数列在概率中的应用 教学设计

数列在概率中的应用（正课）教学目标1.结合数列的知识，会运用全概率公式、概率的乘法公式计算复杂事件的概率；2.通过解决与概率有关的实际问题，强化数学建模意识，进一步提升学生数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养.二、教学重难点1.教学重点：结合数列的知识，运用全概率公式、概率的乘法公式计算复杂事件的概率；2.教学难点：通过分析概率的实际问题，建立之间的递推关系.三、教学过程环节一：复习引入问题：前面我们学习了概率的乘法公式、全概率公式，请大家回顾一下相关的知识.1.概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.2.全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.图形：设计意图：通过复习全概率公式和概率的乘法公式两个重要知识点，为后面计算复杂的概率做好知识准备.环节二：典例精讲例1甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人．求次传球后球在甲手中的概率．解：设表示事件第次传球后球在甲手中，事件的概率为，即.则事件表示第次传球后球在乙或在丙手中，其概率为.依题意可得，第次传球后球在甲手中，包括两种情况：①第次传球后球在甲手中；②第次传球后球在乙或在丙手中.则，.由，，，.是以为首项公比为的等比数列.，解得.设计意图：根据最近发展区的理论，从教材的传球模型出发，理解计算跟正整数相关的概率问题，关键利用全概率公式找到递推关系，再用数列的方法加以解决.环节三：巩固提高例2甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．解：(1)记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，.(2)设，依题可知，，则，即，即构造等比数列，设，即，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．（3）设表示第次是甲投篮的次数，可能的值为0，1，根据题意的分布列为01则,因为，，所以当时，，故．设计意图：以2023年全国新高考题为背景，从第一问特殊情况出发，得到第二问的一般情况，遵循从特殊到一般思想方法，加深巩固运用全概率公式得到递推关系，再利用数列递推公式求数列通项.例3一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站（获胜）或第站（失败）时，游戏结束．（1）求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；（2）求证：为等比数列；（3）求玩该游戏获胜的概率．解：（1）棋子开始在第站是必然事件，所以，棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以；棋子跳到第站，包括两种情形：①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以；棋子跳到第站，包括两种情形：①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点.设事件表示棋子跳到第站，，根据全概率公式得因为，，故，棋子跳到站只有一种情况，棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为，所以，.（2）证明：由（1）可得且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.（3）由（2）可知，所以，.所以，玩该游戏获胜的概率为.设计意图：进一步加强学生从实际问题中提取关键信息能力,通过构造概率之间的递推关系,这是二阶递推关系类型，借助二阶递推公式证明一个新数列为等比数列，再用累加法求出通项公式，巩固提升本节课知识.环节四：归纳总结数列与概率的综合应用问题，多以概率求解为主线，通过建立关于概率的递推关系，以数列知识为工具解决问题，具体的基本步骤：（1）审清题意，理解题目中研究对象、试验或游戏规则等；（2）精准定性，明确所求概率的事件属性，并合理假设事件；（3）准确建模，通过概率的求解（一般用全概率公式和乘法公式），建立递推关系；（4）解决模型，用数列递推求通项公式的方法解决问题