八省八校2025届高三12月联合测评数学试题（含答案）

八省八校2025届高三12月联合测评数学试题考试时间:2024年12月12日15:00-17:00试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|ln(x--1)≤0},B={x|0≤2x--1≤2},则A∪B=A.{x|1＜x≤32}B.{xC.x|12≤x≤22.已知复数z满足(1-i)z=4+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知变量x和变量y的一组成对样本数据为((xᵢ,yᵢ)(i=1,2,3,…,8),其中x=98,其回归直线方程为y=2x−14,当增加两个样本数据(一1，5)和(2，A.-3B.-2C.-1D.14.若正整数a，b满足等式2023²⁰²⁵=2024a+b,,且b＜2024,则b=A.1B.2C.2022D.20235.已知a,b均为非零向量,其夹角为θ,则“cosθ=1”是“|a-b|=|a|--|b|”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知等比数列{an}满足1a1+1a2+A.78B.74C.72数学试题第1页共4页7.已知直线l经过抛物线C:y²=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得OP=OA+OB成立的点P的横坐标为3A.25B.35C.45D.58.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=CA=CB=2,∠APB=∠ACB=π2,E,F,G分别为PA,PB,PC上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥P-ABC的四个面均相切，且小球同时还与平面EFGA.6+2C.13+1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是A.若x＞0,则2xx2+1≤1B.若x＞y＞0,C.若xy≠0且x＜y,则1x＞1yD.若x＞y＞0,则10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,0＜φ＜2π)的部分图象如图所示,则A.f(x)在区间−πB.f(x)图象的一条对称轴方程为x=C.f(x)图象的一个对称中心为点11πD.f(x)在区间0π4上的值域为[111.甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点C₁出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径(C₁→B₁→A₁→A→C..若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有A.若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点C₁B.经过4次移动后仍在点C₁的概率为19C.若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点C₁有5条不同笔迹D.经过3次移动后，到达点A₁的条件下经过点C的概率为1数学试题第2页共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a0,b＞013.某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X~N(98，σ²)，对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间(96，100)的个数，则随机变量Y的方差是.14.已知函数fx=aˣ⁻¹−logₐx−1(其中a＞0四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为(a,b,c,且1(1)判断△ABC的形状;(2)设AB=2,且D是边BC的中点,求当∠CAD最大时△ABC的面积.16.(本小题满分15分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,AP=AD=2AB=4BC.(1)求证:平面PAC⊥平面PBD;(2)AM⊥平面PCD于点M,求二面角M-AD-P的余弦值.17.(本小题满分15分)设函数f(1)讨论函数f(x)在区间[0,π]上的单调性;(2)判断并证明函数y=f(x)在区间π2数学试题第3页共4页18.(本小题满分17分)已知过A(-1，0)，B(1，0)两点的动抛物线的准线始终与圆x²+y²=9相切，该抛物线焦点(1)求曲线E的标准方程；(2)已知点C(-3,0),D(2,0),过点D的动直线与曲线E交于M,N两点,设△CMN的外心为Q，O为坐标原点，问：直线OQ与直线MN19.(本小题满分17分)n为不小于3的正整数，对整数数列S0①将a₁,a₂,…,an中的a₁减1,a₂加1,其余项不变,称此变换为对a1,a2,⋯,a②取i∈2⋯n−1,将a③将a1,a2,⋯,an中的an将数列S。做一次变换得到S₁，将数列S₁做一次变换得到S例如:n=4时,对数列S₀:0,—1,1,0依次做A₃,A₄变换,意义如下:先对S₀做A₃变换得到数列S₁:0,0,−1,(1)n=5时,给定数列S₀:0,-1,1,0,0,求证:可以对S₀做若干次变换得到数列0,0,0,0,0;(2)n=5时，求证：对任意整数数列S₀:a₁,a(3)若将变换①中的a₂改为a₃，将变换③中的(an₋₁改为an₋₂,在n=10时，求证：对任意整数数列S0:a1,2025届高三部分重点中学12月联合测评数学试题参考答案及多维细目表题号123456答案cDBDCA题号7891011答案ABADABCBCD12.【答案】813.【答案】4514.【答案】[c⁻ˣ,1)15.解：(1)由二倍角公式得sinsinB2+∴整理得sin即sinA2−∵A,B∈0π,∴A2−B(其他方法酌情给分)(2)由(1)及题设,有AC=BC=2CD,∴===≥=32,∴∠CAD≤π6即∠CAD的最大值为π/6，此时由ADAC=32可得△ACD为直角三角形，又由(1)可得△ABC为正三角形,∴△ABC的面积S=3416.解:(1)在Rt△ABC和Rt△ABD中,tan∠BAC=BCAB=12,tan∠又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD.又AC,PA⊂平面PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD.∴平面PAC⊥平面PBD.………………7分(2)∵AB,AD,AP两两互相垂直,∴分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,≈轴建立空间直角坐标系.不妨设BC=1,则A(0,0,0),C(2,1,0),D(0,4,0),P(0,0,4),∴∵点M在平面PCD内,∴设PM则AM=AP+xPC+yPD=00.4+x(2,1,--4)+y(0,4,--………………9分∵AM⊥平面PCD.∴AM⊥PC,AM⊥PD.解得x∴AM=24………………12分∴点M到平面PAD的距离d1=2417,点M到棱AD设二面角M-AD-P大小为θ,则sinθ=∴即二面角M-AD-P的余弦值为21313.17.解:1f'x=cosx当0＜x＜π2时即此时函数f(x)在区间0π2上单调递增；………当π2＜x从而f即此时函数f(x)在区间π2∴综上所述，函数f(x)在区间0π2上单调递增，在区间π22fπ2=1＞0,又f∴函数f(x)在区间π2π上存在唯一的零点.………………当x∈π3π2时，记.从而g且此时sin∴g'(x)＞0,g(x)=f'(x)在区间π3πgπ=−1＜0,g3π2=π＞0,∴存在x。∈π3π2,使得g(x₀)=0,…11分且x∈(x∈x03πf(x)在区间x03π2∴由fπ=−π2+1＜0即函数f(x)在区间(π,x₀)上无零点;而由f即函数f(x)在区间x0∴函数f(x)在区间π23π2……15分18.解：(1)由题意知抛物线的焦点P到两定点A，B的距离之和等于点A，B到抛物线的准线的距离之和，等于AB的中点O到准线的距离的2倍，即等于圆x²+y²=∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=2,∴点P在以A,B为焦点的椭圆E上,…3分设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1ab＞0),则2a=6,2c=2,∴a∴曲线E的标准方程为x29+(2)设直线MN:x=my+2(m≠0),由∴设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则y₁+yCM的中点坐标为x1−3CM的垂直平分线的斜率为−x1+3y1⋯10分∴CM的垂直平分线方程为由x129∴CM的垂直平分线方程为y=−my1+同理CN的垂直平分线方程为y=−my2+设点Q(x₀,y₀),则y₁,y₂是方程y即y²+16mx₀+16y₀y+80x₀=0相除得−mx0−∴即直线OQ与MN的斜率之积为定值-5.………17分(其他方法酌情给分)19.解:(1)对数列S。依次做A₃,A₄,A₅变换即可.(2)首先,若对数列S₀:u₁,u₂,a₃,a₁,a₅依次做A;+₁,A;+₂,…,A₅(i∈{1,2,3,4})变换,得到的数列a₁加1.a₁+₁减1,其余项不变;若对数列中S₀:a₁,a₂,a₃,a₁,a₅依次做A₁,A,-₁,…,A₁(i∈{1,2,3,4})变换,得到的数列中a,减1,a,+1加1,其余项不变.………7分∴可以通过若干次变换使得相邻两数一个加1.另一个减1，∴可以通过若干次变换使得第一项变为0，第二项变为a₁+a₂.同样的可以通过若干次变换分别使得a₂，a₃，a₁均变为0,此时即为0,0,0,0,0.……10分(3)记此时的变换①为B₁,变换③为B₁₀.首先，记T₁=a₁+a₃+a₅+a₇+a₉,T₂=a₂+a₁+a₀+a₈+a₁₀,每次变换使得T₁的值加2或减2或不变，故可以经过若干次变换使得T₁=0.此时T₂=0;其次,对任意数列S₀:a₁,a₂,…,a₁₀依次做A,-₁,A,,A,,A,+₁变换,其中j∈{3.4,…,8},得到的数列中a，减2,a;-2,a,+2均加1，其余项不变，记此变换为B，，依次做A₈，A₉，A₁₀变换，得到的数列中a₉减1.a₇加1，其余项不变，记此变换为B₉，此时B₁,B₃,B₅,B₇,B₉只变换a₁,a₃,a₅,a₇,a₉,且对a₁,a₃,as,a₃,a₉规则同第(2)问,且T₁=0,……………15分∴由(2)知可以对S。做若干次变换，得到的数列中a₁=a₃=a₅=a₇=a₉=0.同理可以再对S。做若干次变换，得到的数列中a₂=a₁=a₆=a₈=a₁₀=0,则此时得到数列0.(其他方法酌情给分)多维细目表题型题号分值必备知识学科素养预估难度数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析易中难选择题15集合与简易逻辑✔✔选择题25复数✔✔选择题35统计与概率✔✔选择题45二项式定理✔✔✔选择题55平面向量✔✔✔选择题65等比