沪科版九年级数学上册教案全册教案

23.1二次函数

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出一次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试

写出这个函数的关系式，

对于L,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学

生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面

提出的问题的解答能作出什么猜测?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长

为5cm,BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为501?。

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可

以任意取，有限定范围，其范围是0Vx<10o

对于3,教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并

指出y=x(20—2x)(0<xV10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件.该店想

通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低

0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并答复：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润:(售价一进彳介)X销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元？

[10—8=2(元)，(10—8)X100=200(%)]

3.假设每件商品降价x元，那么每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品？

[(lO-8-x)；(lOO+lOOx)]

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0WxW2]

5.假设设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式，

[y=(10-8-x)(100+100X)(0《xW2)]

将函数关系式y=x(20—2x)(0<xV10=化为：

y=-2x2+20x(0<x<10)......................(1)

将函数关系式y=(10—8—x)(100+lOOx)(0<xW2)化为:

y=-100x2+100x+20D(OWxW2)...............(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考答复;

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个？

(各有1个)

⑵多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项式？

(分别是一次多项式)

(3)函数关系式(1)和⑵有什么共同特点？

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=ax?+bx+c(a、b、、c是常数，aWO)的函数叫做x的二

次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.

四、课堂练习

1.(口答)以下函数中，哪些是二次函数？

(l)y=5x+l(2)y=4x2-l

(3)y=2x3—3x2(4)y=5x*—3x4-1

2.P3练习第1,2题。

五、小结

1.请表达二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应

用题，并写出函数关系式。

六、作业布置

教材P4习题23.12,3,4,5,6

23.2二次函数丫=2*2的图象和性质

教学目标：

1、使学生会用描点法画出产ax?的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=a(图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好

思维习惯

重点难点：

“重谓：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数kax?的图象是教学的

重点。难点：用描点法画出二次函数尸ax?的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1,同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研

究什么？

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、范例

例1、画二次函数产ax之的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应

值表:

X-3-2-10123♦♦・

y•••9410149•••

(2)在直角坐标系中描点:用表里各组对应值作

为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数yr?的图象，如下图。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点

交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

三、做一做

1.在同一直角坐标系中，画出函数尸X?与尸-X?的图象，观察并比拟两个图象，你发

现有什么共同点？又有什么区别？

2.在同一直角坐标系中，画出函数y=2x?与y=-2x?的图象，观察并比拟这两个函数的

图象，你能发现什么？

3.将所画的四个函数的图象作比拟，你又能发现什么？

对于1,在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生

讨论选几个点比拟适宜以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨

论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴

对称，顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y二X?的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口

向下。

对于2,教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引

导学生类比1得出。

对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是

抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0,0).

四、归纳、概括

函数y=x?、y=-X?、y=2x\y=-2x?是函数y=ax?的特例,由函数y=J、y=-x\y=2x\y=-2x2

的图象的共同特点，可猜测：

函数尸ax?的图象是一条_______,它关于______对称，它的顶点坐标是o

如果要更细致地研究函数y刊/图象的特点和性质，应如何分类？为什么？

让学生观察y=x2、y=2x?的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax?开口,在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称

轴的右边，曲线自左向右,是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质？

先让学生观察以下图，答复以下问题；

(1)XA、XB大小关系如何?是否都小丁0?

(2)以、ye大小关系如何？

(3)/、X。大小关系如何?是否都大于0?

(4)yc>y0大小关系如何？

(XA<XB,且XA<0,XB<0；yA>yB；XC<XD,且VO,

XD>0,yc<yD)

其次，让学生填空。

当X<0时\函数值y随着x的增大而,当X>0时，函数值y随X的增大而_____；

当X=时，函数值y=ax?(a)0)取得最小值，最小值y=

以上结论就是当a>0时，函数y二ax?的性质。

思考以下问题：

观察函数y=-x2、y=-2x?的图象，试作出类似的概括，当水0时，抛物线y=ax2有些

什么特点?它反映了当水0时，函数yFx?具有哪些性质？

让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线产ax?开口向上，在对称轴的左边，

曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。

图象的这些特点，反映了当a<。时，函数y二ax,的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而

增大；与x>0时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y=ax2取得最大值，最

大值是y=0o

五、课堂练习：P6练习1、2、3、40

六、小结：

1.如何画出函数y二ax?的图象？

2.函数y=ax?具有哪些性质？

六、作业布置

教材P9习题23.21,3,4,5

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第一课时

教学目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x—h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x-h)2的性质,

理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax?的图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y=a(x—h)之的图象，理解二次函数y=a(x—hT的性

质，理解二次函数y=a(x—h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系是教学

的重点。

难点：理解二次函数y=a(x—h)2的性质，理解二次函数y=e(x—h)2的图象与二次函

数y=ax?的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=一1x2,丫=一52-1的图象，并答复：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—1尸的图象与二次函数y=2x?的图象的开口方向、对称轴以及顶点

坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x-D之和二次函数y=2x?的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与y=2(x—l)2的图象吗？

教学要点

1.让学2完成下表填空。

X•••-3-2-10123•••

y=2x2

y=2(x-l)2

2.让学生在直角坐标系中画出图来：3.教师巡视、指导。

问题3：现在你能答复前面提出的问题吗？

教学要点

1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象，完成以下填空:

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

y=2(x-l)2

2.让学生分组讨论，交流合侑，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y=2(x-

1)2与y=2x?的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x-l)2的图象可以

看作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x=l,顶点坐标是

(1,0)o

问题4：你可以由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x—l)2的性质吗？

教学要点

1.教师引导学生回忆二次函数y=2x2的性质，并观察二次函数y=2(x—1尸的图象；

2.让学生完成以下填空：

当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增

大；当*=时，函数取得最值丫=O

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+l)2与函数y=2x?的图象，并比拟它们

的联系和区别吗？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2.请两位同学上台板演，教师讲评；

3.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l)2与函数y=2x?的图象开口方向

相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+l)2的图象可以看作是将函数y=2x2的图

象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x=—1,顶点坐标是(一1,0)。

问题6；你能由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x+l)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当xV—1时，函数值y随x的增大而减小;

当x>-l时，函数值y随x的增大而增大；当x=-1时，函数取得最小值，最小值y=0。

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=-](x+2)2图象与函数y=一的图象有何关

系？

(函数y=-J(x+2)2的图象可以看作是将函数y=—；x2的图象向左平移2个单位得到

的。)

问题8：你能说出函数y=-<(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=—<(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(—2,0))o

问题9：你能得到函数y=；(x+2)2的性质吗？

教学要点

让学生善论、交流，发表意见，归结为：当xV—2时、函数值y随x的增大而增大;

当X＞一2时，函数值y随工的增大而减小；当X=-2时，函数取得最大值，最大值y=0。

四、课堂练习：P11练习1、2、3

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h)2的图象与函数y=ax?的图象有什么联系和区别？

2.你能说出函数y=a(x—h)2图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会。

六、作业布置

教材P23习题23.31,2

二次函数丫=@乂2+匕乂+。的图象和性质

第二课时

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax?+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程，理解二次函数y=ax2+b的性质

及它与函数y=ax2的关系。

重点难点：

1、会用描点法画出二次函数y=ax，十b的图象，理解二次函数y=ax‘十b的性质，理

解函数y=ax2+b与函数y=ax?的相互关系。

2、正确理解二次函数y=ax?+b的性质，理解抛物线y=ax2+b与抛物线丫="2的关

系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.二次函数y=2x?的图象是—,它的开口向,顶点坐标是；对称轴是,

在对称轴的左侧，y随x的增大而_____,在对称轴的右侧，y随x的增大而______,函数

丫=叱2与乂=时，取最值，其最值是o

2.二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=2x?的图象开口方向、对称轴和顶点坐标

是否相同？

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？

(画出函数y=2x?和函数y=2x?的图象，并加以比拟)

问题2,你能在同直角坐标系中，画出函数y=2x?与y=2x2~M的图象吗？

教学要点

1.先让学生回忆二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y=2x?的图象。

2.教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y=

2x?+l的对应值表，并让学生画出函数y=2x?+l的图象.

3.教师写出解题过程，同学生所画图象进行比拟。

解：(1)列表：

X…-3—2-10123…

y=x2…188202818…

y=x2+l…199313919…

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y=2x?和y=2x?+l的图象。

(图象略)

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象

上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当x依次取一3,-2,-1,0,1,2,3时，两个函数的函

数值

之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y=2x2+l的函

数值都比函数y=2x＞的函数值大h

教师引导学生观察函数y=2x?+l和y=2x?的图象，先研究点(一1,2)和点(一1,3)、

点(D,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，

函数y=2x2+l的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y=2x?+l和y=2x?的图象有什么联系？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x〉的

图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能答复前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x?+l与y=2x?的图象开口方向、对称轴相

同，但顶点坐标不同，函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x"+l的图象

的顶点坐标是(0,1)。

问题6：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x?+l的一些性质吗？

完成填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增

大，当x时，函数取得最值，最_____值丫=______.

以上就是函数y=2x?+l的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2—2与函数y=2x?的图象，再作比拟，说说

它们有什么联系和区别？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；

2.让学生发表意见，归纳为：函数y=2x?-2与函数y=2x＞的图象的开口方向、对称

轴相同，但顶点坐标不同。函数y=2x?—2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平

移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y=2x2—2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函

数的性质吗？

教学要点

1.让学生口答，函数y=2x2—2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,

-2)；

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当xVO时，函数

值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得

最小值，最小值y=-2。问题9：在同一直角坐标系中。函数y=一图象与函数y

=一§2的图象有什么关系？

要求学生能够画出函数丫=一工2与函数y=-1x2+2的草图，由草图观察得出结论：

JJ

函数y=一:"3x2+2的图象与函数y=—J/的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标

不同，函数y=-jx2+2的图象可以看成将函数丫二一上z的图象向上平移两个单位得到的。

问题10：你能说出函数丫=一：(+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

[函数y=-%2+2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,2)]

问题11:这个函数图象有哪些性质？

让学生观察函数y=-；x?+2的图象得出性质：当xVO时，函数值y随x的增人而增

大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小；当x=0时，函数取得最大值，最大值y=2。

四、练习：P9练习1、2、3o

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数y=ax?+k的图象与函数y=ax?的图象具有什么关系？

2.你能说出函数丫=@*2+1<具有哪些性质？

六、作业布置

教材P23习题23.33,4,5

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第三课时

教学目标：

1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y招入2的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x—h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数尸a(x—h¥+k性质的探索过程，理解函数y=a(x—h)2+k的性质。

重点难点：

重点:确定函数y二a(x—h)?+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x

-h)2+k的图象与函数Lax?的图象之间的关系，理解函数y=a(x-h)2+k的

性质是教学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数尸ax2的图象之间的关系以及函数

y=a(x-h)2+k的性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.函数y=2x?+l的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？

(函数y=2x2+l的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2.函数y二2(x-D”的图象与函数y=2x2的.图象有什么关系？

(函数y=2(x—的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见

P10图26.2.3)

3.函数y=2(x—1尸+1图象与函数尸2(x—图象有什么关系？函数y=2(x—1>+1有哪些

性质？

二、试一试

你能填写下表吗？

y=2x2向右平向上平移

移y=2(x—1个单位y=2(x—1)2+1

的图象1个单1尸的图象

位

开口方向上

向

对称轴y轴

顶点(0,0)

问题2：从上表中,你能分别找到函数y=2(x—1/+1与函数y=2(x—1尸、y=2x?图象的关

系吗？

问题3：你能发现函数y=2(x—>+1有哪些性质？

对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成

共识；

函数y=2(x—l)2+l的图象可以看成是将函数y=2(x—l)2的图象向上平称1个单位得

到的，也可以看成是将函数产2(的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当xVl时，函数值y随x的增大而减小，当x>l时，函数值y随x的增大而增大；

当产1时，函数取得最小值，最小值y二l。

三、做一做

问题4：在图26.2.3中，你能再画出函数y=2(x-l)2-2的图象，并将它与函数y=2(x

一IL的图象作比拟吗？

教学要点

1.在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2.对“比拟”两字做出解释，然后让学生进行比拟。

问题5：你能说出函数尸一J(x—l)2+2的图象与函数尸一J/的图象的关系，由此进

oJ

一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=一〈(X-l)2+2的图象可以看成是将函数y=-1x2的图象向右平移一个单位再

OO

向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标是(1,2)

四、课堂练习：P13练习1、2、3、4o

对于练习第4题，教师必须提示：将一3x?-6x+8配方，化为练习第3题中的形式，

即

y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x)+8=-3(x2+2x+l-l)+8=-3(x+l)2+ll

五、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

2.谈谈你的学习体会。

六、作业布置

教材P23习题23.36,7,8,

23.3二次函数丫=@*2+6*+(:的图象和性质

第四课时

教学目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax?+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax?+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性

质的过程，理解二次函数y=ax?+bx+c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、

顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x

b/b4ac—b\=“、“五小一

=一二、(一钎，一；---)是教学的难点。

za2a4a

教学过程：

一、提出问题

1.你能说出函数y=—4(x—2尸+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=-4(x-2¥+l图象的开口向下，对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1)。

2.函数y=-4(x—2尸+1图象与函数y=-4x?的图象有什么关系？

(函数y=-4(x-2)2+l的图象可以看成是将函数丫=一4犬的图象向右平移2个单位

再向上平移1个单位得到的)

3.函数y=-4(x-2)2+l具有哪些性质？

(当xV2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函数值y随x的增大而减小；

当x=2时，函数取得最大值，最大值y=l)

15

4.不画出图象，你能直接说出函数y=-5x2+x—5的图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标吗？

151

［因为y=-Tx2+x--=--(x-l)2-2,所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直

线x=l,顶点坐标为(1,-2)］

15

5.你能画出函数y=-5x?+x一弓的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？

乙乙

二、解决问题

15

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=-5(+x—£的图象的开口方向、对

乙乙

15

称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y=—那2+x-］的

图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

x…—2—101234…

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中抽点。

15

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=-5x2+x-5的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x=l,以1为中心，对称地选取自变量的值，求

出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单

位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当xVl时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时，函数值y随x的增大而减小；

当x=l时，函数取得最大值，最大值y=-2

三、做一做

1.请你按照上面的方法，画出函数y=1x2-4x+10的图象，由图象你能发现这个函

数具有哪些性质吗？

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x?+8x—8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,

这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少？

教学要点

(1)在学次做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数

的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这个值与函数图象的顶点坐标有什

么关系？

、众上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意

一个二次函数y=ax2+bx+c(a^O),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?

你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

y=ax2+bx+c=a(x2+^x)+c=a[x2+£x+(\)?—(\)。+c=a[x2+^x+(^)2]+

b2

c——

4a

4ac-b'

=a6+豺4a

当a>0时，开口向上，当aVO时，开口向下。

对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(一今笥言

四、课堂练习:P15练习第1、2、3题。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业：

1.填空：

(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是______；

(2)抛物线y=2x2—2x一弓的开口______,对称轴是；

(3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口,顶点坐标是；

(4)抛物线y=-1x2+2x+4的对称轴是；

⑸二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,那么a=.

2.画出函数y=2x?-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方，写出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(l)y=3x2+2x；(2)y=—X2—2x

(3)y=-2x2+8x-8(4)y=1x2-4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质

23.4二次函数与一元二次方程

第一课时

教学目标

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方

程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

教学重点

1、体,"方程与函数之间的联系.

2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.

3、理解元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

教学难点

1、萦运方程与函数之间的联系的过程.

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教具准备

多媒体课件

教学过程

一、复习

1、一元二次方程-5X2+40X=0的根为：o

2、一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)的根的判别式△二。当△>()方程根的情况是：；当

△=0时，方程；当△<()时，方程。

3、二次函数y=ax〉+bx+c(a、b、c是常数，且aWO)图像是一条，它与x轴的交点有几种

可能的情况？

二、创设问题情境，引入新课

历：上学期我们学习了一元一次方程kxib=O(krO)和一次函数y=kxib(k#O)后，讨论了

它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数尸kx+b就转化成了一元一次方程

kx+b=O,且一次函数尸kx+b(kWO)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=O的

解.

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=O(a^O)和一次函数y=ax2+bx+c(a¥0),它们之

间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.

三、活动探究二次函数①厂X2+2X,②y=x2-2x+l,③尸x?-2x+2的图象如以下图所示.

(1)每个图象与x轴有几个交点？

(2)一元二次方程x?+2x=0,x?-2x+l=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0

有根吗？

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什

么关系？

师：还请大家先讨论后解答.

答：(1)二次函数y=x2+2x,y=x-2x+l,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交

点，没有交点.

(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+l=0有两个相等的根1或一个根

1；方程X2-2X+2=0没有实数根.

(3)从观察图象和讨论中可知，二次函数y二x，2x的图象与x轴有两个交点，交点的坐

标分别为(0,0),(-2,0),方程x~+2x=0有两个根0,-2;

二次函数尸x?-2x+l的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+l=0有两个

相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=X2-2X+2的图象与x轴没有交点,方程X2-2X+2=0没

有实数根.

由此可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程

ax2+bx+c=0的根。

二次函购的-元二次方程i+AE>0一无二次方程Nve*0

用敛和、轴交点的根根的判别大A4加c

有两个交点有两个相异的实数根44ac>0

有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0

没有交点没有实数根<0

数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二

次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一

元二次方程ax2+bx+c=0的根。

四、课堂练习

1、假设方程ax2+bx+c=0的根为x尸-2和x,=3,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交

点坐标是。

2、抛物线2-x+3与x轴的交点情况是()

A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图象后才能说明

3、抛物线y=x?-4x+4与轴有个交点，坐标是二。

4、不画图象，求抛物线y=x?-3x-4与x轴的交点坐标。

5、(P28练习3)证明：抛物线y=x"-(2pT)x+p"p与x轴必有两个不同的交点。

6、(拓展练习)一元二次方程(4xi4=l的根与二次函数y=x24^4的图象有什么关系？

试把方程的根在图象上表示出来。

五、课堂小结

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两人交点、有一个交点、没

有交点.当一次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量

x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=O的根。

六、作业布置

教材P291,2,3

其他：

23.4二次函数与一元二次方程

第二课时

教学目标

1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根,进一步开展估算能

力。

2、通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图

象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力。

3、利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程

的思路，体验数形结合思想。

教学重点

1、9加探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点

利用三次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教具准备

多媒体课件

教学过程

一、复习

提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根

有什么关系？

22

1、假设方程ax+bx+c=O的根为x）=-2和x2=3,那么二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴

交点坐标是。

2、抛物线2-x+3与x轴的交点情况是（）

A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图象后才能说明

3、不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标。

二、创设问题情境，引入新课

师：上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（aW0）的图象与x轴的交点坐

标和一元二次方程ax'+bx+cRSWO）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,

就是尸0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴

交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课

我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.

探究一：用图像法求一元二次方程x2+2xT=0的解（精确到0.1）,

以下图是函数y=x2+2x-l的图象。

y

师：从图象上来看,二次函数y=x2+2x-l的图象与x轴交点的横坐标一个在-3与-2之

间,另一个在0与1之间,所以方程x2+2x-l=0的两个根一个在-3与-2之间,另一个在0与1

之间.这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决，2与-3之间,那这个根

一定是负2点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的

方法,即分别把x=--2.2,…-2.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立（或哪一个值

能使等式近似成立），那么这个值就是方程的根（或近似根）.

由于计算比拟烦琐,所以要求学生可以用计算器进行计算。

从图象上看,可以估计x的取值-2.5,利用计算器进行探索，如下表：

y••••••

从上表可知，当x取时,对应y的值由负变正,可见在-2.4和-2.5之间一定有一个x得

值使y=0,即有方程x2+2xT=0的一个根。由于题目只要求精确到0.1,所以这是去x=-2.4

或x=-2.5作为根都符合要求。但是当x=-2.4时,y=-O.04kty=0.25（x=-2.5）更接近0.

所以选x=-2.4o

因此，方程X2+2X-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4。

有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了，请大家继续.（学生自行研究）

探究二：还有没有其他的解决方法？（针对程度较好学生）

引导学生将方程变形为X2=2XT,从而将问题转化为求函数y二X?和产-2x+l的交点横

坐标，培养学生利用数形结合解题的思想。

如下图

函数尸X?和y=-2x+l交于A、B两点，这两点的横坐标就是我们要求的根。探究三：你能否

结合二次函数的图像，求出使y=x?+2x-l>0和y=x?+2x-l<0

时，x的取值范围？由图像可知，尸X2+2X-1>0的图像位于x轴上方，图像位于x轴上方的

自变量

x取值范围是x2.4或x>0.4；y=x2+2x-l<0的图像位于x轴下方,图像位于轴

下方的自变量x取值范围是-2.4<x<0.4o

三、课堂练习

P28练习4四、课堂小结

本节课学习的内容：

1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；

2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的

体验；

五、作业布置

教材P296,7,8

第一课时（最值问题）

教学目标：

1、经历数学建模的根本过程。

2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点

二次函数在最优化问题中的应用

教学难点

从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？

问题分析：这是一个求最值的问题V要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数

学问题。

二、讲授新课

在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长X与面积S之间的满足函数关系式

S=-X2+20XO通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这人函数的图像是一条开口

向下的抛物线，其定点坐标是(10,100)。所以，当x=10ni时，函数取得最大值，为S僦大值

2

=100(in)o

所以，当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100i/。

总结：

得出解这类题的一般步骤：

(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

三、例题讲解

2

上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h=vot-1gt,其中h是物体上升的高

度，Vo是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g=10m/s,t是舞台抛出

后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。

(1)问排球上升的最大高度是多少？

(2)某运发动在2.5m高度是扣球效果最正确，如果她要打快攻，问该运发动在排球

被垫起后多长时间扣球最正确？(精确到0.1s)。

分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明,

球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运发动完成击球。第一个问题，配方得到

h=-5(11)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标(1,5),所以最大高度为5米。第二个问题只

要令h=2.5,求出方程h=10t-5t2的解，ti^0.3(s),t2-L7(s)。在结合实际情况，要快

攻，所以最后确定选择较小的根。

四、课堂练习

1、23.1节为题2中，你能用二次函数的性质求出每件商品涨价多少，才能使每周得

到的利润最多？

2、P31练习1、2、3

五、课堂小结

本节课，我们将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的知识解决了实际生活中的

最值问题。

六、布置作业

教材P341

第二课时(抛物线型问题)

教学目标

1、通过图形之间的关系列出函数解析式

2、用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

教学重点：

用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题

教学难点

通过图形之间的关系列出函数解析式

教具准备

多媒体课件

教学过程

一、创设情景

欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

图1图2图3图4

二、新课教学

【例题讲解】

例1、如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥

面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。假设两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥

面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m。

(1)假设以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，如图，求这条抛物线的函数关

系式；

(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长。(精确到0.1m)

分析：第(1)题的关键是设立适宜的函数解析式，根据题意可知抛物线的顶点为(0,0.5),

且关于y轴对称，那么可以设函数关系式为尸ax2+0.5,再将(450,81.5)带入解析式中，

即可求出a的值。第(2)题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入。

解：(1)设抛物线的函数关系式为尸ax,O.5,将(450,81.5)代入，得

81.5=a・45()2

解方程，得

因而，所求抛物线的函数关系式为丫=条*2+0.5(-450WxW450)。

(2)当x=450-100=350(m)时，得

y=工x3502+0.5=49.5(m)；

当x=450-50=400(m)时，得

y=工x4002+0.5=64.5(m)。

因而，距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。

例2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一局部.在大桥截面1：11000的比例图上，跨

度AB=5cm,拱高0C=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长，DE/7AB.如图(一)在比例图上,

以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐

标系：如图(二).

(1)求出图(一)上的这一局部抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；

⑵如果DE与AB的距离0M=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长.(备用数据：应=1.4,

结果精确到1米)

解：

(1)由图(二)建立直角坐标系，可知C(0,0.9),A(-2.5,0),B(2.5,0).

设函数表达式为y=a(x-2.5)(x+2.5),将(0,0.9)代入，得

0.9=-6.25a

18

a=------

-125

因而，所求函数关系式为

y=(x-2.5)(x+2.5)=--x2+—(-2.5WxW2.5)

-12512510

o

(2)・・・D、E的纵坐标为0・45=县,

20

A—x2+-.得*=±工技

20125104

・••点D的坐标为(-3&,—),点E的坐标为2).

420420

ADE=