浙江省宁波市余姚市钟公庙中学、雅戈尔中学等四校2022-2023学年八年级下学期竞赛数学试卷（7月份）

第1页（共1页）2022-2023学年浙江省宁波市余姚市钟公庙中学、雅戈尔中学等四校八年级（下）竞赛数学试卷（7月份）一、填空题（每小题6分，共120分）1．（6分）用反证法证明：“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，首先应假设2．（6分）已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是，标准差是3．（6分）设x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则+2x2+1＝．4．（6分）化简：＝．5．（6分）计算：＝．6．（6分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为．7．（6分）用三种边长相等的正多边形（正多边形即各边相等、各内角也相等的多边形）地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．8．（6分）如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD，AP⊥BP，则的值为．9．（6分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是．10．（6分）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，△PAB的面积为5，△PAD的面积为3，则△PAC的面积为．11．（6分）如图，直线y＝一x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于B、C两点，且AB•AC＝12，则k值为．12．（6分）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分别是AD、BC的中点，EF＝2，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是．13．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，AE＝4，则直角梯形ABCD的面积为．14．（6分）若两个整数x，y满足方程（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023＝99999999（•），就称数组（x，y）为方程（•）的一组整数解，则方程（•）的整数解的组数为．15．（6分）已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于．16．（6分）已知关于x的方程x2﹣ax+b＝0的两根为x1x2，其中0＜x1＜1，0＜x2＜1，则2a+b的取值范围是．17．（6分）如果方程x4+6x3+9x2﹣3px2﹣9px+2p2＝0有且只有一个实数根（相等的实根算作一个），则p的值为．18．（6分）如图，四边形OABC为矩形，点A在第三象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥y轴于点E．若DC的延长线交y轴于点F，当矩形OABC的面积为6时，的值为．19．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为．20．（6分）已知32个数a1，a2，a3，...，a32，每个数只能取+1或﹣1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+⋯+a2a3+⋯+a31a32的最小正值为．二、解答题（共30分）21．（6分）解方程：．22．（12分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．23．（12分）如图，在△ABC中，，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E在AC边上运动（不与点A重合），AE＜CE，将△CDE沿DE折叠至△FDE，EF分别与AD，AB交于G，H两点．（1）求证：∠BDF＝2∠ADE；（2）如图1，若DG＝3AG，求△AGE的周长；（3）如图2，设DF与AB交于点M，在整个运动过程中，记△FMH与△AEG的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y．

2022-2023学年浙江省宁波市余姚市钟公庙中学、雅戈尔中学等四校八年级（下）竞赛数学试卷（7月份）参考答案与试题解析一、填空题（每小题6分，共120分）1．（6分）用反证法证明：“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，首先应假设这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，故答案为：这两个角所对的边相等．【点评】本题主要考查反证法，解答本题的关键要明确：在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．2．（6分）已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是2，标准差是【分析】根据方差的计算公式即可得出这一组数据，再求出中位数和方差即可．【解答】解：由方差的公式可得这一组数据为2，0，2，4，所以中位数是2；＝＝2，∴s2＝[（2﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，∴s＝＝；故答案为：2；．【点评】本题主要考查了中位数、方差、标准差、算术平均数等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．（6分）设x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则+2x2+1＝4．【分析】先把x＝x1代入x2﹣x﹣1＝0整理得出x﹣x1﹣1＝0，再把代入计算，即可作答．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴x1x2＝﹣1，∴+2x2+1＝（x1+1）x1+2x2+1＝x1+1+x1+2x2+1＝2（x1+x2）+2＝2×1+2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握是解题的关键．4．（6分）化简：＝．【分析】将原式变形为+，整理后可得，利用二次根式的性质及加减法则计算即可．【解答】解：原式＝+＝+＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，将原式进行正确的变形是解题的关键．5．（6分）计算：＝4555．【分析】设68＝a，则66×67×68×69+1＝（a﹣2）（a﹣1）×a×（a+1）+1＝（a2﹣a﹣1）2，由此得＝a2﹣a﹣1，然后再将a＝68代入代数式a2﹣a﹣1之中进行计算即可得出答案．【解答】解：设68＝a，则66＝a﹣2，67＝a+1，69＝a+1，∴66×67×68×69+1＝（a﹣2）（a﹣1）×a×（a+1）+1＝（a﹣2）（a+1）×a（a﹣1）+1＝（a2﹣a﹣2）（a2﹣a）+1＝（a2﹣a）2﹣2（a2﹣a）+1＝（a2﹣a﹣1）2，∴＝＝a2﹣a﹣1，∵a＝68，∴a2﹣a﹣1＝682﹣68﹣1＝4555，∴＝4555．故答案为：4555．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，理解二次根式的意义，熟练掌握换元法及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．6．（6分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差为2．【分析】根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a2﹣b2＝4，再根据三角形的面积即可得出△OAC与△BAD的面积之差，【解答】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OC＝AC，AD＝BD，设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），∵反比例函数在第一象限的图象经过点B，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝4，∴，故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．7．（6分）用三种边长相等的正多边形（正多边形即各边相等、各内角也相等的多边形）地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案．【解答】解：由题意知，这四种正多边形的四个内角之和为360度，∵正多边形的边数为x、y、z，∴++＝360，∴++＝2，∴1﹣+1﹣+1﹣＝2，∴﹣（++）＝﹣1，∴++＝1，∴++＝．故答案为：．【点评】本题考查的是平面镶嵌，熟知正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°是解题的关键．8．（6分）如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD，AP⊥BP，则的值为．【分析】由BC＝CP＝CD，得∠PBC＝∠BPC，∠DPC＝∠PDC，∠PCD＝x，推出∠BPD＝45°+90°＝135°，进而得∠APD＝360°﹣135°﹣90°＝135°，即∠DPE＝45°，再设DE＝PE＝y，由勾股定理得PD＝y，再证△APB≌△DEA得AP＝DE＝y，即可求．【解答】解：如图，过点D作AP垂线交AP延长线于E，∵四边形ABCD是正方形，CP＝CD，∴BC＝CP＝CD，∴∠PBC＝∠BPC，∠DPC＝∠PDC，设∠PCD＝x，则∠BPC＝，∠DPC＝，∴∠BPD＝45°+90°＝135°，∵AP⊥BP，∴∠APD＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DPE＝45°，设DE＝PE＝y，∴DP＝＝y，∵∠DAE+∠BAP＝∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠DAE＝∠ABP，在△DAE与△ABP中，，∴△APB≌△DEA（AAS），∴AP＝DE＝y，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，通过导角得∠BPD＝135°、作DE⊥AE、证△APB≌△DEA得AP＝DE是解题关键．9．（6分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是2≤k≤．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y＝，∴k≥2．随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7，，得x2﹣7x+k＝0根据△≥0，得k≤，又因为反比例函数经过点B时，k＝10，经过点C时，k＝6，综上可知2≤k≤．故答案为2≤k≤．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．10．（6分）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，△PAB的面积为5，△PAD的面积为3，则△PAC的面积为2．【分析】过点P作PE⊥AD于点E，延长EP交CB于点F，证出S△PAD+S△PBC＝S平行四边形ABCD，根据S△PAC＝S四边形PABC﹣S△ABC＝S△PAB+S△PBC﹣S△ABC可得出答案．【解答】解：过点P作PE⊥AD于点E，延长EP交CB于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴PF⊥CB，∴S△PAD+S△PBC＝AD•PE+CB•PF＝AD•（PE+PF）＝AD•EF＝S平行四边形ABCD，∵S△ABC＝，S△PAB＝5，S△PAD＝3，∴S△PAC＝S四边形PABC﹣S△ABC＝S△PAB+S△PBC﹣S△ABC，即S△PAC＝5+（S平行四边形ABCD﹣3）﹣＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．11．（6分）如图，直线y＝一x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于B、C两点，且AB•AC＝12，则k值为3．【分析】设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．先求出直线与x轴和y轴的两交点D与A的坐标，根据OA与OD的长度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函数值求出角ADO的度数，联立直线与双曲线方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出EB与FC的积，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB与AB的关系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC与AC的关系，根据AB•AC＝12列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：设直线y＝一x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y＝一x+b，∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝b，OD＝b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝＝，∴∠ADO＝30°．∵直线y＝一x+b与双曲线y＝在第一象限交于点B、C两点，∴﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2＝＝k，即EB•FC＝k，∵＝cos30°＝，∴AB＝EB，同理可得：AC＝FC，∴AB•AC＝（EB）（FC）＝EB•FC＝×k＝12，解得：k＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及根与系数的关系，解答此题的关键根据题意作出辅助线，根据锐角三角函数的定义沟通各线段之间的关系．12．（6分）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分别是AD、BC的中点，EF＝2，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是8π．【分析】连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，求出∠EMF＝90°，根据勾股定理求出ME2+FM2＝4，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝360°﹣270°＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM＝AB，FM＝CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC＝∠ENC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，∴∠NMF＝180°﹣90°＝90°，∴∠EMF＝90°，由勾股定理得：ME2+FM2＝EF2＝22＝4，∴阴影部分的面积是：π+＝π×（ME2+FM2）＝π×4＝2π．故答案为：2π．【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解此题的关键．13．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，AE＝4，则直角梯形ABCD的面积为27．【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长AD至F，使GF＝BE，连接CF，证得四边形ABCG为正方形，证明△BCE≌△GCF，得到CE＝CF，∠BCE＝∠GCF，BE＝GF，进而证明△DCE≌△DCF，从而DE＝DF，设AD＝x，在Rt△ADE中根据勾股定理列出方程，求得x的值，进一步得出结果．【解答】解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长AD至F，使GF＝BE，连接CF．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝CG＝AB＝BE+AE＝6，∠B＝∠CGF＝90°，∴△BCE≌△GCF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠GCF，BE＝GF，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝45°，∴∠GCF+∠DCG＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CD＝CD，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF，∴DF＝DG+FG＝BE+DG，∴DE＝BE+DG，设AD＝x，则DG＝AG﹣AD＝6﹣x，DE＝8﹣x，在Rt△AED中，由勾股定得，DE2＝AD2+AE2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴AD＝3，∴．故答案为：27．【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．14．（6分）若两个整数x，y满足方程（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023＝99999999（•），就称数组（x，y）为方程（•）的一组整数解，则方程（•）的整数解的组数为0．【分析】由于x、y都是整数，可得2x+9y和4x﹣y同为奇数或者同为偶数，则（2x+9y）2006和（4x﹣y）2006同为奇数或者同为偶数，它们的和为偶数，而7777777为奇数，依此即可求解．【解答】解：∵x、y都是整数，∴2x+9y和4x﹣y同为奇数或者同为偶数，∴（2x+9y）2023和（4x﹣y）2023同为奇数或者同为偶数，∴（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023为偶数，∵99999999为奇数，∴方程（2x+9y）2023+（4x﹣y）2023＝99999999无解．故答案为：0．【点评】此题主要考查了整数问题的综合运用，本题从奇数和偶数之间的运算关系考虑求解．15．（6分）已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于45．【分析】先把原式化简＝，得＞，＜，再次化简得（n+1）（n+1﹣529）＞0，（n+1）（n+1﹣576）＜0，由正整数n+1＞0，得n+1﹣529＞0，n+1﹣576＜0，再按题意计算即可．【解答】解：原式＝＝+＝＝＝＝，∵的值大于，小于，∴＞，＜，∴23（n+1）﹣23＞22（n+1），24（n+1）﹣24＜23（n+1），∴n+1＞23，n+1＜24，∴（n+1）2＞529（n+1），（n+1）2＜576（n+1），∴（n+1）2﹣529（n+1）＞0，（n+1）2﹣576（n+1）＜0，∴（n+1）（n+1﹣529）＞0，（n+1）（n+1﹣576）＜0，∵正整数n+1＞0，∴n+1﹣529＞0，n+1﹣576＜0，∴528＜n＜575，∴正整数n最大为574，正整数最小为529，∴正整数n的最大值与最小值的差等于574﹣529＝45，故答案为：45．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，掌握分母有理化是解题关键．16．（6分）已知关于x的方程x2﹣ax+b＝0的两根为x1x2，其中0＜x1＜1，0＜x2＜1，则2a+b的取值范围是0＜2a+b＜5．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝a，x1•x2＝b，从而把2a+b用x1，x2表示出来，最后利用不等式的基本性质求出答案即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣ax+b＝0的两根为x1x2，∴x1+x2＝a，x1•x2＝b，∴2a+b＝2（x1+x2）+x1•x2＝（x1+2）（x2+2）﹣4，∵0＜x1＜1，0＜x2＜1，∴2＜x1+2＜3，2＜x2+2＜3∴4＜（x1+2）（x2+2）＜9，4﹣4＜（x1+2）（x2+2）﹣4＜9﹣4，0＜（x1+2）（x2+2）﹣4＜5，∴2a+b的取值范围是：0＜2a+b＜5，故答案为：0＜2a+b＜5．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练利用一元二次方程根与系数的关系表示a，b．17．（6分）如果方程x4+6x3+9x2﹣3px2﹣9px+2p2＝0有且只有一个实数根（相等的实根算作一个），则p的值为﹣．【分析】原方程变形为2p2﹣（3x2+9x）p+x2（x+3）2＝（x2+3x﹣2p）（x2+3x﹣p）＝0，据此得出x2+3x﹣2p＝0或x2+3x﹣p＝0，根据只有一个实数解知△1＝9+8p＜0，△2＝9+4p＝0，或△1＝9+8p＝0，△2＝9+4p＜0，解之可得答案．【解答】解：x4+6x3+9x2﹣3px2﹣9px+2p2＝0，整理，得2p2﹣（3x2+9x）p+x2（x+3）2＝0．分解，得（x2+3x﹣2p）（x2+3x﹣p）＝0，所以x2+3x﹣2p＝0或x2+3x﹣p＝0．故△1＝9+8p＜0，△2＝9+4p＝0或△1＝9+8p＝0，△2＝9+4p＜0．解得p＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查高次方程，解高次方程降次、分解势在必行，对于学生而言，最熟悉的应该是二次三项式的分解，因此可变更主元．所谓“高次方程常伴低次辅元”．18．（6分）如图，四边形OABC为矩形，点A在第三象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥y轴于点E．若DC的延长线交y轴于点F，当矩形OABC的面积为6时，的值为．【分析】如图，连接BF，OD．首先证明△OBD≌△BOC，推出DF∥OB，推出＝＝＝＝．【解答】解：如图，连接BF，OD．由矩形的性质和对称性的性质可知，△OBD≌△BOC，∴DF∥OB，∴＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义等知识，解决问题的关键是学会利用面积法解决问题．19．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为．【分析】延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，先证Rt△BAF和Rt△BA'F全等，得出AF＝A'F，再证△OAF和△OCE全等，得出AF＝CE，进而证四边形BEDF为平行四边形，得出OE＝OF，设AF＝x，A'O＝a，则OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，根据S平行四边形BEDF＝2S△BEF得，由此得x＝a，进而得AD＝5a，A'E＝3a，然后在Rt△A'BE中利用勾股定理求出A'E，据此可得出答案．【解答】解：延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，∵四边形ABCD为矩形，点O对角线BD的中点，∴AC经过点O，AD＝BC，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAF＝∠OCE，由旋转的性质可知：AB＝A'B，∠BAF＝∠BA'O＝90°，在Rt△BAF和Rt△BA'F中，，∴Rt△BAF≌Rt△BA'F（HL），∴AF＝A'F，在△OAF和△OCE中，，∴△OAF≌△OCE（ASA），∴AF＝CE，∵AD＝BC，AD∥BC，∴DF＝BE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴OE＝OF，设AF＝x，A'O＝a，∴OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，∴EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，∴DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，∵EF为平行四边形BEDF的对角线，∵S平行四边形BEDF＝2S△BEF，∴，∴，∵AB＝A'B，∴4a＝2x+2a，∴x＝a，∴AD＝x+4a＝5a，A'E＝x+2a＝3a，在Rt△A'BE中，A'E＝3a，BE＝4a，由勾股定理得：，∴，∴．故答案为：．【点评】此题主要考查了矩形的性质，图形的旋转及其性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．20．（6分）已知32个数a1，a2，a3，...，a32，每个数只能取+1或﹣1两个值之一，那么它们的两两之积的和a1a2+a1a3+⋯+a2a3+⋯+a31a32的最小正值为2．【分析】设t＝a1a2+a1a3+...+a31a32，可得2t＝2（a1a2+a1a3+...+a31a32）＝（a1+a2+…+a32）2﹣（++…+），由++…+＝32，可得2t＝（a1+a2+…+a32）2﹣32，分析a1+a2+...+a32的特点，可得（a1+a2+...+a32）＝±6时，t取得最小值，将其代入变形可得答案．【解答】解：根据题意，设t＝a1a2+a1a3+...+a31a32，∴2t＝2（a1a2+a1a3+...+a31a32）＝（a1+a2+…+a32）2﹣（++…+），又由a1，a2…，a95每个都只能取+1或﹣1两个值之一，∴++…+＝32，∴2t＝（a1+a2+…+a32）2﹣32，要使t取最小正数，t为大于32的偶数即可，而a1+a2+...+a32为偶数个﹣1、1的和，不会得奇数，∴要使所求值取最小正数，须使（a1+a2+...+a32）＝±6，因此t的最小值为＝2；故答案为：2．【点评】本题考查规律型﹣数字变化内，解题注意转化思想，利用2（a1a2+a1a3+...+a31a32）＝（a1+a2+…+a32）2﹣（++…+）来解题．二、解答题（共30分）21．（6分）解方程：．【分析】将等式两边平方，可得，再通过移项后，再进行两边平方，可得，令，即可得到t的值，再解分式方程，即可解答．【解答】解：，两边平方得，整理可得，两边平方得，整理得，令，可得4t＝（t+1）2，解得t＝1，∴，整理得x2﹣x﹣1＝0解得，根据二次根式有意义的条件可得x≥1，∴．【点评】本题考查了解无理方程，熟练地进行平方，对方程进行化简是解题的关键．22．（12分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是整数）．∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18，∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2＝＝，∴也是正整数，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m＝2；（2）把m＝2代入两等式，化简得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0当a＝b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的两根，而Δ＞0，由韦达定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝．②a＝b＝2﹣，c＝2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a＝b＝2+，c＝2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC＝×（2）×＝综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E在AC边上运动（不与点A重合），AE＜CE，将△CDE沿DE折叠至△FDE，EF分别与AD，AB交于G，H两点．（1）求证：∠BDF＝2∠ADE；（2）如图1，若DG＝3AG，求△AGE的周长；（3）如图2，设DF与AB交于点M，在整个运动过程中，记△FMH与△AEG的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y．【分析】（1）由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论；（2）根据勾股定理与直角三角形的性质，求得AG＝1，DG＝3，在EC上截取EN＝EG，连接DN，过点N作NP⊥CD于P，证明△DEG≌△DEN（SAS），得DN＝DG＝3，再NP＝PC，设NP＝PC＝x，由DP＝4﹣x，，然后在Rt△DPN中，由勾股定