与圆有关的最值问题 教学设计

与圆有关的最值问题一、学习目标：认识圆的代数特征和几何特征，能利用这些特征解决一些与圆有关的最值问题，提高直观想象、逻辑推理核心素养．二、教学过程（一）认识圆：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹．在平面直角坐标系下，以C（a,b）为圆心，半径为R的圆C的方程是：（二）解题思路与策略与圆有关的最值问题主要涉及一些几何量，例如距离、面积、角度等；圆的核心要素是圆心、半径．通常利用圆的对称性这个特征解决问题．我们应该从哪里开始研究呢？可以从几何元素中的点、线的关系入手，得到以下的研究思路：1.点点关系；2.点线关系．（三）例题讲解例题、已知圆C：，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．则｜OQ｜的最大值为____，最小值为_______．这是点点关系问题．解：如图，Q在圆上运动，可以发现，当OQ所在直线经过圆心C时，Q的两个不同位置分别使｜OQ｜取到最大值和最小值．圆的半径R为2，｜OQ｜最大值为｜OC｜+R=3+2=5,｜OQ｜最小值为｜OC｜-R=3-2=1．答案：5，1．本例的第（1）问研究了点点关系，是圆上的动点到圆外的定点的距离的最值问题．改变本例（1）的条件，你还能提出什么问题？问题变式1：求圆上的动点到圆内的一定点的距离的最值问题；（“外”改为“内”）问题变式2：求圆上的动点到圆外的定直线的距离的最值问题；（“定点”改为“定直线”）这就是接下来要研究的点线关系．（2）若直线m:3x-4y+12=0，则Q到直线m的距离的最小值是______．解：如图，直线在圆外，过Q作直线m的垂线，垂足为P，则Q到直线m的距离为｜PQ｜．（2）若直线m:3x-4y+12=0，则Q到直线m的距离的最小值是______．解：当Q在圆上运动时，可以发现，PQ所以直线经过圆心C且Q位于P、C之间时，｜PQ｜有最小值．因为C到直线m的距离d=,所以｜PQ｜的最小值是d-R=．你会求｜PQ｜的最大值吗？｜PQ｜的最大值是d+R=．第（2）小题，求的是圆上的动点到定直线的距离的最值问题，本质上是垂线段的长度最值问题；如果让两个点都动起来，就得到以下的第（3）题．（3）若P在直线m:3x-4y+12=0上，则|PQ|的最小值是______．分析：P是直线上的动点，Q是圆上的动点，如何解决双动点问题呢？思路是：先暂时让其中一个点固定下来，考虑另一个点运动的情况，把双动点问题转化为单动点问题来研究．方法一：P固定，Q动；Q运动到哪，｜PQ｜有最小值呢？我们发现，PQ所在直线经过圆心，并且Q在P和C之间时，|PQ|有最小值；那么无论P在什么位置，|PQ|的最小值必等于|PC|-R=|PC|-2．接下来只要求|PC|的最小值就行．那么P在什么位置时，PC有最小值；由前面所学可知，这已经不难了当PC垂直于直线m时，|PC|有最小值d=．从而|PQ|的最小值为．答案：．方法二：Q固定，P动；可以发现，当P在直线上运动时，当且仅当PQ垂直于直线m时，PQ有最小值；此最小值就是点Q到直线m的距离．可以发现，PQ最小值就是点Q到直线m的距离．现在让Q运动起来，当PQ过圆心且Q位于P、C之间时，PQ取到最小值．通过本例题（3）的学习，有以下几点启发：双动点的距离问题，可以通过暂时固定其中一个动点，把问题转化为单动点距离问题；单动点距离问题，又有以下两种类型动点在直线上，定点在直线外，则这两点的距离最小值是定点到直线的距离；动点在圆上，定点在圆外，则这两点的距离最小值为定点到圆心的距离减去半径．变式训练：已知圆C：，O为坐标原点；Q是圆C上的一点．P(１,3),H(0,t),当|PH|+|HQ|取最小值时，求t的值．分析：H、Q都是动点，以属于双动点问题；先让哪一个动点固定呢？其实让H或者Q固定都可以解决.解：先固定H，当Q运动时，|PH|是常数，|PH|+|HQ|最小值为|PH|+|HC|-2；在这种规律下，再让点H运动起来，问题转化为H在哪个位置，|PH|+|HC|有最小值的问题；这个问题就是指，在y轴上找一点H，使到|PH|+|HC|取最小值的问题，其中点P，C都是定点．这时，就可以用“将军饮马”来解决，取P点关于y轴对称点G(-1,3),则|PH|+|HC|=|GH|+|HC|，当且仅当G、H、C三点共线时，|GH|+|HC|有最小值，此时，由G、C的坐标可得直线GC的方程：GC与y轴的交点为（０，），所以，t=.通过第（3）题的学习，你还能提出什么新问题吗？例如由P所作的圆C的两条切线所引起的第（4）小题：（4）过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B,则四边形PACB面积的最小值______．分析：首先，考虑如何表示四边形PACB的面积，它可以表示为两个三角形的面积之和；其次，，而|AC|等于半径2，问题转化为求PA的长的最小值问题．解：连接PC，则△PAC≌△PBC；因为∠PAC为直角，所以|PC|最小值为．代入上式得，四边形PACB的面积的最小值为本例中，通过把四边形的面积问题，转化为最基本的三角形面积问题，再进一步转化为切线长问题，利用勾股定理，最后问题转化为圆心到直线的距离问题．如果让P固定下来，Q在圆上运动，你能提出除距离、面积以外的其它问题吗？（5）若P（0，3），则当∠OPQ取最大值和最小值时，PQ的斜率分别是____，______．分析：由图可知，当且仅当PQ是圆C的切线时，∠OPQ取到最值．解：设直线PQ的方程为y=kx+3,当直线PQ与圆C相切时，∠OPQ取到最值．．答案：，．除距离、面积、角度这些明显几何意义的问题外，有时也会碰到以下问题：(6)设Q（x,y）,则的最大值和最小值分别是_______，________．分析：与前面的题不同，本题不是求距离、面积、角度等几何量，该如何解决呢？其实，所求式的结构就是我们学过的斜率公式；因此，令k=,则k=，表示的是圆上的点Q（x,y）和点H（-2，-2）连线的斜率．由图可知，当直线HQ与圆C相切时，得到的两条切线对应的斜率分别为k的最大值和最小值．解：令k=,则k=，表示的是圆上的点Q（x,y）和点H（-2，-2）连线的斜率．直线HQ的方程为：y+2=k(x+2)与圆C相切，则圆心C到直线HQ的距离等于半径2，即．答案:，0．思考：如果把题目改为求该怎么办呢？可看作Q到原点O的距离，不难解决；难在y-x的处理．它是关于x,y的二元一次式，联想到关于x,y的二元一次方程表示直线，设所求为b,则b=y−x，得到yb理解为当直线l:y=显然当圆与直线相切时，直线l在y轴上的截距b取到最大值与最小值，如图直线l2对应的b2为最大值，直线l1对应的b1为最小值，由圆心C到直线答案：，小结一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a，b)的距离平方的最值问题．赋给一些代数式子几何意义，可以方便我们用数形结合的方法来解决问题．课堂总结：处理与圆有关的最值问题，主要是利用数形结合，把问题转化为有明显几何意义的问题进行解决；几何方式呈现的问题：几何方式呈现的问题：距离、面积、角度问题利用数形结合思想解决的问题代数方式呈现的问题斜率、截距、距离（平方）赋代数式子几何意义【巩固练习】1．点M(0,1)与圆x2+A．2 B．2 C．2+1 D．答案D解析圆x2+y圆心为C(1,0)，半径为r=1所以|MC|=(1−0)所以点M与圆上的动点P之间的最近距离为MC−r=故选：D．2．已知O为坐标原点，P为⊙C：x−a2+y−12=2(a>0)上的动点，直线l：x+y−1=0，若P到lA．2 B．4 C．6 D．8答案C解析圆⊙C：x−a2+y−12=2(a>0)圆心到直线l：x+y−1=0的距离d=|a+1−1|要使P到l的最小距离为22，则|a+1−1|2=3又a>0，∴a=6．故选：C．3．已知点A(−2,0),B(0,2)，若点P在圆x−32+y+12=2答案4解析∵点A(−2,0),B(0,2)，若点P在圆x−32∴AB的直线方程为x−2+y圆心C(3,－1)到直线AB的距离为d=|3+1+2|则△ABP面积的最小值为12故答案为：4．4．由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接CA．在中，．要使最小，则应最小．又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为．故选：A5．(多选)若实数x,y满足条件