四川省眉山市仁寿第一中学校北校区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

仁寿一中北校区2022级高二上期末考试数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.4.若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（）A. B. C. D.5.若等轴双曲线过点，则双曲线的顶点到其渐近线的距离为（）A.1 B. C. D.26.已知空间直角坐标系中的点，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.7.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（）A.1125块 B.1134块 C.1143块 D.1152块8.椭圆具有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点，已知椭圆，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（）A.是a，b，c成等差数列的充要条件B.是a，b，c成等比数列的充要条件C.若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列D.若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列10.下列说法中正确的是（）A.方程表示的曲线是圆B.椭圆的长轴长为2，短轴长为C.双曲线的渐近线方程为D.抛物线的准线方程是11.如图，三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，D，E，F，G分别为，，，的中点，下列结论正确的是（）A. B.C.异面直线与所成角为 D.直线与平面所成角的正弦值为12.已知曲线，直线，点为曲线上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点B.当时，直线被曲线截得的弦长为C.若直线与曲线有两个交点，则的范围为D.当时，点到直线距离的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，且，则_______.14.甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是_______.15.如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度为6米，拱高（圆拱最高点到水面的距离）为1米，旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_______米.16.一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格.记跳到第n格可能有种情况，的前项和为，则_______.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求等差数列的首项和公差d；（2）求证：数列是等差数列，并求出其前项和.18.已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线l与圆相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程.19.为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为，乙教师晋级决赛的概率为a.若甲、乙能进入决赛，在决赛中甲、乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲、乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.（1）若甲、乙有且只有一人能晋级决赛的概率为，求的值：（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.20.世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美，譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等.在中，，.将绕着旋转到的位置，如图所示.（1）求证：；（2）当三棱锥体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值.21.已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上.（1）求抛物线的方程：（2）是抛物线上横坐标为的点，过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于A，B两点，证明：直线恒经过某一定点，并求出该定点的坐标.22.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程：（2）设A、B分别为双曲线的左、右顶点，若过点的直线交双曲线的右支于M、N两点，设直线、的斜率分别为、，是否存在实数使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.

仁寿一中北校区高二上期末考试数学试卷参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.B3.B4.C5.A6.D7.B8.D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.AC10.CD11.ABD12.BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.14.15.816.87四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.【小问1解析】解：由题意可得，解得.【小问2解析】证明：由（1）可知，所以，故.当时，；当时，，因此数列是等差数列，首项为1，公差为.所以等差数列的前项和.18.【小问1解析】由题意，设圆心，由于圆与轴相切.半径，所以设圆方程为，又圆过点，，解得，圆方程为.【小问2解析】由圆方程易知直线的斜率存在，故设，即，设到的距离为，则，为直角三角形，，，或，故直线得方程为或.19.【小问1解析】设事件A表示“甲在初赛中晋级”，事件表示“乙在初赛中晋级”，由题意可知，，解得.【小问2解析】设事件为“甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”，为“甲能参加市级比赛”，为“乙能参加市级比赛”，则，，所以.20.【小问1解析】取的中点，连接，，由题意可知，，所以，；因为，，平面，所以平面；因为平面，所以.【小问2解析】由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面；在平面内作出，且与的延长线交于点，连接；因为平面平面，平面平面，，所以平面；根据旋转图形的特点可知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为，，所以，；，，，；，.设平面的一个法向量为，则，，令，则；易知平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则.所以平面和平面的夹角的余弦值为.21.【小问1解析】解：由已知得，设，则中点为，、关于直线对称，点在直线上，，解得，即.又由，得直线的斜率，，解得，.【小问2解析】证明：设直线