时间序列分析课件

§3.3

时间序列分析3.3时间序列分析教学要求时间序列分析的基本原理趋势拟合方法

平滑法趋势线法自回归模型季节变动预测移动平均法滑动平均法3.3时间序列分析一、时间序列分析的基本原理（一）时间序列的概念时间序列时间序列的图示方法编制时间序列的意义3.3时间序列分析重要概念

时间序列，是要素（变量）的数据按照时间顺序变动排列而形成的一种数列，它反映了要素（变量）随时间变化的发展过程。时间序列（Timeseries）:在连续时点或连续时期上测量的观测值的集合。(补充)

地理过程的时间序列分析，就是通过分析地理要素（变量）随时间变化的历史过程，揭示其发展变化规律，并对其未来状态进行预测。

3.3时间序列分析年份国内生产总值（亿元）年份国内生产总值（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7时间数列的要素之一：时间t时间数列的要素之二：变量a时间序列的要素3.3时间序列分析时间数列的图示方法3.3时间序列分析编制时间数列的意义3.3时间序列分析经济周期:循环性变动繁荣拐点繁荣拐点衰退拐点萧条拐点复苏拐点3.3时间序列分析（二）时间序列的组合成份长期趋势（T）是指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少的长期变化的趋势。季节变动（S）是指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出的固定规则的变动。循环变动（C）是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景气循环变动(businesscyclemovement)。不规则变动（I）是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的变动。

3.3时间序列分析循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）长期趋势T（Trend）3.3时间序列分析（三）时间序列的组合模型

加法模型

假定时间序列是基于4种成份相加而成的。长期趋势并不影响季节变动。若以Y表示时间序列，则加法模型为Y=T+S+C+I乘法模型假定时间序列是基于4种成份相乘而成的。假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为

（3.3.1）

（3.3.2）

3.3时间序列分析二、趋势拟合方法(长期趋势分析)(一)平滑法(二)趋势线拟合法(三)自回归模型3.3时间序列分析（一）平滑法

时间序列分析的平滑法主要有三类：移动平均法设某一时间序列为y1，y2，…，yt，则t+1时刻的预测值为式中:为t点的移动平均值;n称为移动时距。

（3.3.3）

3.3时间序列分析

滑动平均法

其计算公式为

式中:为t点的滑动平均值;l为单侧平滑时距。若l=1，则（3.3.4）式称为三点滑动平均，其计算公式为

若l=2，则（3.3.4）式称为五点滑动平均，其计算公式为

（3.3.4）

（3.3.5）

（3.3.6）

3.3时间序列分析

通过平均每一个连续数列值来修匀时间数列的方法。移动/滑动平均法的概念三项滑动平均线3.3时间序列分析移动平均法的计算奇数项移动偶数项移动原数列移动平均新数列原数列移动平均新数列3.3时间序列分析滑动平均法的计算奇数项移动偶数项移动原数列滑动平均新数列原数列滑动平均移正平均新数列3.3时间序列分析原数列三项滑动平均五项滑动平均四项滑动平均3.3时间序列分析例题1表3.3.1给出了中国1990～1999年的农业总产值，试用移动平均法和滑动平均法分析其变化趋势。移动平均法滑动平均法三点移动五点移动三点滑动五点滑动------------------8301.26---------9412.4710329.968301.26---11943.5712865.729412.47---15695.6315705.0611943.5710329.9619481.7018645.815695.6312865.7222161.0021355.0819481.7015705.0623561.3323108.822161.0018645.824283.13---23561.3321355.08------23108.8---------序号年份农业总产值119907662.1219918157.0319929084.74199310995.55199415750.56199520340.97199622353.78199723788.49199824541.910199924519.111200024283.13.3时间序列分析3.3时间序列分析使用移动/滑动平均法应注意的问题：平滑修匀数列；对于季节性数列，要采用4项或12项移动/滑动平均，方可平滑掉其季节波动；一般的移动平均方法使原数列首尾各去除了若干项，因此不能用于外推预测；当数列没有明显的长期趋势、季节变动和循环变动时，可以用此法进行预测。3.3时间序列分析指数平滑法

①

一次指数平滑

α为平滑系数。一般时间序列较平稳，α取值可小一些，一般取α∈（0.05,0.3）；若时间序列数据起伏波动比较大，则α应取较大的值，一般取α∈（0.7,0.95）。

（3.3.7）

3.3时间序列分析

②

高次指数平滑法一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到能够跨期预测的高次指数平滑法。令为一次指数平滑值，即

（3.3.4）（3.3.8）（3.3.9）▲二次指数平滑法的预测公式为

对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即（3.3.5）（3.3.6）在（3.3.6）式中，T代表从基期t到预测期的期数，

（3.3.7）3.3时间序列分析对二次指数平滑再作一次指数平滑，可得三次指数平滑公式

▲三次指数平滑法的预测公式为

式中，

（3.3.9）（3.3.10）（3.3.11）（3.3.12）3.3时间序列分析例2：某城市近6年（1994～1999年）用水量（106t）数据如表3.3.2所示。试用指数平滑法预测该城市2000年的用水量。年份199419951996199719981999用水量211.30260.18209.10248.79241.00250.003.3时间序列分析解：取α=0.5，将表3.3.2中的数据代入公式（3.3.7）计算：

=240.85（106t）预测结果表明，到2000年该城市的用水数量将达到240.85（106t）。3.3时间序列分析

趋势线拟合法：用某种趋势线（直线或曲线）来对原数列的长期趋势进行拟合。其主要作用是进行外推预测。直线趋势方程：曲线趋势方程：（二）趋势线法3.3时间序列分析趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型计算待定参数利用方程预测3.3时间序列分析判断趋势类型绘制散点图分析数据特征当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程。当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程。3.3时间序列分析tyi一阶差分yi-yi-11234

na+ba+2ba+3ba+4b

a+nbbbb

b3.3时间序列分析tyi一阶差分二阶差分1234

na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16c

a+nb+n2cb+3cb+5cb+7c

b+(2n-1)c2c2c

2c3.3时间序列分析tyiyi/yi-11234

nabab2ab3ab4

abnbbb

b3.3时间序列分析用最小二乘法求

a、b

的公式：直线趋势方程参数的计算3.3时间序列分析自相关性判断

①时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。

②测度:设y1，y2，…，yt，…，yn，共有n个观察值。把前后相邻两期的观察值一一成对，便有（n－1）对数据，即(y1，y2)，(y2，y3)，…，(yt，yt+1)，…，(yn-1，yn)。（三）自回归模型3.3时间序列分析其一阶自相关系数r1为二阶自相关系数r2为3.3时间序列分析k阶自相关系数为

3.3时间序列分析自回归模型的建立

常见的线性自回归模型：①一阶线性自回归预测模型为②二阶线性自回归预测模型为③一般地，p阶线性自回归模型为在以上各式中，为待估计的参数值，它们可以通过最小二乘法估计获得。3.3时间序列分析例3：

某地区1988～1999年12年自然灾害造成的成灾面积（102hm2）的时间序列数据见表3.3.9。试计算该时间序列的自相关系数r1和r2，并用自回归模型预测2000年的成灾面积。yt+15253535556585960616162--年份198819891990199119921993199419951996199719981999序号123456789101112成灾面积505253535656585960616162yt+253535556585960616162----3.3时间序列分析解：将表3.3.9中的数据代入公式（3.3.16）和（3.3.17）计算：

3.3时间序列分析说明：自由度f=11-2=9，在置信度水平α=0.001下查相关系数的临界值检验表得r0.001=0.8471，显然r1>r0.001。这表明一阶自相关系数r1具有高度的显著性。进一步检验发现，二阶自相关系数r2也是高度显著的。所以，对于该序列可以建立线性自回归模型。由于r1>r2，故可以建立一阶线性自回归预测模型。用最小二乘法估计模型参数，得到如下回归模型：

运用该模型进行预测计算：3.3时间序列分析三、季节变动预测㈠季节变动的概念㈡季节变动预测具体步骤3.3时间序列分析

季节变动（Seasonal）：一年之内因纯季节原因造成的数列的波动，以及与季节无关的类似的变动。饮料的生产量及销售量在一年内的变化蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期……季节变动的概念3.3时间序列分析测量季节变动的意义3.3时间序列分析趋势剔除法的基本过程趋势剔除法的假设模型第一步，使用移动(滑动)平均法产生新数列。第二步，用原数列各值与新数列各值相除，得到相对数数列。第三步，计算相对数数列的平均水平。3.3时间序列分析季节性预测法的具体步骤

（1）对原时间序列求移动/滑动平均，以消除季节变动和不规则变动，保留长期趋势；趋势剔除法的假设模型3.3时间序列分析2）将原序列y除以其对应的趋势方程值（或平滑值），得到相对数数列,从而分离出季节变动（含不规则变动），即

季节系数=TSCI/趋势方程值（TC或平滑值）=SI3.3时间序列分析

（3）计算相对数数列的平均水平.将月度（或季度）的季节指标加总，以由计算误差导致的值去除理论加总值，得到一个校正系数，并以该校正系数乘以季节性指标从而获得调整后季节性指标。

（4）求预测模型，若求下一年度的预测值，延长趋势线即可；若求各月（季）的预测值，需以趋势值乘以各月份（季度）的季节性指标。求季节变动预测的数学模型（以直线为例）为

式中：是t+k时的预测值;at、bt为方程系数;为季节性指标。3.3时间序列分析

例题：如表3.3.3所示，下面我们用上述步骤，预测该旅游景点2005年各季度的客流量。

表3.3.3某旅游景点2002—2004年各季度客流量3.3时间序列分析

解题步骤：

（1）求时间序列的三次滑动平均值，见表3.3时间序列分析（2）

求季节性指标：将表3.3.3中第4列数据分别除以第5列各对应元素，得相应的季节系数。然后再把各季度的季节系数平均得到季节性指标，见表.

游客人数yi/104三点滑动平均季节性系数260

375325375/325=1.1538340312.671.08740845223279.330.798338882275303.330.906603369412346.331.189616839352331.671.0612958662312900.796551724287315.330.910157613428359.671.1899797043643451.055072464243

3.3时间序列分析

季节性指标之和理论上应等于4。现等于

3.9515，需要进行校正。校正方法是：先求校正系数：θ=4/3.9515=1.0123。然后将表中的第4行，分别乘以θ，即得校正后的季节性指标（见表3.3.4第5行）。表3.3.4季节性指标及其校正值

3.3时间序列分析

（3）用二次指数平滑法，求预测模型系数：取平滑指数，分别计算一次指数平滑值和二次指数平滑值，然后再分别计算趋势预测模型的系数和，结果如表3.3.5所示。

3.3时间序列分析高次指数平滑法一次指数平滑法不能跨期预测，对其进行改进，可以得到能够跨期预测的高次指数平滑法。令为一次指数平滑值，即

（3.3.4）（3.3.8）（3.3.9）▲二次指数平滑法的预测公式为

对上式再作指数平滑，可得二次指数平滑值，即（