决问题、探索概念、进行数学交流等活动来为数学概念建立意义.在进行二次函数相关题目的解答时就是如此.社会互动：学习是一个社会化的进程，因此在生活中与他人的交流和互动是必不可少的.在进行二次函数相关题目的解答时，通常会有思考讨论这样一个过程，亦即“社会互动”.知识发展：知识的发展是一段一段进行的，学生在不同的认知发展水平可能会以不同的方式理解相同的数学概念.在进行二次函数相关题目的解答时需要考虑学生可以达到的高度，在学生的最近发展区内进行调整.综上所述，在建构主义数学教育理念下，要引导学生能够主动的学习，自己可以支配自己的学习过程.这在教学设计中有所体现.2.4弗来登塔尔的数学教学理论数学学习环境：强调创建积极、鼓励和支持性的数学学习环境.这就要求教师在进行教学设计时要注意数学环境的有意创设，而且要注意与教学内容要相匹配.数学概念的建构：提倡学生以更具有主动性的方式来建构数学概念，而不是单纯地接受老师的传授.在教学设计时要注意让学生参与课堂，让学生更主动的思考.问题解决：数学教学应该侧重于教授解决问题的策略和方法，而不只是教授具体的数学概念和技巧.数学的真实性：主张教学应该让学生认识到数学在现实生活中应用的重要性，而不是仅仅停留在纸上的计算.这就要求教师在对一些知识进行讲解时要与实际生活联系起来.同时关于教授问题解决的具体策略和方法包括以下几点：探究性学习、启发式教学、合作学习、多样化的问题类型等.总的来说，弗莱登塔尔提倡以学生为中心的教学方法，在教学设计时要注意此方面的应用.2.5埃里克森的心理社会发展理论埃里克森的心理社会发展理论认为，人类一生中会经历八个心理社会危机，每个危机都对应着一个特定的发展阶段.这里主要介绍五个危机，分别是第一阶段：婴儿期（0-1岁）：对应的是信任与不信任.第二阶段：幼儿期（1-3岁）：自主与羞耻怀疑.第三个阶段是：学龄前期（3-6岁）：主动性与内疚感.第四个阶段是学龄期（6-12岁）：勤奋与自卑.第五个阶段：青春期（12-18岁）：同一性与角色混乱.本文所要探讨的学生正处在第五阶段，使他们在学习过程中能够摆脱角色的混乱是很重要的.埃里克森认为如果个体无法成功地应对危机，他们可能会发展出心理问题.教师在教学过程中要注意此类问题的产生，发挥积极因素、克服消极因素，让危机可以转化为机会.3二次函数教学设计3.1基于“四点突破”的二次函数的压轴题教学设计3.1.1教学目标1.理解三种解题方法，可以熟练的去解决相关问题.2.通过“四点突破”的方法，使学生对相关题目的解题方向有所把握，使得问题最终可以被解决.3.通过探究，使得学生的数学核心素养可以提升.3.1.2教学重难点教学重点：理解三种解答方法的解题方式，了解适用情形.教学难点：会运用三种解题方法解答问题.3.1.3教学过程1.复习旧知，引入新知：问题1:二次函数是什么?问题2:图象是什么?又有哪些性质?师生活动:老师进行提问，学生回答.设计意图:复习旧知识，对后续新知识的学习可以起到引导作用.图图SEQ图\*ARABIC1二次函数图像问题3:除了以上的内容，还有什么问题值得我们一起去研究呢?设计意图:可以将学生的思维能力提高，同时引起学生的兴趣.2.新知探究，归纳整理：面积类问题——面积的最值问题以如下问题为例讲解：如右图3-1：抛物线y=ax2+bx−3(a>0)，该抛物线与x轴交于A、B两点（且A在B的左侧），与y轴交于C（1）解析式是什么？（2）若点P为第四象限且在此抛物线上的一点，当∆PBC的面积达到最大时，请求出P点坐标.问题4：教师活动：教师带领学生阅读题目，把有用的数学信息提取出来，并请1-2位同学来回答.学生活动：小组交流后回答.教师活动：教师给学生一定的思考时间.学生活动：学生自主解决问题.设计意图：复习旧知识.问题5：（1）割补法：教师活动：教师指出观察坐标系中的所有三角形，发现∆0BC的面积容易求出；引导学生间接求出结果，适当进行提问.学生活动：学生小组讨论后派代表回答.教师活动：教师指出∆PBC和∆0BC可以合成一个四边形，同时该四边形也可以用∆OCP加∆OBP表示学生活动：学生自己动手解答.教师活动：教师指出设P点的横坐标为m，则纵坐标为m2设计意图：让学生意识到割补法也是解决问题常用的方法，当直接求解不好求时可以采用此方法.图图SEQ图\*ARABIC2二次函数图像（2）铅垂法：教师活动：教师引起学生在三角形内部探索的兴趣，同时引导学生过P点做x轴的垂线，与CB交于D点（在图3-2表示出来），并把∆PBC的面积用相关的三角形面积表示出来；同时给予学生一定的思考时间.学生活动：学生自由思考.教师活动：教师指出当两个三角形的底选择PD时方便表示面积，此时∆PBC的面积为∆DPC与学生活动：学生根据老师指导求解.教师活动：教师指出相关三角形的面积（如下），并给予学生一定的时间思考面积最大时的条件.学生活动：小组讨论并派代表回答，其余同学做补充.设计意图：引起同学们的兴趣，逐步探索，明确最终的目标即求出使DP长度最长时的P点坐标即可.（3）平行线法：教师活动：教师指出思考其他的解题方法.学生活动：学生进行思考，自由回答.教师活动：教师指出过P点做与BC平行的射线与x轴交于D点，与y轴交于E点，这样可以得到∆BCD，并让学生观察∆BCD和∆PBC的关系.学生活动:学生观察后自由回答.教师活动：教师指出当三角形的底都选BC时，两个三角形高的长度是相等的，则面积也相等，给与学生时间思考BD的长该如何表示，公式如下：学生活动：学生尝试表示BD的长.教师活动：教师指出BC平行于ED，则BC的斜率等于ED的，且已知B、C坐标，用两点法写出B、C点所在的直线解析式为y=x−3，则DE为y=x+b，并给予学生一定的时间思考解题的步骤.学生活动：学生尝试解答.教师活动：教师指出设P点的横坐标为m，则直线上对应的纵坐标为m+b，在曲线上对应的纵坐标为m2−2m−3，两者是相等的，则m2−2m−3=m+b，得y=b=m2−3m−3，则学生活动：学生回顾解题方法，总结解决此类问题的方法.设计意图：引起学生的兴趣.通过平行线的构造，可以快速得到三角形的高度，一步一步探究，明确最终求出m的最大值即可.图图SEQ图\*ARABIC3二次函数图像3.2面积最值问题解决方法——四点突破1.兴趣点当无法直接表示三角形的面积时，可以间接表示.这时可以采用“替换整体、去掉部分”的割补法；或者构造平行于x轴或者y轴的边，使用铅锤法；或者使用“同底等高”的平行线法，引起学生解决问题的兴趣.2.重点遇到不易表示的面积时，关键是要找到合适的方法表示面积，这时可以运用割补法、铅锤法，或平行线法，但要对自己的方法反复推敲，确保方法可实施.3.难点对于割补法：要找到正确的数量和字母去表示整体的面积以及割去的面积，两者相减即可；对于铅锤法：要注意分割后的面积一定要容易表示，一般铅锤的线要平行于x轴或者y轴；对于平行线法：做平行线时的方法要正确，同时要确保找到正确的转化三角形，再表示出面积等量即可.这里的数字及字母要准确，同时运算要准确.4.目标达成点通过运用割补法、铅锤法、或平行线法，可以简单的表示出要求的面积.4调查问卷研究分析4.1一般调查结果分析通过编写有关初中数学教师教学设计的调查问卷，并下放调查问卷至山西忻州某中学、陕西三原某中学、海南乐东某中学让其共118名初中数学教师填写.相关的调查问卷（调查问卷见附录一），并对收集结果（收集结果见附录二）进行分析.通过调查可知，对于设计教案时考虑学生兴趣点程度的占比，考虑很多占比最多为55.08%.对于考虑学生学习重点程度的占比，考虑很多占比最多为49.15%.对于考虑学生学习难点程度的占比，考虑很多占比最多为59.32%.对于考虑学生学习目标达成点程度的占比，考虑很多占比最多为56.78%.进行教学设计时认为自己考虑的是否全面的占比，考虑很多占比最多为55.08%.四点的重要性的占比，非常重要占比最多为42.37%.教学设计时涉及到学生之间相互讨论交流的环节的程度，会涉及占比最多为38.98%.对建构主义的数学教学理论的认识的程度，很了解占比最多为40.68%.对于弗莱登塔尔的数学教学相关理论认识程度，比较了解占比最多为57.63%.是否会将相关理论融入课程教学设计当中的程度，大部分会融入占比最多为60.71%.4.2调查问卷信度分析4.2.1分析步骤1.进行相关分析，如若数值在0.6-0.9之间，则调查问卷的信度是可以被接受的，如若在0.5以下则问卷需要重新编写.

2.进行深层次的分析，查看是哪些题目使得整体信度的下降，进而需要对一些题目进行修改或者剔除.4.2.2数据分析表SEQ表\*ARABIC1Cronbach'sα系数表Cronbach'sα系数标准化Cronbach'sα系数项数样本数0.9490.9510118图图SEQ图\*ARABIC4信度分析总结图图图SEQ图\*ARABIC5信度分析总结图Cronbach’sα是用来测量工具各项指标的内部一致性的，模型的数值为0.949，则说明其信度非常好，不需要再做修正处理，调查问卷收集的数据是可信的.4.3调查问卷效度分析4.3.1分析步骤1.进行KMO和Bartlett的相关检验，对于第一种检验，如若数值在0.6-0.9之间则可以做因子分析，0.5下则应该舍弃；对于第二种检验，如若显著性小于0.05，且拒绝原假的话，设则可以做因子分析，反之，则不适合.

2.对分析进行总结.4.3.2数据分析表SEQ表\*ARABIC2KMO和Bartlett的检验表KMO检验和Bartlett的检验KMO值0.955Bartlett球形度检验近似卡方909.359df45P0.000***注：表中的***、**、*分别代表1%、5%、10%的显著性水平.=1\*Arabic1．KMO的值为0.955，说明相关度很大.=2\*Arabic2．根据Bartlett球形的检验，显示显著性P值为0.000***，说明结论不是随机发生的，是受到一些因素的影响的，可进行因子分析.=3\*Arabic3．近似卡方值为909.359，表明的是样本量的大小.=4\*Arabic4．df自由度是用于估计方差的数据点数量.以上各个值都处于正常区间内，因子分析有效，程度为适合.4.4调查问卷结论通过spasspro的分析可知：该调查问卷的信度非常好，且程度为适合.通过问卷调查发现：在兴趣点方面，大部分的老师考虑的很多.但在现实教学中存在小部分的老师在进行教学设计时，对于学生兴趣点的引导并不到位.同时会发现教师在正常教学中很难把握兴趣点，这时候教师要明确兴趣点不仅仅来自课程本身，另一方面也来自课堂兴趣的引导，从而产生兴趣点.同时兴趣点一定是要针对所有学生，而不是针对个别学生.但要注意的是兴趣点不是考虑的越多越好，而是适度为最好.在重点方面，通过调查研究发现大部分教师对于重点的把握是有的.重点的重要性是不言而喻的，当重点准确的时候，学生的学习会更加简单，学习效率也会提高.在难点方面，通过调查研究发现大部分教师对于难点的把握是有的.难点的重要性是不言而喻的，当难点解决的时候，学生的学习效率会变高，对于知识的理解度也会提高.在目标达成点方面，通过调查研究发现大部分教师都注意到了.没有航行方向的船无法成功驶出，这就像没有目标的教学设计以及课堂注定是失败的，所以教学设计以及教学过程中要明确目标.在课堂讨论以及教学理论方面，教师的重视程度都很高.这就说明当代的教学除了重视知识的讲解之外，更要注重教学方法的应用，合理恰当的应用教学方法才能提高效率.通过调查研究分析的结果，提醒教师要更重视对学生兴趣点的引导，同时要加强重点及难点的把握，最终的目标达成点也要更明确.5结论与建议5.1结论在进行教学设计时教师要注意学生兴趣点的建立，兴趣点的建立将对教学产生重要的作用.其次教师不仅仅要明确整节课的重难点，也要明确题目的重点和难点，重点和难点要细化，但不要太过细化，点到为止即可，留给学生一些思考的空间.在目标达成点上，教师要明确课堂要达到的目标，同时也要细化每一道题目要达到的目标.同时要注意课堂的互动，适当的课堂互动会带来良好的教学效果.对于课堂总结，要做“精细化”的总结，这有利于学生掌握重要的知识，同时减轻一些负担.教师在进行教学设计时，要针对学生的兴趣做一个细致的规划，同时也要注意难点和重点的讲解，对于最终目标的达成也要更加注重.这就要求教师在教学实践中不断的丰富自己，磨练自己的教学技能，不断的成长.通过调查研究发现，大部分教师知道兴趣的重要性，但教学中的应用却是不成熟的，这点要引起注意.学生兴趣点的建立十分重要，在教学中许多教师也认为自己所考虑的兴趣点并不合理.这就需要教师不断的进行反省，更加深入的学习一些理论，学习之后要应用于教学中，对于教学也是一种深化.除此之外，重点、难点以及目标达成点也要注意起来，将这“四点”全部应用到教学中才能取得良好的教学效果.5.2建议根据以上结论与相应的教学理论知识，提出以下教学建议：对于兴趣点来说：根据新课程标准，教师要培养学生观察世界、思考世界以及描述世界的能力，这也是兴趣点的来源.教师要做的是引导学生在日常的生活中找到与数学的连接点，连接点亦即兴趣点.对于重点来说：在进行教学设计以及课堂教学时，要将“重点”思想贯彻始终，这也是学生检验自己课堂效率的重要指标，同时重点的精确性要把握清楚.对于难点来说：在进行教学设计以及课堂教学时，要将难点内容重点指出，使学生能够做好心理准备，使学生在学习难点时可以更加细心，这样可以提升教学以及学习的效率.对于目标达成点：在进行教学目标的设计时，要考虑现实的情况，以及新课标的要求再进行设计.目标的达成是衡量课堂效率的重要指标，要引起注意.以上的内容就是根据结论以及相关理论做出的教学建议.参考文献武俊英.数形结合思想在初中数学教学中的实践研究[D].陕西:陕西师范大学,2015.李国敬.数形结合在初中数学教学实践中运用的研究[D].河南:河南大学,2015.吴耀耀.基于新课程标准下中学数学“数形结合”的教与学[D].宁夏:宁夏师范学院,2016.冉红芬.“四点突破”理念在初中数学数形结合教学中的应用——以《反比例函数的几何意义》教学设计为例[J].黔南民族师范学院学报,2017,37(04):120-124.高亚如.数形结合思想方法在初中数学教学中的应用研究[D].聊城:聊城大学,2018.冉红芬，张瑛.基于“四点突破”范式的初中数学方程教学[J].黔南民族师范学院学报,2018,38(04):114-117.罗绂智.“四点突破”教学理念下的课堂教学——《数轴》课堂实录与反思[J].科学咨询(科技·管理),2018,(10):123-124.莫衍.关于“四点突破”教学的初探[J].科学咨询(科技·管理),2018,(10):131.李淑华.数形结合在初中数学教学中的应用分析[J].科学大众(科学教育),2019,(11):33.YanJ，ZhengJ.TheApplicationoftheCombinationofNumberandShapeintheProcessofMathematicsLearning[J].InternationalJo